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16导数及其应用★★★★☆
设 a∈(0,1)a\in(0,1)，若函数 f(x)=ax+(1+a)x+1f(x)=a^x+(1+a)^{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，则 aa 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x)=\left(\frac1x+a\right)\ln(1+x).
(1) 当 a=−1a=-1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，求 aa 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=−1a=-1 时，f(x)=(1x−1)ln⁡(1+x)f(x)=\left(\dfrac1x-1\right)\ln(1+x)，所以 f(1)=0f(1)=0，且
f′(x)=−ln⁡(1+x)x2+1x−11+xf'(x)=-\frac{\ln(1+x)}{x^2}+\frac{\frac{1}{x}-1}{1+x}
因此 f′(1)=−ln⁡2f'(1)=-\ln2，曲线在 (1,f(1))=(1,0)(1,f(1))=(1,0) 处的切线方程为 y=−ln⁡2(x−1)y=-\ln2(x-1)，即 y=−(ln⁡2)x+ln⁡2y=-(\ln2)x+\ln2. \item 当 x>0x>0 时，
f′(x)=1x+a1+x−ln⁡(1+x)x2=x+ax2−(1+x)ln⁡(1+x)x2(1+x)f'(x)=\frac{\frac{1}{x}+a}{1+x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}=\frac{x+ax^2-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}
由于分母为正，f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增等价于 a≥g(x)a\ge g(x)，其中
g(x)=(1+x)ln⁡(1+x)−xx2g(x)=\frac{(1+x)\ln(1+x)-x}{x^2}
令 h(x)=x22+x−(1+x)ln⁡(1+x)h(x)=\dfrac{x^2}{2}+x-(1+x)\ln(1+x)，则 h(0)=0h(0)=0，且 h′(x)=x−ln⁡(1+x)>0h'(x)=x-\ln(1+x)>0（因为 ln⁡(1+x)<x\ln(1+x)<x），所以 h(x)>0h(x)>0. 因而 g(x)<12g(x)<\dfrac12；另一方面，由两次求导或 ln⁡(1+x)=x−x22+o(x2)\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，得 lim⁡x→0+g(x)=12\lim_{x\to0^+}g(x)=\dfrac12. 所以 sup⁡x>0g(x)=12\sup_{x>0}g(x)=\dfrac12.
当 a≥12a\ge\dfrac12 时，a≥g(x)a\ge g(x) 对任意 x>0x>0 成立，故 f′(x)>0f'(x)>0，函数在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增；当 a<12a<\dfrac12 时，由 g(x)→12g(x)\to\dfrac12，可取充分小的正数 xx 使 g(x)>ag(x)>a，此时 f′(x)<0f'(x)<0，不满足题意. 因此 aa 的取值范围为 [12,+∞)\left[\dfrac12,+\infty\right). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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09立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ln⁡(a−x)f(x)=\ln(a-x)，已知 x=0x=0 是函数 y=xf(x)y=xf(x) 的极值点.
(1) 求 aa； (2) 设函数 g(x)=x+f(x)xf(x)g(x)=\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}，证明：g(x)<1g(x)<1.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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12导数及其应用★★★★☆
设 a≠0a\ne0，若 x=ax=a 是函数 f(x)=a(x−a)2(x−b)f(x)=a\left(x-a\right)^2\left(x-b\right) 的极大值点，则（ ）
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<a2ab<a^2
D.
ab>a2ab>a^2

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−x2+ax+1f(x)=x^3-x^2+ax+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y=f(x)y=f(x) 的公共点的坐标.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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