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共找到 23 题
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12指数函数与对数函数★★★★☆
已知 9m=109^m=10，a=10m−11a=10^m-11，b=8m−9b=8^m-9，则（ ）
A.
a>0>ba>0>b
B.
a>b>0a>b>0
C.
b>a>0b>a>0
D.
b>0>ab>0>a

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
设 a=2ln⁡1.01a=2\ln 1.01，b=ln⁡1.02b=\ln 1.02，c=1.04−1c=\sqrt{1.04}-1，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<c<ab<c<a
C.
b<a<cb<a<c
D.
c<a<bc<a<b

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln(y-x+1)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln(y-x+1)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln\lvert x-y\rvert>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln\lvert x-y\rvert<0

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
已知 55<845^5<8^4，134<8513^4<8^5. 设 a=log⁡53a=\log_5 3，b=log⁡85b=\log_8 5，c=log⁡138c=\log_{13} 8，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<a<cb<a<c
C.
b<c<ab<c<a
D.
c<a<bc<a<b

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
设 a=log⁡0.20.3a=\log_{0.2}0.3，b=log⁡20.3b=\log_20.3，则（ ）
A.
a+b<ab<0a+b<ab<0
B.
ab<a+b<0ab<a+b<0
C.
a+b<0<aba+b<0<ab
D.
ab<0<a+bab<0<a+b

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★★☆
若 0<x1<x2<10 < x_{1} < x_{2} < 1，则（ ）
A.
ex2−ex1>ln⁡x2−ln⁡x1\mathrm{e}^{x_2} - \mathrm{e}^{x_1} > \ln x_2 - \ln x_1
B.
ex2−ex1<ln⁡x2−ln⁡x1\mathrm{e}^{x_2} - \mathrm{e}^{x_1} < \ln x_2 - \ln x_1
C.
x2ex1>x1ex2x_{2}\mathrm{e}^{x_{1}} > x_{1}\mathrm{e}^{x_{2}}
D.
x2ex1<x1ex2x_{2}\mathrm{e}^{x_{1}} < x_{1}\mathrm{e}^{x_{2}}

2014 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=2x∣log⁡0.5x∣−1f(x) = 2^{x} |\log_{0.5} x| - 1 的零点个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2013 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★★☆
当 0<x⩽120 < x \leqslant \frac{1}{2} 时，4x<log⁡ax4^x < \log_a x，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 0<x⩽12<10<x\leqslant\frac12<1 且 4x>04^x>0，要使 log⁡ax>4x>0\log_a x>4^x>0，必须有 0<a<10<a<1. 此时 ln⁡a<0\ln a<0，原不等式等价于 ln⁡x<4xln⁡a\ln x<4^x\ln a，即 ln⁡a>ln⁡x4x\ln a>\frac{\ln x}{4^x}. 令 g(x)=ln⁡x4xg(x)=\frac{\ln x}{4^x}，则 g′(x)=4−x(1x−ln⁡4ln⁡x)>0g'(x)=4^{-x}\left(\frac1x-\ln4\ln x\right)>0 在 0<x⩽120<x\leqslant\frac12 上成立，所以 g(x)⩽g(12)=−12ln⁡2=−ln⁡2g(x)\leqslant g(\frac12)=-\frac12\ln2=-\ln\sqrt2. 因此需且只需 ln⁡a>−ln⁡2\ln a>-\ln\sqrt2，即 22<a<1\frac{\sqrt2}{2}<a<1，应选 B. \end{solution}
A.
(0,22)\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
B.
(22,1)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)
C.
(1,2)(1, \sqrt{2})
D.
(2,2)(\sqrt{2}, 2)

2012 · 全国 · 新课程卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★★★☆
已知两条直线 l1:y=ml_1:y=m 和 l2:y=82m+1l_2:y=\frac{8}{2m+1}（m>0m>0），l1l_1 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 AA，BB，l2l_2 与函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象从左至右相交于点 CC，DD. 记线段 ACAC 和 BDBD 在 xx 轴上的投影长度分别为 aa，bb. 当 mm 变化时，ba\frac{b}{a} 的最小值为（ ）
A.
16216\sqrt{2}
B.
828\sqrt{2}
C.
8438\sqrt[3]{4}
D.
4434\sqrt[3]{4}

2012 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a=5log⁡23.4a = 5^{\log_{2} 3.4}，b=5log⁡43.6b = 5^{\log_{4} 3.6}，c=(15)log⁡30.3c = \left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{3} 0.3}，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由于底数 5>15>1，只需比较三个指数. 令 u=log⁡23.4u=\log_2 3.4，v=log⁡43.6v=\log_4 3.6，w=−log⁡30.3=log⁡3103w=-\log_3 0.3=\log_3\frac{10}{3}. 由 1<3.6<41<3.6<4，得 0<v<10<v<1. 又因为 103>3\frac{10}{3}>3，所以 w>1w>1，从而 w>vw>v. 另一方面，
3.44=(175)4=83521625>80000625=273.4^4=\left(\frac{17}{5}\right)^4=\frac{83521}{625} >\frac{80000}{625}=2^7
给出 u>74u>\frac74，而
(103)4=1000081<17714781=37\left(\frac{10}{3}\right)^4=\frac{10000}{81} <\frac{177147}{81}=3^7
给出 w<74w<\frac74. 因此 u>w>vu>w>v. 于是
a>c>ba>c>b
选 C. \end{solution}
A.
a>b>ca > b > c
B.
b>a>cb > a > c
C.
a>c>ba > c > b
D.
c>a>bc > a > b

2011 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=ex+xf(x)=\mathrm{e}^{x}+x. 对于曲线 y=f(x)y=f(x) 上横坐标成等差数列的三个点 AA，BB，CC，给出以下判断：
① △ABC\triangle ABC 一定是钝角三角形； ② △ABC\triangle ABC 可能是直角三角形； ③ △ABC\triangle ABC 可能是等腰三角形； ④ △ABC\triangle ABC 不可能是等腰三角形.
其中，正确的判断是（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2011 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★★☆
设函数的集合 P={f(x)=log⁡2(x+a)+b∣a=−12,0,12,1;b=−1,0,1}P = \left\{f(x) = \log_2(x + a) + b \mid a = -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1; b = -1, 0, 1\right\}，平面上点的集合 Q={(x,y)∣x=−12,0,12,1;y=−1,0,1}Q = \left\{(x, y) \mid x = -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1; y = -1, 0, 1\right\}，则在同一直角坐标系中，PP 中函数 f(x)f(x) 的图象恰好经过 QQ 中两个点的函数的个数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 逐一考查 aa 的四个取值. 只有当 x+a>0x+a>0 且 log⁡2(x+a)+b\log_2(x+a)+b 属于 {−1,0,1}\{-1,0,1\} 时，图象才经过集合 QQ 中的点.
对 a=−12a=-\frac12，在 x=−12x=-\frac12，00，12\frac12，11 中只有 x=1x=1 使 x+a>0x+a>0 且 log⁡2(x+a)=−1\log_2(x+a)=-1，所以任意 bb 至多经过一个点. 对 a=0a=0，x=12x=\frac12，11 时的对数值分别为 −1,0-1,0，故 b=0b=0，11 时恰好经过两个点，而 b=−1b=-1 时只有一个点.
对 a=12a=\frac12，x=0x=0，12\frac12 时的对数值分别为 −1,0-1,0，故 b=0b=0，11 时恰好经过两个点，而 b=−1b=-1 时只有一个点. 对 a=1a=1，四个横坐标对应的对数值依次为 −1-1，00，log⁡232\log_2\frac32，11. 因为 0<log⁡232<10<\log_2\frac32<1，所以 b=−1b=-1 时恰好有 (0,−1)(0,-1)、(1,0)(1,0) 两个点，b=0b=0 时有三个点，b=1b=1 时恰好有 (−12,0)(-\frac12,0)、(0,1)(0,1) 两个点.
因此符合条件的函数共有
0+2+2+2=60+2+2+2=6
个，故选 B. \end{solution}
A.
4
B.
6
C.
8
D.
10

2010 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
对于具有相同定义域 DD 的函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x)，若存在函数 h(x)=kx+bh(x) = kx + b （kk，bb 为常数），对任给的正数 mm，存在相应的 x0∈Dx_0 \in D，使得当 x∈Dx \in D 且 x>x0x > x_0 时，总有
{0<f(x)−h(x)<m,0<h(x)−g(x)<m,\begin{cases} 0 < f(x) - h(x) < m,\\ 0 < h(x) - g(x) < m, \end{cases}
则称直线 l:y=kx+bl: y = kx + b 为曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 的“分渐近线”. 给出定义域均为 D={x∣x>1}D = \{x \mid x > 1\} 的四组函数如下：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}，g(x)=xg(x) = \sqrt{x}； ② f(x)=10−x+2f(x) = 10^{-x} + 2，g(x)=2x−3xg(x) = \frac{2x - 3}{x}； ③ f(x)=x2+1x2f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}，g(x)=xln⁡x+1ln⁡xg(x) = \frac{x\ln x + 1}{\ln x}； ④ f(x)=2x2x+1f(x) = \frac{2x^2}{x + 1}，g(x)=2(x−1−e−x)g(x) = 2(x - 1 - \mathrm{e}^{-x}).
其中，曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 存在“分渐近线”的是（ ）
A.
①④
B.
②③
C.
②④
D.
③④

2010 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12不等式★★★★☆
设二元一次不等式组
{x+2y−19⩾0,x−y+8⩾0,2x+y−14⩽0\begin{cases} x + 2y - 19 \geqslant 0,\\ x - y + 8 \geqslant 0,\\ 2x + y - 14 \leqslant 0 \end{cases}
所表示的平面区域为 MM，使函数 y=axy = a^x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象过区域 MM 的 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,3][1,3]
B.
[2,10][2,\sqrt{10}]
C.
[2,9][2,9]
D.
[10,9][\sqrt{10},9]

2008 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 均为正数，且 2a=log⁡12a2^{a} = \log_{\frac{1}{2}} a，(12)b=log⁡12b\left(\frac{1}{2}\right)^{b} = \log_{\frac{1}{2}} b，(12)c=log⁡2c\left(\frac{1}{2}\right)^{c} = \log_{2} c. 则（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
c<b<ac < b < a
C.
c<a<bc < a < b
D.
b<a<cb < a < c

2007 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 y=f(x)y=f(x) 的图象与函数 y=axy=a^{x}（a>0a>0 且 a≠1a\neq 1）的图象关于直线 y=xy=x 对称，记 g(x)=f(x)[f(x)+f(2)−1]g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]. 若 y=g(x)y=g(x) 在区间 [12,2]\left[\frac{1}{2},2\right] 上是增函数，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
[2,+∞)\left[2,+\infty\right)
B.
(0,1)∪(1,2)(0,1)\cup(1,2)
C.
[12,1)\left[\frac{1}{2},1\right)
D.
(0,12]\left(0,\frac{1}{2}\right]

2006 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
如果函数 f(x)=ax(ax−3a2−1)f(x) = a^x(a^x - 3a^2 - 1)（a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1）在区间 [0,+∞)[0,+\infty) 上是增函数，那么实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,23]\left(0, \frac{2}{3}\right]
B.
[33,1)\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)
C.
(1,3](1, \sqrt{3}]
D.
[32,+∞)\left[\frac{3}{2}, +\infty\right)

2006 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
若函数 f(x)=log⁡a(x3−ax)f(x)=\log_a(x^3-ax)（a>0a>0，a≠1a\ne1）在区间 (−12,0)\left(-\dfrac12,0\right) 内单调递增，则 aa 的取值范围是（\quad）
A.
[14,1)\left[\dfrac14,1\right)
B.
[34,1)\left[\dfrac34,1\right)
C.
(94,+∞)\left(\dfrac94,+\infty\right)
D.
(1,94)\left(1,\dfrac94\right)

2005 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★★☆
0<a<10<a<1，下列不等式一定成立的是（ ）
A.
∣log⁡1+a(1−a)∣+∣log⁡1−a(1+a)∣>2\left|\log_{1+a}(1-a)\right|+\left|\log_{1-a}(1+a)\right|>2
B.
∣log⁡1+a(1−a)∣<∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)\right|<\left|\log_{1-a}(1+a)\right|
C.
∣log⁡1+a(1−a)+log⁡1−a(1+a)∣<∣log⁡1+a(1−a)∣+∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)+\log_{1-a}(1+a)\right|<\left|\log_{1+a}(1-a)\right|+\left|\log_{1-a}(1+a)\right|
D.
∣log⁡1+a(1−a)−log⁡1−a(1+a)∣<∣log⁡1+a(1−a)∣−∣log⁡1−a(1+a)∣\left|\log_{1+a}(1-a)-\log_{1-a}(1+a)\right|<\left|\log_{1+a}(1-a)\right|-\left|\log_{1-a}(1+a)\right|

2005 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
关于函数 f(x)=(sin⁡x)2−(23)∣x∣+12f(x) = (\sin x)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^{|x|} + \frac{1}{2}，有下面四个结论：
① f(x)f(x) 是奇函数； ② 当 x>2003x > 2003 时，f(x)>12f(x) > \frac{1}{2} 恒成立； ③ f(x)f(x) 的最大值是 32\frac{3}{2}； ④ f(x)f(x) 的最小值是 −12-\frac{1}{2}.
其中正确结论的个数为（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2003 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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24指数函数与对数函数★★★★☆
如果 0<a<10<a<1，0<x⩽y<10<x\leqslant y<1，且 log⁡axlog⁡ay=1\log_a x\log_a y=1，那么 xyxy（\quad）
A.
无最大值也无最小值
B.
无最大值而有最小值
C.
有最大值而无最小值
D.
有最大值也有最小值

1989 · 广东 · 理 · 第 24 题 · 选择题

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20函数与初等函数★★★★☆
方程 sin⁡x=lg⁡x\sin x=\lg x 的实数根有（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
无穷多个

1988 · 上海 · 第 20 题 · 选择题

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