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1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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075分导数及其应用★★★★☆
设 a=0.1e0.1a=0.1\mathrm{e}^{0.1}，b=0.11−0.1b=\frac{0.1}{1-0.1}，c=−ln⁡0.9c=-\ln 0.9，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<b<ac<b<a
C.
c<a<bc<a<b
D.
a<c<ba<c<b

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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126分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 及其导函数 f′(x)f'(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，记 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x). 若 f(32−2x)f\left(\frac32-2x\right)，g(2+x)g(2+x) 均为偶函数，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
g(−12)=0g\left(-\frac12\right)=0
C.
f(−1)=f(4)f(-1)=f(4)
D.
g(−1)=g(2)g(-1)=g(2)

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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155分导数及其应用★★★★☆
若曲线 y=(x+a)exy=(x+a)\mathrm{e}^x 有两条过坐标原点的切线，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★★☆
若定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足 f(0)=−1f(0) = -1，其导函数 f′(x)f'(x) 满足 f′(x)>k>1f'(x) > k > 1，则下列结论中一定错误的是（ ）
A.
f(1k)<1kf\left(\frac{1}{k}\right) < \frac{1}{k}
B.
f(1k)>1k−1f\left(\frac{1}{k}\right) > \frac{1}{k - 1}
C.
f(1k−1)<1k−1f\left(\frac{1}{k - 1}\right) < \frac{1}{k - 1}
D.
f(1k−1)>kk−1f\left(\frac{1}{k - 1}\right) > \frac{k}{k - 1}

2015 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡x−(x−1)22f(x) = \ln x - \frac{(x - 1)^2}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 证明：当 x>1x > 1 时，f(x)<x−1f(x) < x - 1； (3) 确定实数 kk 的所有可能取值，使得存在 x0>1x_0 > 1，当 x∈(1,x0)x \in (1, x_0) 时，恒有 f(x)>k(x−1)f(x) > k (x - 1).

2015 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−axf(x) = \mathrm{e}^{x} - ax（aa 为常数）的图象与 yy 轴交于点 AA，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 AA 处的切线斜率为 −1-1.
(1) 求 aa 的值及函数 f(x)f(x) 的极值； (2) 证明：当 x>0x > 0 时，x2<exx^2 < \mathrm{e}^{x}； (3) 证明：对任意给定的正数 cc，总存在 x0x_0，使得当 x∈(x0,+∞)x \in (x_0, +\infty) 时，恒有 x2<cexx^2 < c\mathrm{e}^{x}.

2014 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−axf(x) = \mathrm{e}^{x} - ax（aa 为常数）的图象与 yy 轴交于点 AA，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 AA 处的切线斜率为 −1-1.
(1) 求 aa 的值及函数 f(x)f(x) 的极值； (2) 证明：当 x>0x > 0 时，x2<exx^2 < \mathrm{e}^x； (3) 证明：对任意给定的正数 cc，总存在 x0x_0，使得当 x∈(x0,+∞)x \in (x_0, +\infty) 时，恒有 x2<cexx^2 < c\mathrm{e}^x.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item f(0)=1f(0)=1，故图象与 yy 轴交于 A=(0,1)A=(0,1). 又 f′(x)=ex−af'(x)=\mathrm{e}^x-a，所以切线斜率为 f′(0)=1−a=−1f'(0)=1-a=-1，从而 a=2a=2. 此时 f′(x)=ex−2f'(x)=\mathrm{e}^x-2，当 x<ln⁡2x<\ln2 时 f′(x)<0f'(x)<0，当 x>ln⁡2x>\ln2 时 f′(x)>0f'(x)>0. 因此函数在 x=ln⁡2x=\ln2 处取得极小值 f(ln⁡2)=eln⁡2−2ln⁡2=2−2ln⁡2f(\ln2)=\mathrm{e}^{\ln2}-2\ln2=2-2\ln2. 又 lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty，所以函数没有最大值. \item 令 g(x)=ex−x2g(x)=\mathrm{e}^x-x^2，则 g′(x)=ex−2xg'(x)=\mathrm{e}^x-2x. 由第（1）问，函数 ex−2x\mathrm{e}^x-2x 的最小值为 2−2ln⁡22-2\ln2. 因为 0<2<e0<2<\mathrm{e}，所以 ln⁡2<1\ln2<1，从而 2−2ln⁡2>02-2\ln2>0，故 g′(x)>0g'(x)>0，即 gg 在 R\mathbf{R} 上递增. 又 g(0)=1>0g(0)=1>0，所以当 x>0x>0 时 g(x)>g(0)>0g(x)>g(0)>0，即 x2<exx^2<\mathrm{e}^x. \item 给定 c>0c>0，取 x0=max⁡{1,2ln⁡4c}x_0=\max\left\{1,2\ln\frac4c\right\}. 当 x>x0x>x_0 时，x>0x>0，且 x>2ln⁡4cx>2\ln\frac4c. 由第（2）问应用于 x2\frac x2，得 x24<ex2\frac{x^2}{4}<\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}，即 x2<4ex2x^2<4\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}. 又由 x>2ln⁡4cx>2\ln\frac4c 得 4<cex24<c\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}，所以 4ex2<cex4\mathrm{e}^{\frac{x}{2}}<c\mathrm{e}^x. 综上，x2<cexx^2<c\mathrm{e}^x. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
当 x∈Rx \in \mathbf{R}，∣x∣<1|x| < 1 时，有如下表达式： 1+x+x2+⋯+xn+⋯=11−x1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} + \cdots = \frac{1}{1-x}. 两边同时积分得： ∫0121 dx+∫012x dx+∫012x2 dx+⋯+∫012xn dx+⋯=∫01211−x dx\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}\,\text{d}x + \cdots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n}\,\text{d}x + \cdots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x}\,\text{d}x， 从而得到如下等式： 1×12+12×(12)2+13×(12)3+⋯+1n+1×(12)n+1+⋯=ln⁡21 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \cdots = \ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： Cn0×12+12Cn1×(12)2+13Cn2×(12)3+⋯+1n+1Cnn×(12)n+1=‾\mathrm C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathrm C_{n}^{1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \mathrm C_{n}^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \mathrm C_{n}^{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−1+aexf(x) = x - 1 + \frac{a}{\mathrm{e}^{x}}（a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线平行于 xx 轴，求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值； (3) 当 a=1a = 1 时，若直线 l:y=kx−1l: y = kx - 1 与曲线 y=f(x)y = f(x) 没有公共点，求 kk 的最大值.

2013 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★☆
对于实数 aa 和 bb，定义运算“∗\ast”：
a∗b={a2−ab,a⩽b,b2−ab,a>b.a \ast b = \begin{cases} a^{2} - ab, & a \leqslant b,\\ b^{2} - ab, & a > b. \end{cases}
设 f(x)=(2x−1)∗(x−1)f(x) = (2x - 1) \ast (x - 1)，且关于 xx 的方程 f(x)=mf(x) = m （m∈Rm \in \mathbf{R}）恰有三个互不相等的实数根 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，则 x1x2x3x_{1}x_{2}x_{3} 的取值范围是______.

2012 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=axsin⁡x−32f(x) = ax \sin x - \frac{3}{2}，a∈Ra \in \mathbf{R}，且在 [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] 上的最大值为 π−32\frac{\pi - 3}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 判断函数 f(x)f(x) 在 (0,π)(0, \pi) 内的零点个数，并加以证明.

2012 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知 aa，bb 为常数，且 a≠0a \neq 0. 函数 f(x)=−ax+b+axln⁡xf(x) = -ax + b + ax \ln x，f(e)=2f(\mathrm{e}) = 2（e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828 \cdots 是自然对数的底数）.
(1) 求实数 bb 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 当 a=1a = 1 时，是否同时存在实数 mm 和 MM（m<Mm < M），使得对每一个 t∈[m,M]t \in [m, M]，直线 y=ty = t 与曲线 y=f(x)y = f(x)（x∈[1e,e]x \in \left[ \frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e} \right]）都有公共点？若存在，求出最小的实数 mm 和最大的实数 MM；若不存在，说明理由.

2011 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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07解析几何★★★★☆
若点 OO 和点 F(−2,0)F(-2,0) 分别为双曲线 x2a2−y2=1\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1 （a>0a > 0）的中心和左焦点，点 PP 为双曲线右支上的任意一点，则 OP→⋅FP→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} 的取值范围为（ ）
A.
[3−23,+∞)\left[3 - 2\sqrt{3}, +\infty\right)
B.
[3+23,+∞)\left[3 + 2\sqrt{3}, + \infty\right)
C.
[−74,+∞)\left[-\frac{7}{4}, +\infty\right)
D.
[74,+∞)\left[\frac{7}{4}, +\infty\right)

2010 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3−x2+ax+bf(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + ax + b 的图象在点 P(0,f(0))P(0, f(0)) 处的切线方程为 y=3x−2y = 3x - 2.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 设 g(x)=f(x)+mx−1g(x) = f(x) + \frac{m}{x - 1} 是 [2,+∞)[2, +\infty) 上的增函数.
(i) 求实数 mm 的最大值； (ii) 当 mm 取最大值时，是否存在点 QQ，使得过点 QQ 的直线若能与曲线 y=g(x)y = g(x) 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点 QQ 的坐标；若不存在，说明理由.

2010 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3+ax2+bxf(x) = \frac{1}{3} x^3 + ax^2 + bx，且 f′(−1)=0f'(-1) = 0.
(1) 试用含 aa 的代数式表示 bb； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 令 a=−1a = -1，设函数 f(x)f(x) 在 x1x_{1}，x2x_{2}（x1<x2x_{1} < x_{2}）处取得极值，记点 M(x1,f(x1))M(x_{1}, f(x_{1}))，N(x2,f(x2))N(x_{2}, f(x_{2})). 证明：线段 MNMN 与曲线 f(x)f(x) 存在异于 MM，NN 的公共点.

2009 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3+x2−2f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 2.
(1) 设 {an}\{a_n\} 是正数组成的数列. 前 nn 项和为 SnS_n，其中 a1=3a_{1} = 3. 若点 (an,an+12−2an+1)(a_{n}, a_{n+1}^{2} - 2a_{n+1})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）在函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象上，求证：点 (n,Sn)(n, S_{n}) 也在 y=f′(x)y = f'(x) 的图象上； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 (a−1,a)(a-1, a) 内的极值.

2008 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元3\text{ 元}，并且每件产品需向总公司交 a 元a\text{ 元}（3⩽a⩽53 \leqslant a \leqslant 5）的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元x\text{ 元}（9⩽x⩽119 \leqslant x \leqslant 11）时，一年的销售量为 (12−x)2 万件(12 - x)^{2}\text{ 万件}.
(1) 求分公司一年的利润 LL（万元）与每件产品的售价 xx 的函数关系式； (2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 LL 最大？并求出 LL 的最大值 Q(a)Q(a).

2007 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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