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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

2025 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16导数及其应用★★★★☆
现定义如下：当 x∈(n,n+1)x\in(n,n+1) 时（n∈Nn\in \mathbf{N}），若 f(x+1)=f′(x)f(x+1)=f'(x)，则称 f(x)f(x) 为延展函数. 已知当 x∈(0,1)x\in(0,1) 时，g(x)=exg(x)=\mathrm{e}^x，且 h(x)=x10h(x)=x^{10}，且 g(x)g(x)，h(x)h(x) 均为延展函数，则以下结论（ ）.
① 存在 y=kx+by=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}，kk，b≠0b\ne 0）与 y=g(x)y=g(x) 有无穷多个交点； ② 存在 y=kx+by=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}，kk，b≠0b\ne 0）与 y=h(x)y=h(x) 有无穷多个交点.
A.
（1）（2）都成立
B.
（1）（2）都不成立
C.
（1）成立（2）不成立
D.
（1）不成立（2）成立

2024 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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075分导数及其应用★★★★☆
设 a=0.1e0.1a=0.1\mathrm{e}^{0.1}，b=0.11−0.1b=\frac{0.1}{1-0.1}，c=−ln⁡0.9c=-\ln 0.9，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<b<ac<b<a
C.
c<a<bc<a<b
D.
a<c<ba<c<b

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
设 a≠0a\ne0，若 x=ax=a 是函数 f(x)=a(x−a)2(x−b)f(x)=a\left(x-a\right)^2\left(x-b\right) 的极大值点，则（ ）
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<a2ab<a^2
D.
ab>a2ab>a^2

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，设函数
f(x)={x2−2ax+2a,x≤1,x−aln⁡x,x>1.f(x)=\begin{cases} x^2-2ax+2a, & x\le 1,\\ x-a\ln x, & x>1. \end{cases}
若关于 xx 的不等式 f(x)≥0f(x)\ge 0 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
[0,1][0,1]
B.
[0,2][0,2]
C.
[0,e][0,\mathrm{e}]
D.
[1,e][1,\mathrm{e}]

2019 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知当 x∈[0,1]x\in[0,1] 时，函数 y=(mx−1)2y=(mx-1)^2 的图象与 y=x+my=\sqrt{x}+m 的图象有且只有一个交点，则正实数 mm 的取值范围是（ ）
A.
(0,1]∪[23,+∞)(0,1]\cup[2\sqrt3,+\infty)
B.
(0,1]∪[3,+∞)(0,1]\cup[3,+\infty)
C.
(0,2)∪[23,+∞)(0,\sqrt2)\cup[2\sqrt3,+\infty)
D.
(0,2]∪[3,+∞)(0,\sqrt2]\cup[3,+\infty)

2017 · 山东 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若函数 f(x)=x−13sin⁡2x+asin⁡xf(x)=x-\dfrac13\sin 2x+a\sin x 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 单调递增，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−1,1][ -1,1]
B.
[−1,13][ -1,\dfrac13]
C.
[−13,13][ -\dfrac13,\dfrac13]
D.
[−1,−13][ -1,-\dfrac13]

2016 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★★☆
设直线 l1l_1，l2l_2 分别是函数
f(x)={−ln⁡x,0<x<1,ln⁡x,x>1f(x)=\begin{cases} -\ln x,&0<x<1,\\ \ln x,&x>1 \end{cases}
图象上点 P1P_1，P2P_2 处的切线，l1l_1 与 l2l_2 垂直相交于点 PP，且 l1l_1，l2l_2 分别与 yy 轴相交于点 AA，BB，则 △PAB\triangle PAB 的面积的取值范围是（ ）
\begin{solution} 设 P1=(x1,−ln⁡x1)P_1=(x_1,-\ln x_1)，P2=(x2,ln⁡x2)P_2=(x_2,\ln x_2)，其中 0<x1<1<x20<x_1<1<x_2.两条切线的斜率分别为 −1x1-\frac{1}{x_1} 和 1x2\frac{1}{x_2}.由两切线垂直，
−1x1x2=−1-\frac1{x_1x_2}=-1
故 x1x2=1x_1x_2=1.令 t=ln⁡x2=−ln⁡x1>0t=\ln x_2=-\ln x_1>0，则 x1=e−tx_1=\mathrm{e}^{-t}，x2=etx_2=\mathrm{e}^t.两条切线分别为 l1:y=−etx+t+1l_1:y=-\mathrm{e}^tx+t+1，l2:y=e−tx+t−1l_2:y=\mathrm{e}^{-t}x+t-1. 它们在 yy 轴上的截距之差为 22，而联立两式得交点 PP 的横坐标
xP=2et+e−tx_P=\frac{2}{\mathrm{e}^t+\mathrm{e}^{-t}}
所以
S△PAB=12×2×xP=2et+e−tS_{\triangle PAB}=\frac12\times2\times x_P=\frac{2}{\mathrm{e}^t+\mathrm{e}^{-t}}
当 t>0t>0 时，分母大于 22，且随 tt 从 00 增大到 +∞+\infty 时该面积从 11 降到 00.故面积的取值范围为 (0,1)(0,1)，选 A. \end{solution}
A.
(0,1)\left(0,1\right)
B.
(0,2)\left(0,2\right)
C.
(0,+∞)\left(0,+\infty\right)
D.
(1,+∞)\left(1,+\infty\right)

2016 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
设直线 l1l_1，l2l_2 分别是函数
f(x)={−ln⁡x,0<x<1,ln⁡x,x>1,f(x)=\begin{cases} -\ln x,&0<x<1,\\ \ln x,&x>1, \end{cases}
图象上点 P1P_1，P2P_2 处的切线，l1l_1 与 l2l_2 垂直相交于点 PP，且 l1l_1，l2l_2 分别与 yy 轴相交于点 AA，BB，则 △PAB\triangle PAB 的面积的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,2)(0,2)
C.
(0,+∞)(0,+\infty)
D.
(1,+∞)(1,+\infty)

2016 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
设函数 f′(x)f'(x) 是奇函数 f(x)f(x)（x∈Rx\in\mathbf{R}）的导函数，f(−1)=0f(-1)=0，当 x>0x>0 时，xf′(x)−f(x)<0xf'(x)-f(x)<0，则使得 f(x)>0f(x)>0 成立的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−1)∪(0,1)(-\infty,-1)\cup(0,1)
B.
(−1,0)∪(1,+∞)(-1,0)\cup(1,+\infty)
C.
(−∞,−1)∪(−1,0)(-\infty,-1)\cup(-1,0)
D.
(0,1)∪(1,+∞)(0,1)\cup(1,+\infty)

2015 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
若定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足 f(0)=−1f(0) = -1，其导函数 f′(x)f'(x) 满足 f′(x)>k>1f'(x) > k > 1，则下列结论中一定错误的是（ ）
A.
f(1k)<1kf\left(\frac{1}{k}\right) < \frac{1}{k}
B.
f(1k)>1k−1f\left(\frac{1}{k}\right) > \frac{1}{k - 1}
C.
f(1k−1)<1k−1f\left(\frac{1}{k - 1}\right) < \frac{1}{k - 1}
D.
f(1k−1)>kk−1f\left(\frac{1}{k - 1}\right) > \frac{k}{k - 1}

2015 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（ ）（材料的利用率 =新工件的体积原工件的体积=\frac{\text{新工件的体积}}{\text{原工件的体积}}）
A.
89π\frac{8}{9\pi}
B.
169π\frac{16}{9\pi}
C.
4(2−1)3π\frac{4(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}
D.
12(2−1)3π\frac{12(\sqrt{2} - 1)^3}{\pi}

2015 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★★☆
如果函数 f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1f(x) = \frac{1}{2} (m - 2)x^2 + (n - 8)x + 1 （m⩾0m \geqslant 0，n⩾0n \geqslant 0）在区间 [12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right] 上单调递减，那么 mnmn 的最大值为（ ）
\begin{solution} 函数导数为 f′(x)=(m−2)x+n−8f'(x)=(m-2)x+n-8. 要使函数在 [12,2]\left[\frac12,2\right] 上单调递减，需要 f′(x)⩽0f'(x)\leqslant0 在该区间恒成立.
当 m⩾2m\geqslant2 时，导数在区间上的最大值为 f′(2)f'(2)，故 2m+n⩽122m+n\leqslant12. 此时 2⩽m⩽62\leqslant m\leqslant6，且
mn⩽m(12−2m)=18−2(m−3)2⩽18mn\leqslant m(12-2m)=18-2(m-3)^2\leqslant18
当 0⩽m<20\leqslant m<2 时，导数在区间上的最大值为 f′(12)f'\left(\frac12\right)，故 n⩽9−m2n\leqslant9-\frac m2. 因而 mn⩽m(9−m2)<16<18mn\leqslant m\left(9-\frac m2\right)<16<18.
取 m=3m=3，n=6n=6 时，f′(x)=x−2⩽0f'(x)=x-2\leqslant0 在给定区间成立，且 mn=18mn=18，故选 B. \end{solution}
A.
1616
B.
1818
C.
2525
D.
812\frac{81}{2}

2015 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
对二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c （aa 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A.
−1-1 是 f(x)f(x) 的零点
B.
11 是 f(x)f(x) 的极值点
C.
33 是 f(x)f(x) 的极值
D.
点 (2,8)(2,8) 在曲线 y=f(x)y = f(x) 上

2015 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=ax3−3x2+1f(x) = ax^3 - 3x^2 + 1，若 f(x)f(x) 存在唯一的零点 x0x_0，且 x0>0x_0 > 0，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
(2,+∞)(2, +\infty)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
(−∞,−2)(- \infty, -2)
D.
(−∞,−1)(- \infty, -1)

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=ax3−3x2+1f(x) = ax^3 - 3x^2 + 1，若 f(x)f(x) 存在唯一的零点 x0x_0，且 x0>0x_0 > 0，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
(−∞,−2)(- \infty, -2)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
(2,+∞)(2, +\infty)
D.
(−∞,−1)(-\infty, -1)

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=3sin⁡πxmf(x)=\sqrt{3}\sin\frac{\pi x}{m}，若存在 f(x)f(x) 的极值点 x0x_0 满足 x02+∣f(x0)∣2<m2x_0^2+\left|f(x_0)\right|^2<m^2，则 mm 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−6)∪(6,+∞)\left(-\infty,-6\right)\cup\left(6,+\infty\right)
B.
(−∞,−4)∪(4,+∞)\left(-\infty,-4\right)\cup\left(4,+\infty\right)
C.
(−∞,−2)∪(2,+∞)\left(-\infty,-2\right)\cup\left(2,+\infty\right)
D.
(−∞,−1)∪(1,+∞)\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)

2014 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12不等式★★★★☆
当 x∈[−2,1]x \in [-2, 1] 时，不等式 ax3−x2+4x+3⩾0ax^3 - x^2 + 4x + 3 \geqslant 0 恒成立，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−5,−3][-5, - 3]
B.
[−6,−98]\left[-6, -\frac{9}{8}\right]
C.
[−6,−2][-6, - 2]
D.
[−4,−3][-4, - 3]

2014 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
如图，某人在垂直于水平地面 ABCABC 的墙面前的点 AA 处进行射击训练，已知点 AA 到墙面的距离为 ABAB，某目标点 PP 沿墙面上的射线 CMCM 移动，此人为了准确瞄准目标点 PP，需计算由点 AA 观察点 PP 的仰角 θ\theta 的大小（仰角 θ\theta 为直线 APAP 与平面 ABCABC 所成的角）. 若 AB=15 mAB = 15 \mathrm{~m}，AC=25 mAC = 25 \mathrm{~m}，∠BCM=30∘\angle BCM = 30^{\circ}，则 tan⁡θ\tan \theta 的最大值是（ ）
A.
305\frac{\sqrt{30}}{5}
B.
3010\frac{\sqrt{30}}{10}
C.
439\frac{4\sqrt{3}}{9}
D.
539\frac{5\sqrt{3}}{9}

2014 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
在同一直角坐标系中，函数 y=ax2−x+a2y = ax^{2} - x + \frac{a}{2} 与 y=a2x3−2ax2+x+ay = a^{2}x^{3} - 2ax^{2} + x + a （a∈Ra \in \mathbf{R}） 的图象不可能的是（ ）
A.
B.
C.
D.

2014 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2+ex−12f(x) = x^2 + \mathrm{e}^x - \frac{1}{2}（x<0x < 0） 与 g(x)=x2+ln⁡(x+a)g(x) = x^2 + \ln\left(x + a\right) 的图象上存在关于 yy 轴对称的点，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 取函数 ff 图象上的点 (x,f(x))(x,f(x))，其中 x<0x<0. 其关于 yy 轴的对称点为 (−x,f(x))(-x,f(x))，要在 gg 的图象上，就必须满足
x2+ex−12=x2+ln⁡(a−x)x^2+\mathrm{e}^x-\frac12=x^2+\ln(a-x)
因此 a=x+exp⁡(ex−12)a=x+\exp\left(\mathrm{e}^x-\frac12\right)，x<0x<0. 记 h(x)=x+exp⁡(ex−12)h(x)=x+\exp(\mathrm{e}^x-\frac12). 则
h′(x)=1+exexp⁡(ex−12)>0h'(x)=1+\mathrm{e}^x\exp\left(\mathrm{e}^x-\frac12\right)>0
所以 hh 在 (−∞,0)(-\infty,0) 上严格递增. 又 lim⁡x→−∞h(x)=−∞\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty，lim⁡x→0−h(x)=exp⁡(12)=e\lim_{x\to0^-}h(x)=\exp\left(\frac12\right)=\sqrt{\mathrm{e}}. 由于 x=0x=0 不在取值范围内，hh 的值域为 (−∞,e)(-\infty,\sqrt{\mathrm{e}}). 故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,1e)\left(-\infty, \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)
B.
(−∞,e)\left(-\infty, \sqrt{\mathrm{e}}\right)
C.
(−1e,e)\left(-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}, \sqrt{\mathrm{e}}\right)
D.
(−e,1e)\left(-\sqrt{\mathrm{e}}, \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)

2014 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，下列结论中错误的是（ ）
A.
∃x0∈R,f(x0)=0\exists x_0 \in \mathbf{R}, f(x_0) = 0
B.
函数 y=f(x)y = f(x) 的图象是中心对称图形
C.
若 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极小值点，则 f(x)f(x) 在区间 (−∞,x0)(-\infty, x_0) 单调递减
D.
若 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极值点，则 f′(x0)=0f'(x_0) = 0

2013 · 全国 · 新课程二卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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