真题题库 | 数迹

当

a>1

时，

f(x)

有三个零点

当

a<0

时，

x=0

是

f(x)

的极大值点

存在

a

b

，使得

x=b

为曲线

y=f(x)

的对称轴

存在

a

，使得点

(1,f(1))

为曲线

y=f(x)

的对称中心

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

116分导数及其应用★★★★☆

若函数

f(x)=a\ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}

a\ne 0

）既有极大值也有极小值，则（）

bc>0

ab>0

b^2+8ac>0

ac<0

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

096分三角函数★★★★☆

f(x)=\sin(2x+\varphi)

0<\varphi<\pi

）的图像关于点

\left(\frac{2\pi}{3},0\right)

中心对称，则（）

f(x)

在区间

\left(0,\frac{5\pi}{12}\right)

单调递减

f(x)

在区间

\left(-\frac{\pi}{12},\frac{11\pi}{12}\right)

有两个极值点

直线

x=\frac{7\pi}{6}

是曲线

y=f(x)

的对称轴

直线

y=\frac{\sqrt3}{2}-x

是曲线

y=f(x)

的切线

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 9 题 · 多选题

165分导数及其应用★★★★☆

f\left( x \right)=\left| \mathrm{e}^x-1 \right|

x_1<0

x_2>0

，函数

f\left( x \right)

的图象在点

A\left( x_1,f\left( x_1 \right) \right)

和点

B\left( x_2,f\left( x_2 \right) \right)

处的两条切线互相垂直，且分别交

y

轴于

M

N

两点，则

\frac{\left| AM \right|}{\left| BN \right|}

取值范围是______.

\begin{answer}

(0,1)

\end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

21导数及其应用★★★★☆

f(x)=\sin^2 x\sin 2x

(1) 讨论

f(x)

在区间

(0,\pi)

的单调性； (2) 证明：

|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}

； (3) 设

n\in\mathbf{N}^*

，证明：

\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

21导数及其应用★★★★☆

f(x)=2\ln x+1

f(x)\le 2x+c

，求

c

的取值范围； (2) 设

a>0

，讨论函数

g(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

的单调性.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

20导数及其应用★★★★☆

f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}

(1) 讨论

f(x)

的单调性，并证明

f(x)

有且仅有两个零点； (2) 设

x_0

是

f(x)

的一个零点，证明曲线

y=\ln x

在点

A(x_0,\ln x_0)

处的切线也是曲线

y=\mathrm{e}^x

的切线.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

21导数及其应用★★★★☆

f(x)=(x-1)\ln x-x-1

. 证明：

(1)

f(x)

存在唯一的极值点； (2)

f(x)=0

有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

21导数及其应用★★★★☆

f(x)=\dfrac13x^3-a(x^2+x+1)

a=3

，求

f(x)

的单调区间； (2) 证明：

f(x)

只有一个零点.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

20导数及其应用★★★★☆

设函数

f(x) = \frac{3x^2 + ax}{\mathrm{e}^x}

a \in \mathbf{R}

）.

f(x)

在

x = 0

处取得极值，确定

a

的值，并求此时曲线

y = f(x)

在点

(1, f(1))

处的切线方程； (2) 若

f(x)

在

[3, +\infty)

上为减函数，求

a

2015 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

20导数及其应用★★★★☆

f(x) = a\mathrm{e}^{2x} - b\mathrm{e}^{-2x} - cx

a

b

c \in \mathbf{R}

）的导函数

f'(x)

为偶函数，且曲线

y = f(x)

在点

\left(0, f(0)\right)

处的切线的斜率为

4-c

(1) 确定

a

b

的值； (2) 若

c = 3

，判断

f(x)

的单调性； (3) 若

f(x)

有极值，求

c

2014 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

10函数与初等函数★★★★☆

把函数

f(x) = x^3 - 3x

的图象

C_1

向右平移

u

个单位长度，再向下平移

v

个单位长度后得到图象

C_2

. 若对任意的

u > 0

，曲线

C_1

与

C_2

至多只有一个交点，则

v

的最小值为（）

2

4

6

8

2009 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

12函数与初等函数★★★★☆

函数

f(x) = \frac{\sin x}{\sqrt{5 + 4\cos x}}

0 \leqslant x \leqslant 2\pi

）的值域是（）

\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]

\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]

\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]

\left[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right]

2008 · 重庆 · 文 · 第 12 题 · 选择题

20导数及其应用★★★★☆

f(x) = ax^{4}\ln x + bx^{4} - c

x > 0

）在

x = 1

处取得极值

-3 - c

，其中

a

b

c

为常数.

(1) 试确定

a

b

的值； (2) 讨论函数

f(x)

的单调区间； (3) 若对任意

x > 0

，不等式

f(x) \geqslant -2c^{2}

恒成立，求

c

2007 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

20导数及其应用★★★★☆

f(x) = (x^{2} + bx + c)\mathrm{e}^{x}

，其中

b

c \in \mathbf{R}

为常数.

b^{2} > 4(c - 1)

，讨论函数

f(x)

的单调性； (2) 若

b^{2} \leqslant 4(c - 1)

，且

\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x) - c}{x} = 4

，试证：

-6 \leqslant b \leqslant 2

2006 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

19导数及其应用★★★★☆

已知

a \in \mathbf{R}

，讨论函数

f(x) = \mathrm{e}^{x}(x^{2} + ax + a + 1)

的极值点的个数.

2005 · 重庆 · 理 · 第 19 题 · 解答题

16解析几何★★★★☆

对任意实数

k

，直线

y=kx+b

与椭圆

\begin{cases} x=\sqrt{3}+2\cos\theta,\\ y=1+4\sin\theta \end{cases}

0\leqslant\theta\leqslant2\pi

）恰有一个公共点，则

b

取值范围是______.

2004 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

20导数及其应用★★★★☆

设函数

f(x)=x(x-1)(x-a)

a>1

）.

(1) 求导数

f'(x)

，并证明

f(x)

有两个不同的极值点

x_1

x_2

； (2) 若不等式

f(x_1)+f(x_2)\leqslant0

成立，求

a

2004 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题