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11导数及其应用★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 是一块边长为 44 的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线 MNMN 为以 ADAD 为对称轴的抛物线的一部分，且 DM=DN=3DM=DN=3. 工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料 BQPRBQPR，当其面积有最大值时，AQAQ 的长为______.

2025 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★★☆
当 x>0x>0 时，曲线 y=x3−3xy=x^3-3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay=-(x-1)^2+a 有两个交点，则 aa 的取值范围是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★★☆
设 a∈(0,1)a\in(0,1)，若函数 f(x)=ax+(1+a)x+1f(x)=a^x+(1+a)^{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，则 aa 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★★☆
某公园欲建设一段斜坡，斜坡面是一平面，坡面与水平地面所成角为 θ\theta，坡顶距离水平地面的垂直高度为 44 米，游客从坡底沿着斜坡面向上直行，每走 11 米消耗的体力为 1.025−cos⁡θ1.025-\cos\theta，当 θ=‾\theta=\underline{\hspace{2em}} 时，游客走斜坡所消耗的总体力最小.

2023 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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155分导数及其应用★★★★☆
若曲线 y=(x+a)exy=(x+a)\mathrm{e}^x 有两条过坐标原点的切线，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC，点 DD 在边 BCBC 上，∠ADB=120∘\angle ADB=120^\circ，AD=2AD=2，CD=2BDCD=2BD. 当 ACAB\frac{AC}{AB} 取得最小值时，BD=BD=______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 在边 BCBC 上，∠ADB=120∘\angle ADB=120^\circ，AD=2AD=2，且 CD=2BDCD=2BD. 当 ACAB\dfrac{AC}{AB} 取得最小值时，BD=BD=______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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165分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=∣ex−1∣f\left( x \right)=\left| \mathrm{e}^x-1 \right|，x1<0x_1<0，x2>0x_2>0，函数 f(x)f\left( x \right) 的图象在点 A(x1,f(x1))A\left( x_1,f\left( x_1 \right) \right) 和点 B(x2,f(x2))B\left( x_2,f\left( x_2 \right) \right) 处的两条切线互相垂直，且分别交 yy 轴于 MM，NN 两点，则 ∣AM∣∣BN∣\frac{\left| AM \right|}{\left| BN \right|} 取值范围是______.
\begin{answer} (0,1)(0,1) \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知 P ⁣(32,0)P\!\left(\dfrac{\sqrt3}{2},0\right)，AA，BB 是圆 C:x2+(y−12)2=36C:x^2+\left(y-\dfrac12\right)^2=36 上的两个动点，满足 PA=PBPA=PB，则 △PAB\triangle PAB 面积的最大值是______.

2020 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，圆形纸片的圆心为 OO，半径为 5 cm5\mathrm{~cm}，该纸片上的等边三角形 ABCABC 的中心为 OO. DD，EE，FF 为圆 OO 上的点，△DBC\triangle DBC，△ECA\triangle ECA，△FAB\triangle FAB 分别是以 BCBC，CACA，ABAB 为底边的等腰三角形. 沿虚线剪开后，分别以 BCBC，CACA，ABAB 为折痕折起 △DBC\triangle DBC，△ECA\triangle ECA，△FAB\triangle FAB，使得 DD，EE，FF 重合，得到三棱锥. 当 △ABC\triangle ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3\mathrm{cm}^3）的最大值为______.

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17函数与初等函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=∣x+4x−a∣+af(x)=\left|x+\dfrac{4}{x}-a\right|+a 在区间 [1,4][1,4] 上的最大值是 5，则 aa 的取值范围是______.

2017 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★★☆
若直线 y=kx+by=kx+b 是曲线 y=ln⁡x+2y=\ln x+2 的切线，也是曲线 y=ln⁡(x+1)y=\ln(x+1) 的切线，则 b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
设函数
f(x)={x3−3x,x≤a,−2x,x>a.f(x)=\begin{cases} x^3-3x, & x\le a,\\ -2x, & x>a. \end{cases}
(1) 若 a=0a=0，则 f(x)f(x) 的最大值为______； (2) 若 f(x)f(x) 无最大值，则实数 aa 的取值范围是______.

2016 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★★☆
设 x3+ax+b=0x^{3} + ax + b = 0，其中 aa，bb 均为实数. 下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是______.
① a=−3a = -3，b=−3b = -3； ② a=−3a = -3，b=2b = 2； ③ a=−3a = -3，b>2b > 2； ④ a=0a = 0，b=2b = 2； ⑤ a=1a = 1，b=2b = 2.
\begin{solution} 令 g(x)=x3+ax+bg(x)=x^3+ax+b，则 g′(x)=3x2+ag'(x)=3x^2+a.
当 a=−3a=-3 时，g′(x)=3(x2−1)g'(x)=3(x^2-1)，极值点为 x=−1x=-1，11，且 g(−1)=b+2g(-1)=b+2，g(1)=b−2g(1)=b-2. 条件\circled{1}中 b=−3b=-3，两个极值点的函数值均为负，曲线只在 x>1x>1 上与 xx 轴相交一次；条件\circled{2}中 b=2b=2，方程为 x3−3x+2=(x−1)2(x+2)=0x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0，有两个不同的实根，故不满足；条件\circled{3}中 b>2b>2，两个极值点的函数值均为正，曲线只在 x<−1x<-1 上与 xx 轴相交一次.
条件\circled{4}中方程为 x3+2=0x^3+2=0，函数 x3+2x^3+2 严格递增，只有一个实根；条件\circled{5}中 g′(x)=3x2+1>0g'(x)=3x^2+1>0，函数严格递增，也只有一个实根. 所以正确条件为 \circled1\circled{1}，\circled3\circled{3}，\circled4\circled{4}，\circled5\circled{5}. \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

2015 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
若 △ABC\triangle ABC 的内角满足 sin⁡A+2sin⁡B=2sin⁡C\sin A + \sqrt{2}\sin B = 2\sin C，则 cos⁡C\cos C 的最小值是______.

2014 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★★☆
已知函数 y=f(x)y = f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）. 对函数 y=g(x)y = g(x) （x∈Ix \in I），定义 g(x)g(x) 关于 f(x)f(x) 的“对称函数”为函数 y=h(x)y = h(x) （x∈Ix \in I），y=h(x)y = h(x) 满足：对任意 x∈Ix \in I，两个点 (x,h(x))(x, h(x))，(x,g(x))(x, g(x)) 关于点 (x,f(x))(x, f(x)) 对称. 若 h(x)h(x) 是 g(x)=4−x2g(x) = \sqrt{4 - x^2} 关于 f(x)=3x+bf(x) = 3x + b 的“对称函数”，且 h(x)>g(x)h(x) > g(x) 恒成立，则实数 bb 的取值范围是______.

2014 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
设 a+b=2a + b = 2，b>0b > 0，则当 a=‾a =\underline{\hspace{2em}} 时，12∣a∣+∣a∣b\frac{1}{2|a|} + \frac{|a|}{b} 取得最小值.

2013 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
当 x∈Rx \in \mathbf{R}，∣x∣<1|x| < 1 时，有如下表达式： 1+x+x2+⋯+xn+⋯=11−x1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} + \cdots = \frac{1}{1-x}. 两边同时积分得： ∫0121 dx+∫012x dx+∫012x2 dx+⋯+∫012xn dx+⋯=∫01211−x dx\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}\,\text{d}x + \cdots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n}\,\text{d}x + \cdots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x}\,\text{d}x， 从而得到如下等式： 1×12+12×(12)2+13×(12)3+⋯+1n+1×(12)n+1+⋯=ln⁡21 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \cdots = \ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： Cn0×12+12Cn1×(12)2+13Cn2×(12)3+⋯+1n+1Cnn×(12)n+1=‾\mathrm C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathrm C_{n}^{1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \mathrm C_{n}^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \mathrm C_{n}^{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
已知正数 aa，bb，cc 满足 5c−3a⩽b⩽4c−a5c-3a \leqslant b \leqslant 4c-a，cln⁡b⩾a+cln⁡cc \ln b \geqslant a + c \ln c，则 ba\frac{b}{a} 的取值范围是______.

2012 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
对于实数 aa 和 bb，定义运算“∗\ast”：
a∗b={a2−ab,a⩽b,b2−ab,a>b.a \ast b = \begin{cases} a^{2} - ab, & a \leqslant b,\\ b^{2} - ab, & a > b. \end{cases}
设 f(x)=(2x−1)∗(x−1)f(x) = (2x - 1) \ast (x - 1)，且关于 xx 的方程 f(x)=mf(x) = m （m∈Rm \in \mathbf{R}）恰有三个互不相等的实数根 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，则 x1x2x3x_{1}x_{2}x_{3} 的取值范围是______.

2012 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12导数及其应用★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 PP 是函数 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x （x>0x>0）的图象上的动点，该图象在 PP 处的切线 ll 交 yy 轴于点 MM. 过点 PP 作 ll 的垂线交 yy 轴于点 NN. 设线段 MNMN 的中点的纵坐标为 tt，则 tt 的最大值是______.

2011 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
将边长为 1 m1 \mathrm{~m} 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 s=(梯形的周长)2梯形的面积s=\dfrac{\left(\text{梯形的周长}\right)^2}{\text{梯形的面积}}，则 ss 的最小值是______.

2010 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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11不等式★★★★☆
当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，不等式 sin⁡πx2⩾kx\sin \frac{\pi x}{2} \geqslant kx 成立. 则实数 kk 的取值范围是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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