数迹
题目列表试卷列表
共找到 26 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x)=(1-ax)\ln(1+x)-x.
(1) 当 a=−2a=-2 时，求 f(x)f(x) 的极值； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥0f(x)\ge 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
16导数及其应用★★★★☆
当 x>0x>0 时，曲线 y=x3−3xy=x^3-3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay=-(x-1)^2+a 有两个交点，则 aa 的取值范围是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(x−1)−ln⁡x+1f(x)=a(x-1)-\ln x+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a≤2a\le2，证明：当 x>1x>1 时，f(x)<ex−1f(x)<\mathrm{e}^{x-1}.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
16导数及其应用★★★★☆
设 a∈(0,1)a\in(0,1)，若函数 f(x)=ax+(1+a)x+1f(x)=a^x+(1+a)^{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，则 aa 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x)=\left(\frac1x+a\right)\ln(1+x).
(1) 当 a=−1a=-1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，求 aa 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=−1a=-1 时，f(x)=(1x−1)ln⁡(1+x)f(x)=\left(\dfrac1x-1\right)\ln(1+x)，所以 f(1)=0f(1)=0，且
f′(x)=−ln⁡(1+x)x2+1x−11+xf'(x)=-\frac{\ln(1+x)}{x^2}+\frac{\frac{1}{x}-1}{1+x}
因此 f′(1)=−ln⁡2f'(1)=-\ln2，曲线在 (1,f(1))=(1,0)(1,f(1))=(1,0) 处的切线方程为 y=−ln⁡2(x−1)y=-\ln2(x-1)，即 y=−(ln⁡2)x+ln⁡2y=-(\ln2)x+\ln2. \item 当 x>0x>0 时，
f′(x)=1x+a1+x−ln⁡(1+x)x2=x+ax2−(1+x)ln⁡(1+x)x2(1+x)f'(x)=\frac{\frac{1}{x}+a}{1+x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}=\frac{x+ax^2-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}
由于分母为正，f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增等价于 a≥g(x)a\ge g(x)，其中
g(x)=(1+x)ln⁡(1+x)−xx2g(x)=\frac{(1+x)\ln(1+x)-x}{x^2}
令 h(x)=x22+x−(1+x)ln⁡(1+x)h(x)=\dfrac{x^2}{2}+x-(1+x)\ln(1+x)，则 h(0)=0h(0)=0，且 h′(x)=x−ln⁡(1+x)>0h'(x)=x-\ln(1+x)>0（因为 ln⁡(1+x)<x\ln(1+x)<x），所以 h(x)>0h(x)>0. 因而 g(x)<12g(x)<\dfrac12；另一方面，由两次求导或 ln⁡(1+x)=x−x22+o(x2)\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，得 lim⁡x→0+g(x)=12\lim_{x\to0^+}g(x)=\dfrac12. 所以 sup⁡x>0g(x)=12\sup_{x>0}g(x)=\dfrac12.
当 a≥12a\ge\dfrac12 时，a≥g(x)a\ge g(x) 对任意 x>0x>0 成立，故 f′(x)>0f'(x)>0，函数在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增；当 a<12a<\dfrac12 时，由 g(x)→12g(x)\to\dfrac12，可取充分小的正数 xx 使 g(x)>ag(x)>a，此时 f′(x)<0f'(x)<0，不满足题意. 因此 aa 的取值范围为 [12,+∞)\left[\dfrac12,+\infty\right). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
09立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ln⁡(a−x)f(x)=\ln(a-x)，已知 x=0x=0 是函数 y=xf(x)y=xf(x) 的极值点.
(1) 求 aa； (2) 设函数 g(x)=x+f(x)xf(x)g(x)=\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}，证明：g(x)<1g(x)<1.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
12导数及其应用★★★★☆
设 a≠0a\ne0，若 x=ax=a 是函数 f(x)=a(x−a)2(x−b)f(x)=a\left(x-a\right)^2\left(x-b\right) 的极大值点，则（ ）
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<a2ab<a^2
D.
ab>a2ab>a^2

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−x2+ax+1f(x)=x^3-x^2+ax+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y=f(x)y=f(x) 的公共点的坐标.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2xsin⁡2xf(x)=\sin^2 x\sin 2x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 的单调性； (2) 证明：∣f(x)∣≤338|f(x)|\leq \dfrac{3\sqrt3}{8}； (3) 设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：sin⁡2xsin⁡22xsin⁡24x⋯sin⁡22nx≤3n4n\sin^2 x\sin^2 2x\sin^2 4x\cdots \sin^2 2^n x\leq \dfrac{3^n}{4^n}.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2ln⁡x+1f(x)=2\ln x+1.
(1) 若 f(x)≤2x+cf(x)\le 2x+c，求 cc 的取值范围； (2) 设 a>0a>0，讨论函数 g(x)=f(x)−f(a)x−ag(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 的单调性.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1x−1f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性，并证明 f(x)f(x) 有且仅有两个零点； (2) 设 x0x_0 是 f(x)f(x) 的一个零点，证明曲线 y=ln⁡xy=\ln x 在点 A(x0,ln⁡x0)A(x_0,\ln x_0) 处的切线也是曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的切线.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−1)ln⁡x−x−1f(x)=(x-1)\ln x-x-1. 证明：
(1) f(x)f(x) 存在唯一的极值点； (2) f(x)=0f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3−a(x2+x+1)f(x)=\dfrac13x^3-a(x^2+x+1).
(1) 若 a=3a=3，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：f(x)f(x) 只有一个零点.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
12函数与初等函数★★★★☆
对二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c （aa 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A.
−1-1 是 f(x)f(x) 的零点
B.
11 是 f(x)f(x) 的极值点
C.
33 是 f(x)f(x) 的极值
D.
点 (2,8)(2,8) 在曲线 y=f(x)y = f(x) 上

2015 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★★☆
设 fn(x)f_{n}(x) 是等比数列 11，xx，x2x^{2}，⋯\cdots，xnx^{n} 的各项和，其中 x>0x > 0，n∈Nn \in \mathbf{N}，n⩾2n \geqslant 2.
(1) 证明：函数 Fn(x)=fn(x)−2F_{n}(x) = f_{n}(x) - 2 在 (12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right) 内有且仅有一个零点（记为 xnx_{n}），且 xn=12+12xnn+1x_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_{n}^{n+1}； (2) 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn(x)g_{n}(x)，比较 fn(x)f_{n}(x) 和 gn(x)g_{n}(x) 的大小，并加以证明.

2015 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
设 fn(x)=x+x2+⋯+xn−1f_{n}(x)=x+x^{2}+\cdots+x^{n}-1，x⩾0x \geqslant 0，n∈Nn \in \mathbf{N}，n⩾2n \geqslant 2.
(1) 求 fn′(2)f_{n}^{\prime}(2)； (2) 证明：fn(x)f_{n}(x) 在 (0,23)\left(0, \frac{2}{3}\right) 内有且仅有一个零点（记为 ana_{n}），且 0<an−12<13(23)n0 < a_{n} - \frac{1}{2} < \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.

2015 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
23导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=exf(x) = \mathrm{e}^{x}，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的反函数的图象上点 (1,0)(1,0) 处的切线方程. (2) 证明：曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=12x2+x+1y = \frac{1}{2} x^2 + x + 1 有唯一公共点. (3) 设 a<ba < b，比较 f(a+b2)f\left(\frac{a + b}{2}\right) 与 f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} 的大小，并说明理由.

2013 · 陕西 · 文 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
如图，从点 P1(0,0)P_{1}(0,0) 作 xx 轴的垂线交曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 于点 Q1(0,1)Q_{1}(0,1)，曲线在 Q1Q_{1} 点处的切线与 xx 轴交于点 P2P_{2}，再从 P2P_{2} 作 xx 轴的垂线交曲线于点 Q2Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P1P_{1}，Q1Q_{1}；P2P_{2}，Q2Q_{2}；⋯\cdots；PnP_{n}，QnQ_{n}，记 PkP_{k} 点的坐标为 (xk,0)(x_{k}, 0)（k=1k = 1，22，⋯\cdots，nn）.
(1) 试求 xkx_{k} 与 xk−1x_{k-1} 的关系（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n）； (2) 求 ∣P1Q1∣+∣P2Q2∣+∣P3Q3∣+⋯+∣PnQn∣\left|P_{1}Q_{1}\right|+\left|P_{2}Q_{2}\right|+\left|P_{3}Q_{3}\right|+\cdots+\left|P_{n}Q_{n}\right|.

2011 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
23导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x，g(x)=f(x)+f′(x)g(x) = f(x) + f'(x).
(1) 求 g(x)g(x) 的单调区间和最小值； (2) 讨论 g(x)g(x) 与 g(1x)g\left(\frac{1}{x}\right) 的大小关系； (3) 求 aa 的取值范围，使得 g(a)−g(x)<1ag(a) - g(x) < \frac{1}{a} 对任意 x>0x > 0 成立.

2011 · 陕西 · 文 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=xf(x) = \sqrt{x}，g(x)=aln⁡xg(x) = a\ln x，a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=g(x)y = g(x) 相交，且在交点处有共同的切线，求 aa 的值和该切线方程； (2) 设函数 h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x)，当 h(x)h(x) 存在最小值时，求其最小值 φ(a)\varphi(a) 的解析式； (3) 对第 22 问中的 φ(a)\varphi(a) 和任意的 a>0a > 0，b>0b > 0，证明：φ′(a+b2)⩽φ′(a)+φ′(b)2⩽φ′(2aba+b)\varphi'\left(\frac{a + b}{2}\right) \leqslant \frac{\varphi'(a) + \varphi'(b)}{2} \leqslant \varphi'\left(\frac{2ab}{a + b}\right).

2010 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=kx+1x2+cf(x) = \frac{kx + 1}{x^2 + c}（c>0c > 0且 c≠1c \neq 1，k∈Rk \in \mathbf{R}）恰有一个极大值点和一个极小值点. 其中一个是 x=−cx = -c.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的另一个极值点； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极大值 MM 和极小值 mm，并求 M−m⩾1M - m \geqslant 1 时 kk 的取值范围.

2008 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
22导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3+ax2−a2x+1f(x) = x^{3} + ax^{2} - a^{2}x + 1，g(x)=ax2−2x+1g(x) = ax^{2} - 2x + 1，其中实数 a≠0a \neq 0.
(1) 若 a>0a > 0，求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当函数 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 的图象只有一个公共点且 g(x)g(x) 存在最小值时，记 g(x)g(x) 的最小值为 h(a)h(a)，求 h(a)h(a) 的值域； (3) 若 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 在区间 (a,a+2)(a, a + 2) 内均为增函数，求 aa 的取值范围.

2008 · 陕西 · 文 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
20函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=exx2+ax+af(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x^2 + a x + a}，其中 aa 为实数.
(1) 若 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，求 aa 的取值范围； (2) 当 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R} 时，求 f(x)f(x) 的单调减区间.

2007 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析