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1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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075分导数及其应用★★★★☆
设 a=0.1e0.1a=0.1\mathrm{e}^{0.1}，b=0.11−0.1b=\frac{0.1}{1-0.1}，c=−ln⁡0.9c=-\ln 0.9，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<b<ac<b<a
C.
c<a<bc<a<b
D.
a<c<ba<c<b

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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126分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 及其导函数 f′(x)f'(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，记 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x). 若 f(32−2x)f\left(\frac32-2x\right)，g(2+x)g(2+x) 均为偶函数，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
g(−12)=0g\left(-\frac12\right)=0
C.
f(−1)=f(4)f(-1)=f(4)
D.
g(−1)=g(2)g(-1)=g(2)

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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155分导数及其应用★★★★☆
若曲线 y=(x+a)exy=(x+a)\mathrm{e}^x 有两条过坐标原点的切线，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★★☆
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）（材料的利用率 =新工件的体积原工件的体积=\frac{\text{新工件的体积}}{\text{原工件的体积}}）
A.
89π\frac{8}{9\pi}
B.
169π\frac{16}{9\pi}
C.
4(2−1)3π\frac{4(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}
D.
12(2−1)3π\frac{12(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}

2015 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2+ex−12f(x) = x^2 + \mathrm{e}^x - \frac{1}{2}（x<0x < 0） 与 g(x)=x2+ln⁡(x+a)g(x) = x^2 + \ln\left(x + a\right) 的图象上存在关于 yy 轴对称的点，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 取函数 ff 图象上的点 (x,f(x))(x,f(x))，其中 x<0x<0. 其关于 yy 轴的对称点为 (−x,f(x))(-x,f(x))，要在 gg 的图象上，就必须满足
x2+ex−12=x2+ln⁡(a−x)x^2+\mathrm{e}^x-\frac12=x^2+\ln(a-x)
因此 a=x+exp⁡(ex−12)a=x+\exp\left(\mathrm{e}^x-\frac12\right)，x<0x<0. 记 h(x)=x+exp⁡(ex−12)h(x)=x+\exp(\mathrm{e}^x-\frac12). 则
h′(x)=1+exexp⁡(ex−12)>0h'(x)=1+\mathrm{e}^x\exp\left(\mathrm{e}^x-\frac12\right)>0
所以 hh 在 (−∞,0)(-\infty,0) 上严格递增. 又 lim⁡x→−∞h(x)=−∞\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty，lim⁡x→0−h(x)=exp⁡(12)=e\lim_{x\to0^-}h(x)=\exp\left(\frac12\right)=\sqrt{\mathrm{e}}. 由于 x=0x=0 不在取值范围内，hh 的值域为 (−∞,e)(-\infty,\sqrt{\mathrm{e}}). 故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,1e)\left(-\infty, \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)
B.
(−∞,e)\left(-\infty, \sqrt{\mathrm{e}}\right)
C.
(−1e,e)\left(-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}, \sqrt{\mathrm{e}}\right)
D.
(−e,1e)\left(-\sqrt{\mathrm{e}}, \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)

2014 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x 的图象与函数 g(x)=x2−4x+4g(x) = x^2 - 4x + 4 的图象的交点个数为（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2013 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★★★☆
已知两条直线 l1:y=ml_1:y=m 和 l2:y=82m+1l_2:y=\frac{8}{2m+1}（m>0m>0），l1l_1 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 AA，BB，l2l_2 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 CC，DD. 记线段 ACAC 和 BDBD 在 xx 轴上的投影长度分别为 aa，bb. 当 mm 变化时，ba\frac{b}{a} 的最小值为（ ）
A.
16216\sqrt{2}
B.
828\sqrt{2}
C.
8438\sqrt[3]{4}
D.
4434\sqrt[3]{4}

2012 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
某企业接到生产 30003000 台某产品的 AA，BB，CC 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 22，22，11（单位：件）. 已知每个工人每天可生产 AA 部件 66 件，或 BB 部件 33 件，或 CC 部件 22 件. 该企业计划安排 200200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 BB 部件的人数与生产 AA 部件的人数成正比，比例系数为 kk（kk 为正整数）.
(1) 设生产 AA 部件的人数为 xx，分别写出完成 AA，BB，CC 三种部件生产需要的时间； (2) 假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 kk 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产三种部件分别需要 TA(x)=3000⋅26x=1000xT_A(x)=\frac{3000\cdot2}{6x}=\frac{1000}{x}，TB(x)=3000⋅23kx=2000kxT_B(x)=\frac{3000\cdot2}{3kx}=\frac{2000}{kx}
TC(x)=30002[200−(1+k)x]=1500200−(1+k)xT_C(x)=\frac{3000}{2[200-(1+k)x]} =\frac{1500}{200-(1+k)x}
其中 x∈N∗x\in\mathbf N^*，且 (1+k)x<200(1+k)x<200.
\item 完成订单所需时间为
T=max⁡{TA(x),TB(x),TC(x)}T=\max\{T_A(x),T_B(x),T_C(x)\}
先考察 k=1k=1. 当 x⩽72x\leqslant72 时，
T⩾TB(x)=2000x⩾200072=2509T\geqslant T_B(x)=\frac{2000}{x}\geqslant\frac{2000}{72}=\frac{250}{9}
当 x⩾73x\geqslant73 时，200−2x⩽54200-2x\leqslant54，故
T⩾TC(x)=1500200−2x⩾150054=2509T\geqslant T_C(x)=\frac{1500}{200-2x}\geqslant\frac{1500}{54}=\frac{250}{9}
当 k=2k=2 时， TA(x)=TB(x)=1000xT_A(x)=T_B(x)=\frac{1000}{x}，TC(x)=1500200−3xT_C(x)=\frac{1500}{200-3x}，x⩽66x\leqslant66. 若 x⩽44x\leqslant44，则
T⩾1000x⩾100044=25011T\geqslant\frac{1000}{x}\geqslant\frac{1000}{44}=\frac{250}{11}
取 x=44x=44 时， TA=TB=25011T_A=T_B=\frac{250}{11}，TC=150068=37517<25011T_C=\frac{1500}{68}=\frac{375}{17}<\frac{250}{11}. 若 x⩾45x\geqslant45，则
T⩾TC(x)⩾1500200−3⋅45=30013>25011T\geqslant T_C(x)\geqslant\frac{1500}{200-3\cdot45} =\frac{300}{13}>\frac{250}{11}
所以 k=2k=2 时最小时间为 25011\frac{250}{11}，人数分组为 x=44x=44，kx=88kx=88，200−(1+k)x=68200-(1+k)x=68.
最后考察 k⩾3k\geqslant3. 此时 TB(x)⩽TA(x)T_B(x)\leqslant T_A(x)，且可行的 xx 范围包含在 k=3k=3 的可行范围内，而 TC(x)T_C(x) 随 kk 增大而不减. 对 k=3k=3，若 x⩽36x\leqslant36，则
T⩾TA(x)⩾100036=2509T\geqslant T_A(x)\geqslant\frac{1000}{36}=\frac{250}{9}
若 x⩾37x\geqslant37，则
T⩾TC(x)⩾1500200−4⋅37=37513>2509T\geqslant T_C(x)\geqslant\frac{1500}{200-4\cdot37} =\frac{375}{13}>\frac{250}{9}
因此所有 k⩾3k\geqslant3 都有 T⩾2509>25011T\geqslant\frac{250}{9}>\frac{250}{11}. 综上，最优值为 k=2k=2，最短时间为 25011\frac{250}{11} 天，方案为 AA，BB，CC 三组分别 4444，8888，6868 人. \end{enumerate} \end{solution}

2012 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−axf(x) = \mathrm{e}^{x} - ax，其中 a>0a > 0.
(1) 若对一切 x∈Rx \in \mathbf{R}，f(x)⩾1f(x) \geqslant 1 恒成立，求 aa 的取值集合； (2) 在函数 f(x)f(x) 的图象上取定两点 A(x1,f(x1))A(x_{1}, f(x_{1}))，B(x2,f(x2))B(x_{2}, f(x_{2}))（x1<x2x_{1} < x_{2}），记直线 ABAB 的斜率为 kk，证明：存在 x0∈(x1,x2)x_{0} \in (x_{1}, x_{2})，使 f′(x0)=kf'(x_{0}) = k 成立.

2012 · 湖南 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米m\text{ 米}，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩. 经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元256\text{ 万元}，距离为 x 米x\text{ 米} 的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2+x)x 万元(2 + \sqrt{x})x\text{ 万元}. 假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元y\text{ 万元}.
(1) 试写出 yy 关于 xx 的函数关系式； (2) 当 m=640 米m = 640\text{ 米} 时，需新建多少个桥墩才能使 yy 最小？

2009 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+bx2+cxf(x) = x^3 + bx^2 + cx 的导函数的图象关于直线 x=2x = 2 对称.
(1) 求 bb 的值； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=tx = t 处取得极小值，记此极小值为 g(t)g(t)，求 g(t)g(t) 的定义域和值域.

2009 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3+12ax2+bxf(x) = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} ax^2 + bx 在区间 [−1,1)[-1, 1)，(1,3](1, 3] 内各有一个极值点.
(1) 求 a2−4ba^2 - 4b 的最大值； (2) 当 a2−4b=8a^2 - 4b = 8 时，设函数 y=f(x)y = f(x) 在点 A(1,f(1))A(1, f(1)) 处的切线为 ll. 若 ll 在点 AA 处穿过 y=f(x)y = f(x) 的图象（即动点在点 AA 附近沿曲线 y=f(x)y = f(x) 运动，经过点 AA 时，从 ll 的一侧进入另一侧），求函数 f(x)f(x) 的表达式.

2007 · 湖南 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−sin⁡xf(x) = x - \sin x，数列 {an}\{a_n\} 满足：0<a1<10 < a_1 < 1，an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots. 证明：
(1) 0<an+1<an<10 < a_{n+1} < a_n < 1； (2) an+1<16an3a_{n+1} < \frac{1}{6} a_n^3.

2006 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax3−3x2+1−3af(x)=ax^3-3x^2+1-\dfrac{3}{a}.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 上两点 AA，BB 处的切线都与 yy 轴垂直，且线段 ABAB 与 xx 轴有公共点，求实数 aa 的取值范围.

2006 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设 t≠0t \neq 0，点 P(t,0)P(t,0) 是函数 f(x)=x3+axf(x) = x^3 + ax 与 g(x)=bx2+cg(x) = bx^2 + c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 PP 处有相同的切线.
(1) 用 tt 表示 aa，bb，cc； (2) 若函数 y=f(x)−g(x)y = f(x) - g(x) 在 (−1,3)(-1, 3) 上单调递减，求 tt 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 记 h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x). 因为 P(t,0)P(t,0) 在两条曲线上，所以 t3+at=0t^3+at=0，bt2+c=0bt^2+c=0. 又因为两条曲线在 PP 处有相同的切线，所以切线斜率相等，即 f′(t)=g′(t)f'(t)=g'(t)，3t2+a=2bt3t^2+a=2bt. 由 t≠0t\neq0，第一式给出 a=−t2a=-t^2. 将其代入斜率关系，得 2t2=2bt2t^2=2bt，所以 b=tb=t. 再由 bt2+c=0bt^2+c=0，得 c=−t3c=-t^3. 因此 a=−t2a=-t^2，b=tb=t，c=−t3c=-t^3.
\item 代入所得参数，
h(x)=x3−tx2−t2x+t3=(x−t)2(x+t)h(x)=x^3-tx^2-t^2x+t^3=(x-t)^2(x+t)
从而
h′(x)=3x2−2tx−t2=(3x+t)(x−t)h'(x)=3x^2-2tx-t^2=(3x+t)(x-t)
函数 h(x)h(x) 在 (−1,3)(-1,3) 上单调递减，要求 h′(x)⩽0h'(x)\leqslant0 在该区间上成立. 因为 h′(x)h'(x) 是开口向上的二次函数，所以区间 (−1,3)(-1,3) 必须位于两个零点之间.
当 t>0t>0 时，两个零点为 −t3-\frac{t}{3} 和 tt，且 −t3<t-\frac{t}{3}<t. 要使 (−1,3)(-1,3) 位于两根之间，需 −t3⩽−1-\frac{t}{3}\leqslant-1，t⩾3t\geqslant3 这等价于 t⩾3t\geqslant3.
当 t<0t<0 时，两个零点为 tt 和 −t3-\frac{t}{3}，且 t<−t3t<-\frac{t}{3}. 此时需 t⩽−1t\leqslant-1，−t3⩾3-\frac{t}{3}\geqslant3 这等价于 t⩽−9t\leqslant-9.
当 t=3t=3 或 t=−9t=-9 时，导数为零的点分别是区间端点，开区间 (−1,3)(-1,3) 内仍有 h′(x)<0h'(x)<0. 故 tt 的取值范围为
(−∞,−9]∪[3,+∞)(-\infty,-9]\cup[3,+\infty)
\end{enumerate} \end{solution}

2005 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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12导数及其应用★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x) 分别是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数和偶函数，当 x<0x<0 时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0. 且 g(−3)=0g(-3)=0，则不等式 f(x)g(x)<0f(x)g(x)<0 的解集是（ ）
A.
(−3,0)∪(3,+∞)(-3,0)\cup(3,+\infty)
B.
(−3,0)∪(0,3)(-3,0)\cup(0,3)
C.
(−∞,−3)∪(3,+∞)(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)
D.
(−∞,−3)∪(0,3)(-\infty,-3)\cup(0,3)

2004 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x2eaxf(x)=x^{2}\mathrm{e}^{ax}，其中 a⩽0a\leqslant 0，e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 上的最大值.

2004 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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