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18指数函数与对数函数★★★★☆
设 aa 为常数，f(x)=log⁡3(a+x)+log⁡3(6−x)f(x)=\log_3(a+x)+\log_3(6-x).
(1) 若将函数 y=f(x)y=f(x) 的图像向下平移 mm（m>0m>0）个单位后，其图像经过 (3,0)(3,0)，(5,0)(5,0) 两点，求实数 aa 和 mm 的值； (2) 若 a>−3a>-3 且 a≠0a\ne0，解不等式 f(x)≤f(6−x)f(x)\le f(6-x).

2022 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=log⁡21+x1−xf(x)=\log_2\dfrac{1+x}{1-x}.
(1) 解方程 f(x)=1f(x)=1； (2) 设 x∈(−1,1)x\in(-1,1)，a∈(1,+∞)a\in(1,+\infty)，证明：ax−1a−x∈(−1,1)\dfrac{ax-1}{a-x}\in(-1,1)，且 f ⁣(ax−1a−x)−f(x)=−f ⁣(1a)f\!\left(\dfrac{ax-1}{a-x}\right)-f(x)=-f\!\left(\dfrac1a\right)； (3) 设数列 {xn}\{x_n\} 中，x1∈(−1,1)x_1\in(-1,1)，xn+1=(−1)n+13xn−13−xnx_{n+1}=(-1)^{n+1}\dfrac{3x_n-1}{3-x_n}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，求 x1x_1 的取值范围，使得 x3≥xnx_3\ge x_n 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 成立.

2017 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=5a=5 时，解不等式 f(x)>0f(x)>0； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)−log⁡2[(a−4)x+2a−5]=0f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的取值范围； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值和最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=1a=1 时，解不等式 f(x)>1f(x)>1； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)+log⁡2(x2)=0f(x)+\log_2(x^2)=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的值； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值与最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=exf(x) = \mathrm{e}^{x}，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的反函数的图象上点 (1,0)(1,0) 处的切线方程. (2) 证明：曲线 y=f(x)y = f(x) 与曲线 y=12x2+x+1y = \frac{1}{2} x^2 + x + 1 有唯一公共点. (3) 设 a<ba < b，比较 f(a+b2)f\left(\frac{a + b}{2}\right) 与 f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a} 的大小，并说明理由.

2013 · 陕西 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，常数 λ>0\lambda > 0，且 λa1an=S1+Sn\lambda a_{1}a_{n} = S_{1} + S_{n}. 对一切正整数 nn 都成立.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 a1>0a_{1} > 0，λ=100\lambda = 100. 当 nn 为何值时，数列 {lg⁡1an}\left\{\lg \frac{1}{a_n}\right\} 的前 nn 项和最大.

2012 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19不等式★★★★☆
(1) 设 x⩾1x \geqslant 1，y⩾1y \geqslant 1，证明 x+y+1xy⩽1x+1y+xyx + y + \frac{1}{xy} \leqslant \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + xy； (2) 1<a⩽b⩽c1 < a \leqslant b \leqslant c，证明 log⁡ab+log⁡bc+log⁡ca⩽log⁡ba+log⁡cb+log⁡ac\log_{a} b + \log_{b} c + \log_{c} a \leqslant \log_{b} a + \log_{c} b + \log_{a} c.

2011 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
在数 11 和 100100 之间插入 nn 个实数，使得这 n+2n + 2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2n + 2 个数的乘积记作 TnT_{n}，再令 an=lg⁡Tna_{n} = \lg T_{n}，n⩾1n \geqslant 1.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=tan⁡an⋅tan⁡an+1b_{n} = \tan a_{n} \cdot \tan a_{n+1}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2011 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ex−1−x−ax2f(x) = \mathrm{e}^{x} - 1 - x - ax^2.
(1) 若 a=0a = 0，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若当 x⩾0x \geqslant 0 时 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0，求 aa 的取值范围.

2010 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
有时可用函数
f(x)={0.1+15ln⁡aa−x,x⩽6,x−4.4x−4,x>6,f(x) = \begin{cases} 0.1 + 15 \ln \frac{a}{a - x}, & x \leqslant 6,\\ \frac{x - 4.4}{x - 4}, & x > 6, \end{cases}
描述学习某学科知识的掌握程度，其中 xx 表示某学科知识的学习次数（x∈N∗x \in \mathbf{N}^*），f(x)f(x) 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 aa 与学科知识有关.
(1) 证明：当 x⩾7x \geqslant 7 时，掌握程度的增加量 f(x+1)−f(x)f(x + 1) - f(x) 总是下降； (2) 根据经验，学科甲，乙，丙对应的 aa 的取值范围分别为 (115,121](115, 121]，(121,127](121, 127]，(121,133](121, 133]. 当学习某学科知识 66 次时，掌握程度是 85%85\%，请确定相应的学科.

2009 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 已知对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，点 (n,Sn)(n, S_{n}) 均在函数 y=bx+ry = b^{x} + r（b>0b > 0 且 b≠1b \neq 1，bb，rr 均为常数）的图象上.
(1) 求 rr 的值； (2) 当 b=2b = 2 时，记 bn=2(log⁡2an+1)b_{n} = 2(\log_{2} a_{n} + 1)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 证明：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，不等式 b1+1b1⋅b2+1b2⋯bn+1bn>n+1\frac{b_{1} + 1}{b_{1}} \cdot \frac{b_{2} + 1}{b_{2}} \cdots \frac{b_{n} + 1}{b_{n}} > \sqrt{n + 1} 成立.

2009 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
在数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 是各项均为正数的等比数列，设 cn=bnanc_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 数列 {cn}\{c_{n}\} 是否为等比数列？证明你的结论； (2) 设数列 {ln⁡an}\{\ln a_n\}，{ln⁡bn}\{\ln b_n\} 的前 nn 项和分别为 SnS_n，TnT_n. 若 a1=2a_1 = 2，SnTn=n2n+1\frac{S_n}{T_n} = \frac{n}{2n + 1}，求数列 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2x−12∣x∣f(x) = 2^x - \frac{1}{2^{|x|}}.
(1) 若 f(x)=2f(x)=2，求 xx 的值； (2) 若 2tf(2t)+mf(t)⩾02^{t}f(2t) + mf(t) \geqslant 0 对于 t∈[1,2]t \in [1,2] 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2008 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2x−12∣x∣f(x) = 2^x - \frac{1}{2^{|x|}}.
(1) 若 f(x)=2f(x) = 2，求 xx 的值； (2) 若 2tf(2t)+mf(t)⩾02^{t}f(2t) + mf(t) \geqslant 0 对于 t∈[1,2]t \in \left[1,2\right] 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2008 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n} 满足 S1>1S_{1} > 1，且 6Sn=(an+1)(an+2)6S_{n} = (a_{n} + 1)(a_{n} + 2)，n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设数列 {bn}\{b_{n}\} 满足 an(2bn−1)=1a_{n}(2^{b_{n}}-1)=1，并记 TnT_{n} 为 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和，求证： 3Tn+1>log⁡2(an+3)3T_{n}+1>\log_{2}(a_{n}+3)，n∈N+n\in\mathbf{N}_{+}.

2007 · 重庆 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣f(x)=|x-a|，g(x)=x2+2ax+1g(x)=x^2+2ax+1（aa 为正常数），且函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的图象在 yy 轴上的截距相等.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)+g(x)f(x)+g(x) 的单调递增区间； (3) 若 nn 为正整数，证明： 10f(n)⋅(45)g(n)<410^{f(n)}\cdot\left(\frac45\right)^{g(n)}<4.

2004 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知集合 MM 是满足下列性质的函数 f(x)f(x) 的全体：存在非零常数 TT，对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，有 f(x+T)=Tf(x)f(x + T) = Tf(x) 成立.
(1) 函数 f(x)=xf(x) = x 是否属于集合 MM？说明理由. (2) 设函数 f(x)=axf(x) = a^x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象与 y=xy = x 的图象有公共点，证明：f(x)=ax∈Mf(x) = a^x \in M. (3) 若函数 f(x)=sin⁡kx∈Mf(x) = \sin kx \in M，求实数 kk 的取值范围.

2003 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x13−x−135f(x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}}{5}，g(x)=x13+x−135g(x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}}}{5}.
(1) 证明 f(x)f(x) 是奇函数，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 分别计算 f(4)−5f(2)g(2)f(4) - 5f(2)g(2) 和 f(9)−5f(3)g(3)f(9) - 5f(3)g(3) 的值，由此概括出涉及函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的对所有不等于零的实数 xx 都成立的一个等式，并加以证明.

2003 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知函数 f(x)=a×bxf(x) = a \times b^x 的图象过点 A(4,14)A\left(4, \frac{1}{4}\right) 和 B(5,1)B(5,1).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 记 an=log⁡2f(n)a_{n} = \log_{2}f(n)，nn 是正整数，SnS_{n} 是数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，解关于 nn 的不等式 anSn⩽0a_{n}S_{n} \leqslant 0； (3) 对于（2）中的 ana_{n} 与 SnS_{n}，整数 10410^{4} 是否为数列 {anSn}\{a_{n}S_{n}\} 中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由.

2002 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，其图象关于直线 x=1x = 1 对称，对任意 x1x_{1}，x2∈[0,12]x_{2} \in \left[0, \frac{1}{2}\right]，都有 f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) \cdot f(x_{2})，且 f(1)=a>0f(1) = a > 0.
(1) 求 f(12)f\left(\frac{1}{2}\right)，f(14)f\left(\frac{1}{4}\right)； (2) 证明：f(x)f(x) 是周期函数； (3) 记 an=f(2n+12n)a_{n} = f\left(2n + \frac{1}{2n}\right)，求 lim⁡n→∞(ln⁡an)\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\ln a_{n}).

2001 · 豫粤 · 第 22 题 · 解答题

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19不等式★★★★☆
解不等式：3log⁡ax−2<2log⁡ax−1\sqrt{3\log_{a}x-2}<2\log_{a}x-1（a>0a>0，a≠1a\neq 1）.

1999 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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23函数与初等函数★★★★☆
如图为一台冷轧机的示意图. 冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.
(1) 输入带钢的厚度为 α\alpha，输出带钢的厚度为 β\beta，若每对轧辊的减薄率不超过 r0r_0. 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ (2) 已知一台冷轧机共有 44 对减薄率为 20%20\% 的轧辊，所有轧辊周长均为 1600 mm1600\mathrm{~mm}. 若第 kk 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为 LkL_k. 为了便于检修，请计算 L1L_1，L2L_2，L3L_3 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.
（一对轧辊减薄率 =输入该对的带钢厚度−从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度=\frac{\text{输入该对的带钢厚度}-\text{从该对输出的带钢厚度}}{\text{输入该对的带钢厚度}}）

1999 · 全国 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
如图为一台冷轧机的示意图. 冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.
(1) 输入带钢的厚度为 α\alpha，输出带钢的厚度为 β\beta，若每对轧辊的减薄率不超过 r0r_0. 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率 =输入该对的带钢厚度−从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度=\dfrac{\text{输入该对的带钢厚度}-\text{从该对输出的带钢厚度}}{\text{输入该对的带钢厚度}}） (2) 已知一台冷轧机共有 44 对减薄率为 20%20\% 的轧辊，所有轧辊周长均为 1600 mm1600\mathrm{~mm}. 若第 kk 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为 LkL_k. 为了便于检修，请计算 L1L_1，L2L_2，L3L_3 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.

1999 · 广东 · 第 20 题 · 解答题

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24指数函数与对数函数★★★★☆
已知过原点 OO 的一条直线与函数 y=log⁡8xy = \log_{8} x 的图象交于 AA，BB 两点，分别过点 AA，BB 作 yy 轴的平行线与函数 y=log⁡2xy = \log_{2} x 的图象交于 CC，DD 两点.
(1) 证明：点 CC，DD 和原点 OO 在同一条直线上； (2) 当 BCBC 平行于 xx 轴时，求点 AA 的坐标.

1997 · 全国 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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23函数与初等函数★★★★☆
某地现有耕地 10000 公顷10000\text{ 公顷}，规划 1010 年后粮食单产比现在增加 22%22\%，人均粮食占有量比现在提高 10%10\%. 如果人口年增长率为 1%1\%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到 1 公顷1\text{ 公顷}）. （粮食单产 =总产量耕地面积=\frac{\text{总产量}}{\text{耕地面积}}，人均粮食占有量 =总产量总人口数=\frac{\text{总产量}}{\text{总人口数}}）

1996 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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