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1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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17函数与初等函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=∣x+4x−a∣+af(x)=\left|x+\dfrac{4}{x}-a\right|+a 在区间 [1,4][1,4] 上的最大值是 5，则 aa 的取值范围是______.

2017 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−2x−1)e−xf(x)=\bigl(x-\sqrt{2x-1}\bigr)\mathrm{e}^{-x}（x≥12x\ge\dfrac12）.
(1) 求 f(x)f(x) 的导函数； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [12,+∞)\left[\dfrac12,+\infty\right) 上的取值范围.

2017 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，已知抛物线 x2=yx^2=y，点 A(−12,14)A\left(-\dfrac12,\dfrac14\right)，B(32,94)B\left(\dfrac32,\dfrac94\right)，抛物线上的点 P(x,y)P(x,y)（−12<x<32-\dfrac12<x<\dfrac32），过点 BB 作直线 APAP 的垂线，垂足为 QQ.
(1) 求直线 APAP 斜率的取值范围； (2) 求 ∣PA∣⋅∣PQ∣|PA|\cdot|PQ| 的最大值.

2017 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，设椭圆 C:x2a2+y2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1）.
(1) 求直线 y=kx+1y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 aa，kk 表示）； (2) 若任意以点 A(0,1)A(0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

2016 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3+1x+1f(x)=x^3+\dfrac{1}{x+1}，x∈[0,1]x\in[0,1]，证明：
(1) f(x)≥1−x+x2f(x)\ge1-x+x^2； (2) 34<f(x)≤32\dfrac34<f(x)\le\dfrac32.

2016 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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10立体几何初步★★★★☆
如图，某人在垂直于水平地面 ABCABC 的墙面前的点 AA 处进行射击训练，已知点 AA 到墙面的距离为 ABAB，某目标点 PP 沿墙面上的射线 CMCM 移动，此人为了准确瞄准目标点 PP，需计算由点 AA 观察点 PP 的仰角 θ\theta 的大小（仰角 θ\theta 为直线 APAP 与平面 ABCABC 所成的角）. 若 AB=15 mAB = 15 \mathrm{~m}，AC=25 mAC = 25 \mathrm{~m}，∠BCM=30∘\angle BCM = 30^{\circ}，则 tan⁡θ\tan \theta 的最大值是（ ）
A.
305\frac{\sqrt{30}}{5}
B.
3010\frac{\sqrt{30}}{10}
C.
439\frac{4\sqrt{3}}{9}
D.
539\frac{5\sqrt{3}}{9}

2014 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+3∣x−a∣f(x) = x^3 + 3|x - a| （a>0a > 0），若 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1, 1] 上的最小值记为 g(a)g(a).
(1) 求 g(a)g(a)； (2) 证明：当 x∈[−1,1]x \in [-1, 1] 时，恒有 f(x)⩽g(a)+4f(x) \leqslant g(a) + 4.

2014 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 a∈Ra \in \mathbf{R}，函数 f(x)=2x3−3(a+1)x2+6axf(x) = 2x^3 - 3(a + 1)x^2 + 6ax.
(1) 若 a=1a = 1，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处的切线方程； (2) 若 ∣a∣>1|a| > 1，求 f(x)f(x) 在闭区间 [0,2∣a∣][0, 2|a|] 上的最小值.

2013 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 12\frac{1}{2}. 其左焦点到点 P(2,1)P(2,1) 的距离为 10\sqrt{10}. 不经过原点 OO 的直线 ll 与 CC 相交于 AA，BB 两点，且线段 ABAB 被直线 OPOP 平分.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 求 △ABP\triangle ABP 面积取最大值时直线 ll 的方程.

2012 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 a∈Ra \in \mathbf{R}，函数 f(x)=4x3−2ax+af(x) = 4x^3 - 2ax + a.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，f(x)+∣2−a∣>0f(x) + |2 - a| > 0.

2012 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c，（aa，bb，c∈Rc\in\mathbf{R}）. 若 x=−1x = -1 为函数 y=f(x)exy = f(x)\mathrm{e}^x 的一个极值点，则下列图象不可能为 y=f(x)y = f(x) 图象的是（ ）
A.
B.
C.
D.

2011 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=a2ln⁡x−x2+axf(x) = a^2 \ln x - x^2 + ax，a>0a > 0.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 求所有实数 aa，使 e−1⩽f(x)⩽e2\mathrm{e} - 1 \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{e}^{2} 对 x∈[1,e]x \in [1, \mathrm{e}] 恒成立. 注：e\mathrm{e} 为自然对数的底数.

2011 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−a)2(x−b)f(x) = (x - a)^2(x - b) （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，a<ba < b）.
(1) 当 a=1a = 1，b=2b = 2 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处的切线方程； (2) 设 x1x_1，x2x_2 是 f(x)f(x) 的两个极值点，x3x_3 是 f(x)f(x) 的一个零点，且 x3≠x1x_3 \neq x_1，x3≠x2x_3 \neq x_2. 证明：存在实数 x4x_4，使得 x1x_1，x2x_2，x3x_3，x4x_4 按某种顺序排列后成等差数列，并求 x4x_4.

2010 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+(1−a)x2−a(a+2)x+bf(x) = x^3 + (1 - a)x^2 - a(a + 2)x + b，aa，b∈Rb \in \mathbf{R}.
(1) 若函数 f(x)f(x) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 −3-3. 求 aa，bb 的值； (2) 若函数 f(x)f(x) 在区间 (−1,1)(-1, 1) 上不单调，求 aa 的取值范围.

2009 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 aa 是实数，函数 f(x)=x(x−a)f(x) = \sqrt{x}(x - a).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 设 g(a)g(a) 为 f(x)f(x) 在区间 [0,2][0, 2] 上的最小值.
(i) 写出 g(a)g(a) 的表达式； (ii) 求 aa 的取值范围，使得 −6⩽g(a)⩽−2-6 \leqslant g(a) \leqslant -2.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数定义域为 [0,+∞)[0,+\infty).当 x>0x>0 时，
f′(x)=3x−a2xf'(x)=\frac{3x-a}{2\sqrt{x}}
当 a⩽0a\leqslant0 时，f′(x)>0f'(x)>0，所以 f(x)f(x) 在 [0,+∞)[0,+\infty) 上单调递增；当 a>0a>0 时，f′(x)<0f'(x)<0 对 0<x<a30<x<\frac a3 成立，f′(x)>0f'(x)>0 对 x>a3x>\frac a3 成立，所以 f(x)f(x) 在 [0,a3]\left[0,\frac a3\right] 上单调递减，在 [a3,+∞)\left[\frac a3,+\infty\right) 上单调递增. \item \begin{enumerate} \item 由上题的单调性，
g(a)={0,a⩽0,−2a3a3,0<a<6,2(2−a),a⩾6.g(a)= \begin{cases} 0,&a\leqslant0,\\ -\dfrac{2a}{3}\sqrt{\dfrac a3},&0<a<6,\\ \sqrt2(2-a),&a\geqslant6. \end{cases}
\item 当 a⩽0a\leqslant0 时，g(a)=0g(a)=0，不满足条件.当 0<a<60<a<6 时， −6⩽−2a3a3⩽−2-6\leqslant-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac a3}\leqslant-2 给出 3⩽a<63\leqslant a<6. 当 a⩾6a\geqslant6 时， −6⩽2(2−a)⩽−2-6\leqslant\sqrt2(2-a)\leqslant-2 给出 6⩽a⩽2+326\leqslant a\leqslant2+3\sqrt2.合并两种情形，得 3⩽a⩽2+323\leqslant a\leqslant2+3\sqrt2. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{solution}

2008 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 aa 是实数，函数 f(x)=x2(x−a)f(x) = x^2 (x - a).
(1) 若 f′(1)=3f'(1)=3，求 aa 的值及曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [0,2][0,2] 上的最大值.

2008 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 aa 为实数，f(x)=(x2−4)(x−a)f(x) = (x^{2} - 4)(x - a).
(1) 求导数 f′(x)f'(x)； (2) 若 f′(−1)=0f'(-1) = 0，求 f(x)f(x) 在 [−2,2]\left[-2, 2\right] 上的最大值和最小值； (3) 若 f(x)f(x) 在 (−∞,−2]\left(-\infty, -2\right] 和 [2,+∞)\left[2, +\infty\right) 上都是递增的，求 aa 的取值范围.

2004 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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