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16函数与初等函数★★★★☆
定义“正对数”：
ln⁡+x={0,0<x<1,ln⁡x,x⩾1\ln^{+} x=\begin{cases} 0,&0<x<1,\\ \ln x,&x\geqslant1 \end{cases}
. 现有四个命题：
① 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)=bln⁡+a\ln^{+}(a^{b}) = b\ln^{+} a； ② 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)=ln⁡+a+ln⁡+b\ln^{+}(ab) = \ln^{+}a + \ln^{+}b； ③ 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)⩾ln⁡+a−ln⁡+b\ln^{+}\left(\frac{a}{b}\right) \geqslant \ln^{+} a - \ln^{+} b； ④ 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(a+b)⩽ln⁡+a+ln⁡+b+ln⁡2\ln^{+}(a + b) \leqslant \ln^{+} a + \ln^{+} b + \ln 2.
其中真命题有______.（写出所有真命题的编号）

2013 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20数列★★★★☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 已知对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，点 (n,Sn)(n, S_{n}) 均在函数 y=bx+ry = b^{x} + r（b>0b > 0 且 b≠1b \neq 1，bb，rr 均为常数）的图象上.
(1) 求 rr 的值； (2) 当 b=2b = 2 时，记 bn=2(log⁡2an+1)b_{n} = 2(\log_{2} a_{n} + 1)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 证明：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，不等式 b1+1b1⋅b2+1b2⋯bn+1bn>n+1\frac{b_{1} + 1}{b_{1}} \cdot \frac{b_{2} + 1}{b_{2}} \cdots \frac{b_{n} + 1}{b_{n}} > \sqrt{n + 1} 成立.

2009 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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14函数与初等函数★★★★☆
若函数 f(x)=ax−x−af(x) = a^x - x - a（a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1）有两个零点，则实数 aa 的取值范围是______.

2009 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12不等式★★★★☆
设二元一次不等式组
{x+2y−19⩾0,x−y+8⩾0,2x+y−14⩽0\begin{cases} x + 2y - 19 \geqslant 0,\\ x - y + 8 \geqslant 0,\\ 2x + y - 14 \leqslant 0 \end{cases}
所表示的平面区域为 MM，使函数 y=axy = a^x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象过区域 MM 的 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,3][1,3]
B.
[2,10][2,\sqrt{10}]
C.
[2,9][2,9]
D.
[10,9][\sqrt{10},9]

2008 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★★☆
0<a<10<a<1，下列不等式一定成立的是（ ）
A.
∣log⁡1+a(1−a)∣+∣log⁡1−a(1+a)∣>2\left|\log_{1+a}(1-a)\right|+\left|\log_{1-a}(1+a)\right|>2
B.
∣log⁡1+a(1−a)∣<∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)\right|<\left|\log_{1-a}(1+a)\right|
C.
∣log⁡1+a(1−a)+log⁡1−a(1+a)∣<∣log⁡1+a(1−a)∣+∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)+\log_{1-a}(1+a)\right|<\left|\log_{1+a}(1-a)\right|+\left|\log_{1-a}(1+a)\right|
D.
∣log⁡1+a(1−a)−log⁡1−a(1+a)∣<∣log⁡1+a(1−a)∣−∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)-\log_{1-a}(1+a)\right|<\left|\log_{1+a}(1-a)\right|-\left|\log_{1-a}(1+a)\right|

2005 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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