数迹
题目列表试卷列表
共找到 24 题
排序：
组题
本页 24 题去组卷
116分函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=2x3−3ax2+1f(x)=2x^3-3ax^2+1，则（ ）
A.
当 a>1a>1 时，f(x)f(x) 有三个零点
B.
当 a<0a<0 时，x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点
C.
存在 aa，bb，使得 x=bx=b 为曲线 y=f(x)y=f(x) 的对称轴
D.
存在 aa，使得点 (1,f(1))(1,f(1)) 为曲线 y=f(x)y=f(x) 的对称中心

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

查看答案和解析
116分导数及其应用★★★★☆
若函数 f(x)=aln⁡x+bx+cx2f(x)=a\ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}（a≠0a\ne 0） 既有极大值也有极小值，则（ ）
A.
bc>0bc>0
B.
ab>0ab>0
C.
b2+8ac>0b^2+8ac>0
D.
ac<0ac<0

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

查看答案和解析
096分三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡(2x+φ)f(x)=\sin(2x+\varphi)（0<φ<π0<\varphi<\pi）的图像关于点 (2π3,0)\left(\frac{2\pi}{3},0\right) 中心对称，则（ ）
A.
f(x)f(x) 在区间 (0,5π12)\left(0,\frac{5\pi}{12}\right) 单调递减
B.
f(x)f(x) 在区间 (−π12,11π12)\left(-\frac{\pi}{12},\frac{11\pi}{12}\right) 有两个极值点
C.
直线 x=7π6x=\frac{7\pi}{6} 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的对称轴
D.
直线 y=32−xy=\frac{\sqrt3}{2}-x 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的切线

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 9 题 · 多选题

查看答案和解析
165分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=∣ex−1∣f\left( x \right)=\left| \mathrm{e}^x-1 \right|，x1<0x_1<0，x2>0x_2>0，函数 f(x)f\left( x \right) 的图象在点 A(x1,f(x1))A\left( x_1,f\left( x_1 \right) \right) 和点 B(x2,f(x2))B\left( x_2,f\left( x_2 \right) \right) 处的两条切线互相垂直，且分别交 yy 轴于 MM，NN 两点，则 ∣AM∣∣BN∣\frac{\left| AM \right|}{\left| BN \right|} 取值范围是______.
\begin{answer} (0,1)(0,1) \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xsin⁡2xf(x)=\sin^2 x\sin 2x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 的单调性； (2) 证明：∣f(x)∣≤338|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}； (3) 设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：sin⁡2xsin⁡22xsin⁡24x⋯sin⁡22nx≤3n4n\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2ln⁡x+1f(x)=2\ln x+1.
(1) 若 f(x)≤2x+cf(x)\le 2x+c，求 cc 的取值范围； (2) 设 a>0a>0，讨论函数 g(x)=f(x)−f(a)x−ag(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 的单调性.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1x−1f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性，并证明 f(x)f(x) 有且仅有两个零点； (2) 设 x0x_0 是 f(x)f(x) 的一个零点，证明曲线 y=ln⁡xy=\ln x 在点 A(x0,ln⁡x0)A(x_0,\ln x_0) 处的切线也是曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的切线.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−1)ln⁡x−x−1f(x)=(x-1)\ln x-x-1. 证明：
(1) f(x)f(x) 存在唯一的极值点； (2) f(x)=0f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3−a(x2+x+1)f(x)=\dfrac13x^3-a(x^2+x+1).
(1) 若 a=3a=3，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：f(x)f(x) 只有一个零点.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
12不等式★★★★☆
当 x∈[−2,1]x \in [-2, 1] 时，不等式 ax3−x2+4x+3⩾0ax^3 - x^2 + 4x + 3 \geqslant 0 恒成立，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−5,−3][-5, - 3]
B.
[−6,−98]\left[-6, -\frac{9}{8}\right]
C.
[−6,−2][-6, - 2]
D.
[−4,−3][-4, - 3]

2014 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
12导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 满足 x2f′(x)+2xf(x)=exxx^{2}f'(x) + 2xf(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}，f(2)=e28f(2) = \frac{\mathrm{e}^{2}}{8}，则 x>0x > 0 时，f(x)f(x)（ ）
A.
有极大值，无极小值
B.
有极小值，无极大值
C.
既有极大值又有极小值
D.
既无极大值也无极小值

2013 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
(1) 证明：当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，22x⩽sin⁡x⩽x\frac{\sqrt{2}}{2}x \leqslant \sin x \leqslant x； (2) 若不等式 ax+x2+x32+2(x+2)cos⁡x⩽4ax + x^2 + \frac{x^3}{2} + 2(x + 2)\cos x \leqslant 4 对 x∈[0,1]x \in [0,1] 恒成立，求实数 aa 的取值范围.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
12导数及其应用★★★★☆
若 x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.
ex⩽1+x+x2\mathrm{e}^{x}\leqslant1+x+x^{2}
B.
11+x⩽1−12x+14x2\frac{1}{\sqrt{1 + x}}\leqslant 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^2
C.
cos⁡x⩾1−12x2\cos x \geqslant 1 - \frac{1}{2} x^2
D.
ln⁡(1+x)⩾x−18x2\ln (1 + x) \geqslant x - \frac{1}{8} x^2

2012 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(a+1)ln⁡x+ax2+1f(x)=(a+1)\ln x+ax^2+1.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a⩽−2a\leqslant -2，证明：对任意 x1x_1，x2∈(0,+∞)x_2\in(0,+\infty)，∣f(x1)−f(x2)∣⩾4∣x1−x2∣|f(x_1)-f(x_2)|\geqslant 4|x_1-x_2|.

2010 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=12x2−ax+(a−1)ln⁡xf(x) = \frac{1}{2}x^2 - ax + (a - 1)\ln x，a>1a > 1.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：若 a<5a < 5，则对于任意 x1x_{1}，x2∈(0,+∞)x_{2} \in (0, +\infty)，x1≠x2x_{1} \neq x_{2}，有 f(x1)−f(x2)x1−x2>−1\dfrac{f(x_{1}) - f(x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > -1.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=ex(ax2+x+1)f(x) = \mathrm{e}^{x}(ax^{2} + x + 1)，且曲线 y=f(x)y = f(x) 在 x=1x = 1 处的切线与 xx 轴平行.
(1) 求 aa 的值，并讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 θ∈[0,π2]\theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] 时，∣f(cos⁡θ)−f(sin⁡θ)∣<2|f(\cos \theta) - f(\sin \theta)| < 2.

2009 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ln⁡x1+x−ln⁡x+ln⁡(x+1)f(x) = \frac{\ln x}{1 + x} - \ln x + \ln (x + 1).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间和极值. (2) 是否存在实数 aa，使得关于 xx 的不等式 f(x)⩾af(x) \geqslant a 的解集为 (0,+∞)(0, +\infty)？若存在，求 aa 的取值范围；若不存在，试说明理由.

2008 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
22导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ax3+bx2−3a2x+1f(x) = ax^3 + bx^2 - 3a^2x + 1（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）在 x=x1x = x_1，x=x2x = x_2 处取得极值，且 ∣x1−x2∣=2\lvert x_1 - x_2\rvert = 2.
(1) 若 a=1a = 1，求 bb 的值，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 a>0a > 0，求 bb 的取值范围.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
12导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的连续函数，如果 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 仅当 x=0x = 0 时的函数值为 00，且 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A.
00 是 f(x)f(x) 的极大值，也是 g(x)g(x) 的极大值
B.
00 是 f(x)f(x) 的极小值，也是 g(x)g(x) 的极小值
C.
00 是 f(x)f(x) 的极大值，但不是 g(x)g(x) 的极值
D.
00 是 f(x)f(x) 的极小值，但不是 g(x)g(x) 的极值

2007 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
19导数及其应用★★★★☆
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 CC 与产量 qq 的函数关系式为 C=q33−3q2+20q+10C = \frac{q^{3}}{3} - 3q^{2} + 20q + 10（q>0q > 0）. 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种情形发生的概率及产品价格 pp 与产量 qq 的函数关系如下表所示：
设 L1L_1，L2L_2，L3L_3 分别表示市场情形好，中，差时的利润，随机变量 ξq\xi_q 表示当产量 qq 而市场前景无法确定时的利润.
(1) 分别求利润 L1L_1，L2L_2，L3L_3 与产量 qq 的函数关系式. (2) 当产量 qq 确定时，求期望 E(ξq)E(\xi_q). (3) 试问产量 qq 取何值时，E(ξq)E(\xi_q) 取得最大值.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+df(x) = \frac{1}{3} ax^3 + (a + d)x^2 + (a + 2d)x + d，g(x)=ax2+2(a+2d)x+a+4dg(x) = ax^2 + 2(a + 2d)x + a + 4d. 其中 a>0a > 0，d>0d > 0. 设 x0x_0 为 f(x)f(x) 的极小值点，x1x_1 为 g(x)g(x) 的极值点，g(x2)=g(x3)=0g(x_2) = g(x_3) = 0，并且 x2<x3x_2 < x_3. 将点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))，(x1,g(x1))(x_1, g(x_1))，(x2,0)(x_2, 0)，(x3,0)(x_3, 0) 依次记为 AA，BB，CC，DD.
(1) 求 x0x_0 的值； (2) 若四边形 APCDAPCD 为梯形且面积为 1，求 aa，dd 的值.

2006 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
18导数及其应用★★★★☆
如图，在直径为 11 的圆 OO 中，作一关于圆心对称，邻边互相垂直的十字形，其中 y>x>0y > x > 0.
(1) 将十字形的面积表示为 θ\theta 的函数； (2) θ\theta 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设图中十字形的横、纵两个长方形的长边均为 yy，短边均为 xx. 两个长方形的公共部分是边长为 xx 的正方形，所以十字形面积为 S=2xy−x2S=2xy-x^2. 由图中半径方向形成的直角三角形及圆的直径为 11，有 x=cos⁡θx=\cos\theta，y=sin⁡θy=\sin\theta. 条件 y>x>0y>x>0 给出 π4<θ<π2\frac\pi4<\theta<\frac\pi2，故 S(θ)=2sin⁡θcos⁡θ−cos⁡2θS(\theta)=2\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta.
\item 对上式求导，得 S′(θ)=2cos⁡2θ+sin⁡2θS'(\theta)=2\cos2\theta+\sin2\theta. 在 π4<θ<π2\frac\pi4<\theta<\frac\pi2 内，令 S′(θ)=0S'(\theta)=0，则 2cos⁡2θ+sin⁡2θ=02\cos2\theta+\sin2\theta=0. 因为 π2<2θ<π\frac\pi2<2\theta<\pi，所以 sin⁡2θ=25\sin2\theta=\frac2{\sqrt5}，cos⁡2θ=−15\cos2\theta=-\frac1{\sqrt5}. 因而 θ=π4+12arccos⁡25\theta=\frac\pi4+\frac12\arccos\frac2{\sqrt5}. 此时
S=sin⁡2θ−cos⁡2θ=25−1+cos⁡2θ2=25−1−152=5−12S=\sin2\theta-\cos^2\theta =\frac2{\sqrt5}-\frac{1+\cos2\theta}{2} =\frac2{\sqrt5}-\frac{1-\frac1{\sqrt5}}2 =\frac{\sqrt5-1}{2}
区间端点不属于定义域；当 θ→π4+\theta\to\frac\pi4+ 和 θ→π2−\theta\to\frac\pi2- 时，面积分别趋于 12\frac12 和 00，均小于上述驻点处的面积. 又上述驻点唯一且导数由正变负，所以该值为最大面积. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−32x2f(x)=ax-\frac{3}{2}x^{2} 的最大值不大于 16\frac{1}{6}，又当 x∈[14,12]x \in \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right] 时，f(x)≥18f(x) \ge \frac{1}{8}.
(1) 求 aa 的值； (2) 设 0<a1<120 < a_1 < \frac{1}{2}，an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*. 证明 an<1n+1a_n < \frac{1}{n+1}.

2004 · 辽宁 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡(ex+a)f(x) = \ln(\mathrm{e}^x + a)（a>0a > 0）.
(1) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 及 f(x)f(x) 的导数 f′(x)f'(x)； (2) 假设对任意 x∈[ln⁡(3a),ln⁡(4a)]x \in [\ln(3a), \ln(4a)]，不等式 ∣m−f−1(x)∣+ln⁡(f′(x))<0|m - f^{-1}(x)| + \ln(f'(x)) < 0 成立，求实数 mm 的取值范围.

2004 · 辽宁 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析