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19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

2026 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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12平面向量★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x>0x>0 时 f(x)=1f(x)=1，当 x=0x=0 时 f(x)=0f(x)=0，当 x<0x<0 时 f(x)=−1f(x)=-1. a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的可取值范围是______.

2025 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

2025 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，定义集合 M={x0∣x0∈R, ∀x∈(−∞,x0), f(x)<f(x0)}M=\{x_0\mid x_0\in \mathbf{R},\ \forall x\in(-\infty,x_0),\ f(x)<f(x_0)\}. 在使得 M=[−1,1]M=[-1,1] 的所有 f(x)f(x) 中，下列成立的是（ ）
A.
存在 y=f(x)y=f(x) 是偶函数
B.
存在 y=f(x)y=f(x) 在 x=2x=2 处取最大值
C.
存在 y=f(x)y=f(x) 是严格增函数
D.
存在 y=f(x)y=f(x) 在 x=−1x=-1 处取到极小值

2024 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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19函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=x2+(3a+1)x+cx+af(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+c}{x+a}，aa，c∈Rc\in\mathbf{R}
(1) 当 a=0a=0 时，是否存在实数 cc，使得 y=f(x)y=f(x) 为奇函数，请说明理由； (2) 若函数 y=f(x)y=f(x) 的图像过点 (1,3)(1,3)，且其与 xx 轴的负半轴有两个不同的交点，求 cc 的值及 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 y=f(x)y=f(x)，定义域为 [0,+∞)[0,+\infty)，值域为 AA，且对定义域中任意实数 xx 都成立 f(x)=f(1x+1)f(x)=f\left(\frac1{x+1}\right). 若 {y∣y=f(x),x∈[0,a]}=A\{y\mid y=f(x),x\in[0,a]\}=A，则实数 aa 的取值范围是______.

2022 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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18指数函数与对数函数★★★★☆
设 aa 为常数，f(x)=log⁡3(a+x)+log⁡3(6−x)f(x)=\log_3(a+x)+\log_3(6-x).
(1) 若将函数 y=f(x)y=f(x) 的图像向下平移 mm（m>0m>0）个单位后，其图像经过 (3,0)(3,0)，(5,0)(5,0) 两点，求实数 aa 和 mm 的值； (2) 若 a>−3a>-3 且 a≠0a\ne0，解不等式 f(x)≤f(6−x)f(x)\le f(6-x).

2022 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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11函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若存在定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x) 同时满足下列两个条件：
(1) 对任意的 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，f(x0)f(x_0) 的值为 x0x_0 或 x02x_0^2； (2) 关于 xx 的方程 f(x)=af(x)=a 无实数解，
则 aa 的取值范围是______.

2020 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
常数 a>0a>0，将函数 y=2xy=\frac2x（x>0x>0）的图象先向右平移 11 个单位，再向下平移 aa 个单位，然后将所得的图象在 xx 轴下方的部分沿 xx 轴向上翻折，其余部分保持不变，得到函数 f(x)=∣2x−1−a∣f(x)=\left|\frac2{x-1}-a\right|（x>1x>1）的图象 LL，当 a=a0a=a_0 时，LL 与 xx 轴交点为 AA，在 LL 上任意一点 PP（PP 异于 AA），总存在一点 QQ 使得 AP⊥AQAP\perp AQ 且 ∣AP∣=∣AQ∣|AP|=|AQ|，则 a0=a_0=______.

2019 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
已知常数 a>0a>0，函数 f(x)=2x2x+axf(x)=\frac{2^x}{2^x+ax} 的图像经过点 P(p,65)P\left(p,\frac65\right)，Q(q,−15)Q\left(q,-\frac15\right). 若 2p+q=36pq2^{p+q}=36pq，则 a=a=______.

2018 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 DD 是含数 11 的有限实数集，f(x)f(x) 是定义在 DD 上的函数. 若 f(x)f(x) 的图像绕原点逆时针旋转 π6\frac\pi6 后与原图像重合，则在以下各项中，f(1)f(1) 的可能取值只能是（ ）
A.
3\sqrt3
B.
32\frac{\sqrt3}{2}
C.
33\frac{\sqrt3}{3}
D.
00

2018 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的三个函数. 对于命题：
① 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均为增函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 中至少有一个为增函数； ② 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均是以 TT 为周期的函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 均是以 TT 为周期的函数.
下列判断正确的是（ ）
A.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为真命题
B.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为假命题
C.
\circled1\circled{1} 为真命题，\circled2\circled{2} 为假命题
D.
\circled1\circled{1} 为假命题，\circled2\circled{2} 为真命题

2016 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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22指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=5a=5 时，解不等式 f(x)>0f(x)>0； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)−log⁡2[(a−4)x+2a−5]=0f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的取值范围； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值和最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的三个函数. 对于命题：
① 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均为增函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 中至少有一个为增函数； ② 若 f(x)+g(x)f(x)+g(x)，f(x)+h(x)f(x)+h(x)，g(x)+h(x)g(x)+h(x) 均是以 TT 为周期的函数，则 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 均是以 TT 为周期的函数.
则下列判断正确的是（ ）
A.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为真命题
B.
\circled1\circled{1} 和 \circled2\circled{2} 均为假命题
C.
\circled1\circled{1} 为真命题，\circled2\circled{2} 为假命题
D.
\circled1\circled{1} 为假命题，\circled2\circled{2} 为真命题

2016 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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21解析几何★★★★☆
双曲线 x2−y2b2=1x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，直线 ll 过 F2F_2 且与双曲线交于 AA，BB 两点.
(1) 若 ll 的倾斜角为 π2\dfrac{\pi}{2}，△F1AB\triangle F_1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2) 设 b=3b=\sqrt3，若 ll 的斜率存在，且 ∣AB∣=4|AB|=4，求 ll 的斜率.

2016 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=1a=1 时，解不等式 f(x)>1f(x)>1； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)+log⁡2(x2)=0f(x)+\log_2(x^2)=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的值； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值与最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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20函数与初等函数★★★★☆
如图，AA，BB，CC 三地有直道相通，AB=5 千米AB = 5\text{ 千米}，AC=3 千米AC = 3\text{ 千米}，BC=4 千米BC = 4\text{ 千米}. 现甲，乙两警员同时从 AA 地出发匀速前往 BB 地，过 t 小时t\text{ 小时}，他们之间的距离为 f(t)f(t) （单位：千米）. 甲的路线是 ABAB，速度为 5 千米/小时5\text{ 千米/小时}，乙的路线是 ACBACB，速度为 8 千米/小时8\text{ 千米/小时}. 乙到达 BB 地后在原地等待. 设 t=t1t = t_1 时，乙到达 CC 地.
(1) 求 t1t_{1} 与 f(t1)f(t_{1}) 的值； (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米3\text{ 千米}. 当 t1⩽t⩽1t_{1} \leqslant t \leqslant 1 时，求 f(t)f(t) 的表达式，并判断 f(t)f(t) 在 [t1,1][t_{1}, 1] 上的最大值是否超过 33. 说明理由.

2015 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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14三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. 若存在 x1x_1，x2x_2，…\dots，xmx_m 满足 0⩽x1<x2<⋯<xm⩽6π0 \leqslant x_1 < x_2 < \dots < x_m \leqslant 6\pi，且 ∣f(x1)−f(x2)∣+∣f(x2)−f(x3)∣+⋯+∣f(xm−1)−f(xm)∣=12|f(x_1) - f(x_2)| + |f(x_2) - f(x_3)| + \dots + |f(x_{m-1}) - f(x_m)| = 12（m⩾2m \geqslant 2，m∈N∗m \in \mathbf{N}^*），则 mm 的最小值为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
设 aa 为实常数，y=f(x)y=f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x<0x<0 时， f(x)=9x+a2x+7f(x)=9x+\frac{a^2}{x}+7. 若 f(x)⩾a+1f(x)\geqslant a+1 对一切 x⩾0x\geqslant 0 成立，则 aa 的取值范围为______. \begin{answer} (−∞,−87]\left(-\infty,-\frac{8}{7}\right] \end{answer}
\begin{solution} 奇函数满足 f(0)=0f(0)=0，由题设不等式在 x=0x=0 时得 0⩾a+10\geqslant a+1，即 a⩽−1a\leqslant-1，所以 a<0a<0. 当 x>0x>0 时，由奇性和题设中负数部分的表达式，
f(x)=−f(−x)=9x+a2x−7f(x)=-f(-x)=9x+\frac{a^2}{x}-7
故所需条件等价于 9x+a2x⩾a+89x+\frac{a^2}{x}\geqslant a+8，x>0x>0. 因为 a<0a<0，由基本不等式
9x+a2x⩾29x⋅a2x=6∣a∣=−6a9x+\frac{a^2}{x}\geqslant2\sqrt{9x\cdot\frac{a^2}{x}}=6|a|=-6a
且在 x=−a3>0x=\frac{-a}{3}>0 时取等号. 因此上式对所有 x>0x>0 成立，当且仅当
−6a⩾a+8-6a\geqslant a+8
即 a⩽−87a\leqslant-\frac87. 该范围自动满足 a⩽−1a\leqslant-1，所以
a∈(−∞,−87]a\in\left(-\infty,-\frac87\right]
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
对区间 II 上有定义的函数 g(x)g(x)，记 g(I)={y∣y=g(x),x∈I}g(I)=\{y\mid y=g(x),x\in I\}，已知定义域为 [0,3][0,3] 的函数 y=f(x)y=f(x) 有反函数 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)，且 f−1([0,1))=[1,2)f^{-1}([0,1))=[1,2)，f−1((2,4])=[0,1)f^{-1}((2,4])=[0,1)，若方程 f(x)−x=0f(x)-x=0 有解 x0x_0，则 x0=‾x_0=\underline{\hspace{2em}}. \begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 由反函数的定义，题设等式分别等价于 x∈[1,2)⟺f(x)∈[0,1)x\in[1,2)\Longleftrightarrow f(x)\in[0,1)，x∈[0,1)⟺f(x)∈(2,4]x\in[0,1)\Longleftrightarrow f(x)\in(2,4]. 设 x0∈[0,3]x_0\in[0,3] 且 f(x0)=x0f(x_0)=x_0. 若 x0∈[0,1)x_0\in[0,1)，则由第二个等价关系 f(x0)∈(2,4]f(x_0)\in(2,4]，与 f(x0)=x0<1f(x_0)=x_0<1 矛盾. 若 x0∈[1,2)x_0\in[1,2)，则由第一个等价关系 f(x0)∈[0,1)f(x_0)\in[0,1)，与 f(x0)=x0⩾1f(x_0)=x_0\geqslant1 矛盾. 若 x0∈(2,3]x_0\in(2,3]，则由第二个等价关系的逆向使用，f(x0)=x0∈(2,4]f(x_0)=x_0\in(2,4] 将推出 x0∈[0,1)x_0\in[0,1)，仍矛盾. 因此只能有 x0=2x_0=2. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxf(x)=2\sin\omega x. 其中常数 ω>0\omega>0.
(1) 若 y=f(x)y=f(x) 在 [−π4,2π3]\left[-\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}\right] 上单调递增，求 ω\omega 的取值范围； (2) 令 ω=2\omega=2，将函数 y=f(x)y=f(x) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位，再向上平移 11 个单位，得到函数 y=g(x)y=g(x) 的图象. 区间 [a,b][a,b] （aa，b∈Rb\in\mathbf{R} 且 a<ba<b）满足：y=g(x)y=g(x) 在 [a,b][a,b] 上至少含有 3030 个零点. 在所有满足上述条件的 [a,b][a,b] 中，求 b−ab-a 的最小值.

2013 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡ωxf(x) = 2\sin \omega x. 其中常数 ω>0\omega > 0.
(1) 令 ω=1\omega = 1，判断函数 F(x)=f(x)+f(x+π2)F(x) = f(x) + f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) 的奇偶性并说明理由； (2) 令 ω=2\omega = 2，将函数 y=f(x)y = f(x) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位，再向上平移 11 个单位，得到函数 y=g(x)y = g(x) 的图象. 对任意的 a∈Ra \in \mathbf{R}，求 y=g(x)y = g(x) 在区间 [a,a+10π][a, a + 10\pi] 上零点个数的所有可能值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 ω=1\omega=1 时，f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin x，所以
F(x)=2sin⁡x+2sin⁡(x+π2)=2sin⁡x+2cos⁡xF(x)=2\sin x+2\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=2\sin x+2\cos x
于是 F(−x)=2cos⁡x−2sin⁡xF(-x)=2\cos x-2\sin x. 又 F(0)=2≠−2=−F(0)F(0)=2\neq-2=-F(0)，故 F(x)F(x) 不是奇函数；并且 F(π2)=2F\left(\frac{\pi}{2}\right)=2，F(−π2)=−2F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2，故 F(x)F(x) 不是偶函数. 因此 F(x)F(x) 既不是奇函数，也不是偶函数. \item 当 ω=2\omega=2 时，f(x)=2sin⁡2xf(x)=2\sin2x. 图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 后，横坐标 xx 处的函数值为 f(x+π6)f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)，再向上平移 11 个单位，故
g(x)=2sin⁡(2x+π3)+1g(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+1
令 g(x)=0g(x)=0，得
sin⁡(2x+π3)=−12\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}
因此 2x+π3=−π6+2kπ或2x+π3=7π6+2kπ2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{或}\quad2x+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z} 即零点为 x=−π4+kπ或x=5π12+kπx=-\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\text{或}\quad x=\frac{5\pi}{12}+k\pi，k∈Zk\in\mathbf{Z}. 函数 g(x)g(x) 的周期为 π\pi，每个周期内有两个零点. 区间 [a,a+10π][a,a+10\pi] 的长度是 1010 个周期，因此当 aa 不是零点时，区间内有 2020 个零点；当 aa 是零点时，a+10πa+10\pi 也是零点，两个端点同时计入，区间内有 2121 个零点. 故所有可能值为 2020，2121. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知双曲线 C:2x2−y2=1C: 2x^{2} - y^{2} = 1.
(1) 设 FF 是 CC 的左焦点，点 MM 是 CC 右支上一点. 若 ∣MF∣=22|MF| = 2\sqrt{2}，求点 MM 的坐标； (2) 过 CC 的左顶点作 CC 的两条渐近线的平行线. 求这两组平行线围成的平行四边形的面积； (3) 设斜率为 kk （∣k∣<2|k| < \sqrt{2}） 的直线 ll 交 CC 于 PP，QQ 两点. 若 ll 与圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 相切，求证：OP⊥OQOP \perp OQ.

2012 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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13函数与初等函数★★★★☆
设 g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上，以 1 为周期的函数，若函数 f(x)=x+g(x)f(x) = x + g(x) 在区间 [3,4][3,4] 上的值域为 [−2,5][-2,5]，则 f(x)f(x) 在区间 [−10,10][-10,10] 上的值域为______.

2011 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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