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1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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075分导数及其应用★★★★☆
设 a=0.1e0.1a=0.1\mathrm{e}^{0.1}，b=0.11−0.1b=\frac{0.1}{1-0.1}，c=−ln⁡0.9c=-\ln 0.9，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<b<ac<b<a
C.
c<a<bc<a<b
D.
a<c<ba<c<b

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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126分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 及其导函数 f′(x)f'(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，记 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x). 若 f(32−2x)f\left(\frac32-2x\right)，g(2+x)g(2+x) 均为偶函数，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
g(−12)=0g\left(-\frac12\right)=0
C.
f(−1)=f(4)f(-1)=f(4)
D.
g(−1)=g(2)g(-1)=g(2)

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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155分导数及其应用★★★★☆
若曲线 y=(x+a)exy=(x+a)\mathrm{e}^x 有两条过坐标原点的切线，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，且 f(x)f(x) 是奇函数，g(x)g(x) 是偶函数，f(x)+g(x)=exf(x)+g(x)=\mathrm{e}^x，其中 e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 求 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的解析式，并证明：当 x>0x>0 时，f(x)>0f(x)>0，g(x)>1g(x)>1； (2) 设 a⩽0a\leqslant 0，b⩾1b\geqslant 1，证明：当 x>0x>0 时，ag(x)+(1−a)<f(x)x<bg(x)+(1−b)ag(x)+(1-a)<\dfrac{f(x)}{x}<bg(x)+(1-b).

2015 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★★☆
已知 aa 为常数，函数 f(x)=x(ln⁡x−ax)f(x) = x(\ln x - ax) 有两个极值点 x1x_1，x2x_2（x1<x2x_1 < x_2），则（ ）
A.
f(x1)>0f(x_1) > 0，f(x2)>−12f(x_2) > -\frac{1}{2}
B.
f(x1)<0f(x_1) < 0，f(x2)<−12f(x_2) < -\frac{1}{2}
C.
f(x1)>0f(x_1) > 0，f(x2)<−12f(x_2) < -\frac{1}{2}
D.
f(x1)<0f(x_1) < 0，f(x2)>−12f(x_2) > -\frac{1}{2}

2013 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★★☆
某旅行社租用 AA，BB 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，AA，BB 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 BB 型车不多于 AA 型车 7 辆，则租金最少为（ ）
A.
31200 元
B.
36000 元
C.
36800 元
D.
38400 元

2013 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x(ln⁡x−ax)f(x) = x (\ln x - ax) 有两个极值点，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,0)(-\infty,0)
B.
(0,12)\left(0,\frac{1}{2}\right)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(0,+∞)(0,+\infty)

2013 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
设 a>0a>0，b>0b>0，已知函数 f(x)=ax+bx+1f(x)=\frac{ax+b}{x+1}.
(1) 当 a≠ba\neq b 时，讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x>0x>0 时，称 f(x)f(x) 为 aa，bb 关于 xx 的加权平均数.
(i) 判断 f(1)f(1)，f(ba)f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)，f(ba)f\left(\frac{b}{a}\right) 是否成等比数列，并证明 f(ba)⩽f(ba)f\left(\frac{b}{a}\right)\leqslant f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)； (ii) aa，bb 的几何平均数记为 GG，称 2aba+b\frac{2ab}{a+b} 为 aa，bb 的调和平均数，记为 HH，若 H⩽f(x)⩽GH\leqslant f(x)\leqslant G，求 xx 的取值范围.

2013 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★★☆
如图 1，∠ACB=45∘\angle ACB = 45^{\circ}，BC=3BC = 3，过动点 AA 作 AD⊥BCAD \perp BC，垂足 DD 在线段 BCBC 上且异于点 BB，连接 ABAB. 沿 ADAD 将 △ABD\triangle ABD 折起，使 ∠BDC=90∘\angle BDC = 90^{\circ}（如图 2 所示）.
(1) 当 BDBD 的长为多少时，三棱锥 A−BCDA - BCD 的体积最大； (2) 当三棱锥 A−BCDA - BCD 的体积最大时，设点 EE，MM 分别为棱 BCBC，ACAC 的中点，试在棱 CDCD 上确定一点 NN，使得 EN⊥BMEN \perp BM，并求 ENEN 与平面 BMNBMN 所成角的大小.

2012 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=axn(1−x)+bf(x) = ax^n (1 - x) + b（x>0x > 0），nn 为正整数，aa，bb 为常数. 曲线 y=f(x)y = f(x) 在 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程为 x+y=1x + y = 1.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的最大值； (3) 证明： f(x)<1nef(x) < \frac{1}{n\mathrm{e}}.

2012 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=13x3−a2x2+bx+cf(x) = \frac{1}{3} x^3 - \frac{a}{2} x^2 + bx + c，其中 a>0a > 0，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(0,f(0))P(0, f(0)) 处的切线方程为 y=1y = 1.
(1) 确定 bb，cc 的值； (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (x1,f(x1))(x_1, f(x_1)) 及 (x2,f(x2))(x_2, f(x_2)) 处的切线都过点 (0,2)(0,2). 证明：当 x1≠x2x_1 \neq x_2 时，f′(x1)≠f′(x2)f'(x_1) \neq f'(x_2). (3) 若过点 (0,2)(0,2) 可作曲线 y=f(x)y = f(x) 的三条不同切线，求 aa 的取值范围.

2010 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知定义在正实数集上的函数 f(x)=12x2+2axf(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2ax，g(x)=3a2ln⁡x+bg(x) = 3a^2\ln x + b，其中 a>0a > 0. 设两曲线 y=f(x)y = f(x)，y=g(x)y = g(x) 有公共点，且在该点处的切线相同.
(1) 用 aa 表示 bb，并求 bb 的最大值； (2) 求证：f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x)（x>0x > 0）.

2007 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知 b>−1b>-1，c>0c>0，函数 f(x)=x+bf(x)=x+b 的图象与函数 g(x)=x2+bx+cg(x)=x^2+bx+c 的图象相切.
(1) 求 bb 与 cc 的关系式（用 cc 表示 bb）； (2) 设函数 F(x)=f(x)g(x)F(x)=f(x)g(x) 在 (−∞,+∞)\left(-\infty,+\infty\right) 内有极值点，求 cc 的取值范围.

2004 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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