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16导数及其应用★★★★☆
当 x>0x>0 时，曲线 y=x3−3xy=x^3-3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay=-(x-1)^2+a 有两个交点，则 aa 的取值范围是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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21解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left(1,\dfrac32\right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线交 CC 于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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10三角函数★★★★☆
函数 y=f(x)y=f(x) 的图象由函数 y=cos⁡(2x+π6)y=\cos\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right) 的图象向左平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位长度得到，则 y=f(x)y=f(x) 的图象与直线 y=12x−12y=\frac12x-\frac12 的交点个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12三角函数★★★★☆
函数 y=f(x)y=f(x) 的图象由 y=cos⁡(2x+π6)y=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right) 的图象向左平移 π6\dfrac{\pi}{6} 个单位长度得到，则 y=f(x)y=f(x) 的图象与直线 y=12x−12y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} 的交点个数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 a=3132a=\frac{31}{32}，b=cos⁡14b=\cos\frac14，c=4sin⁡14c=4\sin\frac14，则（ ）
A.
c>b>ac>b>a
B.
b>a>cb>a>c
C.
a>b>ca>b>c
D.
a>c>ba>c>b

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，f(x+1)f(x+1) 为奇函数，f(x+2)f(x+2) 为偶函数，当 x∈[1,2]x\in [1,2] 时，f(x)=ax2+bf(x)=ax^2+b. 若 f(0)+f(3)=6f(0)+f(3)=6，则 f(92)=f\left( \frac{9}{2} \right)=（ ）
A.
−94-\dfrac{9}{4}
B.
−32-\dfrac{3}{2}
C.
74\dfrac{7}{4}
D.
52\dfrac{5}{2}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 a>0a>0 且 a≠1a\ne 1，函数 f(x)=xaaxf(x)=\dfrac{x^a}{a^x}（x>0x>0）.
(1) 当 a=2a=2 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与直线 y=1y=1 有且仅有两个交点，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3+bx+cf(x)=x^3+bx+c，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (12,f(12))\left( \dfrac{1}{2},f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right) 处的切线与 yy 轴垂直.
(1) 求 bb； (2) 若 f(x)f(x) 有一个绝对值不大于 11 的零点，证明：f(x)f(x) 所有零点的绝对值都不大于 11.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−kx+k2f(x)=x^3-kx+k^2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有三个零点，求 kk 的取值范围.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 C:y=x22C:y=\dfrac{x^2}{2}，DD 为直线 y=−12y=-\dfrac12 上的动点，过 DD 作 CC 的两条切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 证明：直线 ABAB 过定点； (2) 若以 E(0,52)E(0,\dfrac52) 为圆心的圆与直线 ABAB 相切，且切点为线段 ABAB 的中点，求四边形 ADBEADBE 的面积.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16解析几何★★★★☆
已知点 M(−1,1)M(-1,1) 和抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x，过 CC 的焦点且斜率为 kk 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∠AMB=90∘\angle AMB=90^\circ，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，当 P(x,y)P(x,y) 不是原点时，定义 PP 的“伴随点”为 P′(yx2+y2,−xx2+y2)P'\left(\dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)；当 PP 是原点时，定义 PP 的“伴随点”为它自身，平面曲线 CC 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C′C' 定义为曲线 CC 的“伴随曲线”. 现有下列命题：
① 若点 AA 的“伴随点”是点 A′A'，则点 A′A' 的“伴随点”是点 AA； ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③ 若曲线 CC 关于 xx 轴对称，则其“伴随曲线” C′C' 关于 yy 轴对称； ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是______. （写出所有真命题的序列）
\begin{solution} 对非原点 P=(x,y)P=(x,y)，记 r2=x2+y2r^2=x^2+y^2，则其伴随点为
P′=(yr2,−xr2)P'=\left(\frac y{r^2},-\frac x{r^2}\right)
再次取伴随点时，因
(yr2)2+(−xr2)2=1r2\left(\dfrac y{r^2}\right)^2+\left(-\dfrac x{r^2}\right)^2=\dfrac1{r^2}
有
(P′)′=(−x,−y)≠(x,y)(P')'=\left(-x,-y\right)\neq(x,y)
一般并不成立.例如 (1,0)(1,0) 的伴随点为 (0,−1)(0,-1)，而 (0,−1)(0,-1) 的伴随点为 (−1,0)(-1,0)，所以命题 \circled1\circled{1} 错误.
若 PP 在单位圆上，则 r2=1r^2=1，其伴随点为 (y,−x)(y,-x)，仍在单位圆上；该变换在单位圆上是旋转，且为双射，所以单位圆的伴随曲线仍是单位圆，命题 \circled2\circled{2} 正确.
若 CC 关于 xx 轴对称，则 (x,y)∈C(x,y)\in C 时 (x,−y)∈C(x,-y)\in C.这两个点的伴随点分别为 (yx2+y2,−xx2+y2)\left(\frac y{x^2+y^2},-\frac x{x^2+y^2}\right)，(−yx2+y2,−xx2+y2)\left(-\frac y{x^2+y^2},-\frac x{x^2+y^2}\right) 它们关于 yy 轴对称，所以命题 \circled3\circled{3} 正确.
命题 \circled4\circled{4} 错误.例如直线 y=1y=1 上的三个点 (0,1)(0,1)、(1,1)(1,1)、(2,1)(2,1) 的伴随点分别为 (1,0)(1,0)，(12,−12)\left(\dfrac12,-\dfrac12\right)，(15,−25)\left(\dfrac15,-\dfrac25\right). 前两点连线斜率为 11，后两点连线斜率为 −13-\dfrac13，三点不共线.因此所有真命题的序列为 \circled2\circled3\circled{2}\circled{3}. \end{solution}

2016 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10导数及其应用★★★★☆
设直线 l1l_1，l2l_2 分别是函数
f(x)={−ln⁡x,0<x<1,ln⁡x,x>1,f(x)=\begin{cases} -\ln x,&0<x<1,\\ \ln x,&x>1, \end{cases}
图象上点 P1P_1，P2P_2 处的切线，l1l_1 与 l2l_2 垂直相交于点 PP，且 l1l_1，l2l_2 分别与 yy 轴相交于点 AA，BB，则 △PAB\triangle PAB 的面积的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,2)(0,2)
C.
(0,+∞)(0,+\infty)
D.
(1,+∞)(1,+\infty)

2016 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，当 P(x,y)P(x,y) 不是原点时，定义 PP 的“伴随点”为 P′ ⁣(yx2+y2,−xx2+y2)P'\!\left( \dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2} \right)；当 PP 是原点时，定义 PP 的“伴随点”为它自身. 平面曲线 CC 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C′C' 定义为曲线 CC 的“伴随曲线”，现有下列命题：
① 若点 AA 的“伴随点”是点 A′A'，则点 A′A' 的“伴随点”是点 AA； ② 单位圆上的“伴随点”仍在单位圆上； ③ 若两点关于 xx 轴对称，则他们的“伴随点”关于 yy 轴对称； ④ 若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是______. （写出所有真命题的序列）

2016 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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09导数及其应用★★★★☆
如果函数 f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1f(x) = \frac{1}{2} (m - 2)x^2 + (n - 8)x + 1 （m⩾0m \geqslant 0，n⩾0n \geqslant 0）在区间 [12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right] 上单调递减，那么 mnmn 的最大值为（ ）
\begin{solution} 函数导数为 f′(x)=(m−2)x+n−8f'(x)=(m-2)x+n-8. 要使函数在 [12,2]\left[\frac12,2\right] 上单调递减，需要 f′(x)⩽0f'(x)\leqslant0 在该区间恒成立.
当 m⩾2m\geqslant2 时，导数在区间上的最大值为 f′(2)f'(2)，故 2m+n⩽122m+n\leqslant12. 此时 2⩽m⩽62\leqslant m\leqslant6，且
mn⩽m(12−2m)=18−2(m−3)2⩽18mn\leqslant m(12-2m)=18-2(m-3)^2\leqslant18
当 0⩽m<20\leqslant m<2 时，导数在区间上的最大值为 f′(12)f'\left(\frac12\right)，故 n⩽9−m2n\leqslant9-\frac m2. 因而 mn⩽m(9−m2)<16<18mn\leqslant m\left(9-\frac m2\right)<16<18.
取 m=3m=3，n=6n=6 时，f′(x)=x−2⩽0f'(x)=x-2\leqslant0 在给定区间成立，且 mn=18mn=18，故选 B. \end{solution}
A.
1616
B.
1818
C.
2525
D.
812\frac{81}{2}

2015 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_{1}，x2x_{2}，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______. （写出所有真命题的序号）
\begin{solution} 先化简
n=x12−x22+a(x1−x2)x1−x2=x1+x2+an=\frac{x_1^2-x_2^2+a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}=x_1+x_2+a
因为 2x2^x 在 R\mathbf{R} 上严格递增，所以 x1≠x2x_1\ne x_2 时 m>0m>0，命题 1 为真. 命题 2 不真，例如取 a=0a=0，x1=−2x_1=-2，x2=−1x_2=-1，则 n=−3<0n=-3<0.
命题 3 也不真. 取 a=−10a=-10，记 s=x1+x2s=x_1+x_2，d=x1−x2≠0d=x_1-x_2\ne0，则
m=2s22d2−2−d2d>(ln⁡2)2s2m=2^{\frac{s}{2}}\frac{2^{\frac{d}{2}}-2^{-\frac{d}{2}}}{d}>(\ln2)2^{\frac{s}{2}}
若 s⩽10s\leqslant10，则 n=s−10⩽0<mn=s-10\leqslant0<m. 若 s>10s>10，函数 (ln⁡2)2s2−(s−10)(\ln2)2^{\frac{s}{2}}-(s-10) 的导数在 [10,+∞)[10,+\infty) 上为正，因此该函数递增且在 s=10s=10 时为正，所以仍有 m>s−10=nm>s-10=n，不可能 m=nm=n.
对于命题 4，固定取 x1=t+1x_1=t+1，x2=t−1x_2=t-1，则 m=34 2tm=\dfrac34\,2^t，n=2t+an=2t+a. 函数 h(t)=34 2t+2t+ah(t)=\dfrac34\,2^t+2t+a 连续，且当 t→−∞t\to-\infty 时 h(t)→−∞h(t)\to-\infty，当 t→+∞t\to+\infty 时 h(t)→+∞h(t)\to+\infty. 由介值定理，存在 tt 使 h(t)=0h(t)=0，即 m=−nm=-n，命题 4 为真. 所以真命题的序号为 \circled1\circled4\circled{1}\circled{4}. \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★★☆
设实数 xx，yy 满足
{2x+y⩽10,x+2y⩽14,x+y⩾6\begin{cases} 2x + y \leqslant 10,\\ x + 2y \leqslant 14,\\ x + y \geqslant 6 \end{cases}
，则 xyxy 的最大值为（ ）
A.
252\frac{25}{2}
B.
492\frac{49}{2}
C.
1212
D.
1616

2015 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

2015 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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19三角函数★★★★☆
已知 AA，BB，CC 为 △ABC\triangle ABC 的内角，tan⁡A\tan A，tan⁡B\tan B 是关于 xx 的方程 x2+3px−p+1=0x^{2} + \sqrt{3}px - p + 1 = 0（p∈Rp \in \mathbf{R}）的两个实根.
(1) 求 CC 的大小； (2) 若 AB=3AB = 3，AC=6AC = \sqrt{6}，求 pp 的值.

2015 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率是 22\frac{\sqrt{2}}{2}，点 P(0,1)P(0,1) 在短轴 CDCD 上，且 PC‾⋅PD‾=−1\overline{PC} \cdot \overline{PD} = -1.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过点 PP 的动直线与椭圆交于 AA，BB 两点. 是否存在常数 λ\lambda，使得 OA→⋅OB→+λPA→⋅PB→\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} 为定值？若存在，求 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

2015 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★☆
以 AA 表示值域为 R\mathbf{R} 的函数组成的集合，BB 表示具有如下性质的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：对于函数 φ(x)\varphi(x)，存在一个正数 MM，使得函数 φ(x)\varphi(x) 的值域包含于区间 [−M,M][-M, M]. 例如，当 φ1(x)=x3\varphi_1(x) = x^3，φ2(x)=sin⁡x\varphi_2(x) = \sin x 时，φ1(x)∈A\varphi_1(x) \in A，φ2(x)∈B\varphi_2(x) \in B. 现有如下命题：
① 设函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“f(x)∈Af(x) \in A”的充要条件是“∀b∈R\forall b \in \mathbf{R}，∃a∈D\exists a \in D，f(a)=bf(a)=b”； ② 函数 f(x)∈Bf(x) \in B 的充要条件是 f(x)f(x) 有最大值和最小值； ③ 若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域相同，且 f(x)∈Af(x) \in A，g(x)∈Bg(x) \in B，则 f(x)+g(x)∉Bf(x) + g(x) \notin B； ④ 若函数 f(x)=aln⁡(x+2)+xx2+1f(x) = a\ln(x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}（x>−2x > -2，a∈Ra \in \mathbf{R}）有最大值，则 f(x)∈Bf(x) \in B.
其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号）

2014 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
以 AA 表示值域为 R\mathbf{R} 的函数组成的集合，BB 表示具有如下性质的函数 φ(x)\varphi(x) 组成的集合：对于函数 φ(x)\varphi(x)，存在一个正数 MM，使得函数 φ(x)\varphi(x) 的值域包含于区间 [−M,M][-M, M]. 例如，当 φ1(x)=x3\varphi_{1}(x) = x^{3}，φ2(x)=sin⁡x\varphi_{2}(x) = \sin x 时，φ1(x)∈A\varphi_{1}(x) \in A，φ2(x)∈B\varphi_{2}(x) \in B. 现有如下命题：
① 设函数 f(x)f(x) 的定义域为 DD，则“f(x)∈Af(x) \in A”的充要条件是“∀b∈R\forall b \in \mathbf{R}，∃a∈D\exists a \in D，f(a)=bf(a)=b”； ② 函数 f(x)∈Bf(x) \in B 的充要条件是 f(x)f(x) 有最大值和最小值； ③ 若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域相同，且 f(x)∈Af(x) \in A，g(x)∈Bg(x) \in B，则 f(x)+g(x)∉Bf(x)+g(x) \notin B； ④ 若函数 f(x)=aln⁡(x+2)+xx2+1f(x) = a\ln(x + 2) + \frac{x}{x^{2} + 1}（x>−2x > -2，a∈Ra \in \mathbf{R}）有最大值，则 f(x)∈Bf(x) \in B.
其中的真命题有______.（写出所有真命题的序号） \begin{answer} \circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4} \end{answer}
\begin{solution} 命题 1 直接是值域为 R\mathbf{R} 的定义，因此命题 1 为真.
命题 2 中，函数有最大值和最小值可以推出值域有界，但有界函数不一定取得最大值和最小值. 例如 f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 的值域为 (−π2,π2)\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)，有界却没有最大值和最小值，因此命题 2 为假.
命题 3 中，设 g(x)g(x) 的值域包含于 [−M,M][-M,M]. 对任意正数 KK，由于 f(x)f(x) 的值域为 R\mathbf{R}，存在 xx 使 f(x)>K+Mf(x)>K+M，于是 f(x)+g(x)>Kf(x)+g(x)>K. 因而 f+gf+g 无上界，不能属于 BB，命题 3 为真.
命题 4 中，若 a>0a>0，则 aln⁡(x+2)→+∞a\ln(x+2)\to+\infty（x→+∞x\to+\infty），函数不可能有最大值；若 a<0a<0，则 aln⁡(x+2)→+∞a\ln(x+2)\to+\infty（x→−2+x\to-2^+），函数同样不可能有最大值. 因此函数有最大值时只能有 a=0a=0，此时 f(x)=xx2+1f(x)=\frac{x}{x^2+1}，且 ∣xx2+1∣⩽12\left|\frac{x}{x^2+1}\right|\leqslant\frac12，所以 f(x)∈Bf(x)\in B. 命题 4 为真.
所以真命题的序号为 11，33，44. \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 F(−2,0)F(-2,0)，离心率为 63\frac{\sqrt{6}}{3}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 设 OO 为坐标原点，TT 为直线 x=−3x = -3 上一点，过 FF 作 TFTF 的垂线交椭圆于 PP，QQ. 当四边形 OPTQOPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQOPTQ 的面积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆焦距参数为 cc. 由左焦点 F(−2,0)F(-2,0) 得 c=2c=2，再由离心率 e=ca=63e=\frac ca=\frac{\sqrt6}{3}，得 a=6a=\sqrt6. 因为 b2=a2−c2=6−4=2b^2=a^2-c^2=6-4=2，所以椭圆的标准方程为 x26+y22=1\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1. \item 设 T=(−3,m)T=(-3,m). 向量 TF→=(1,−m)\overrightarrow{TF}=(1,-m)，过 FF 且垂直于 TFTF 的直线可写为 x=my−2x=my-2. 设 P=(x1,y1)P=(x_1,y_1)，Q=(x2,y2)Q=(x_2,y_2)，代入椭圆方程得
(m2+3)y2−4my−2=0(m^2+3)y^2-4my-2=0
由韦达定理， y1+y2=4mm2+3y_1+y_2=\frac{4m}{m^2+3}，y1y2=−2m2+3y_1y_2=-\frac2{m^2+3}. 又 xi=myi−2x_i=my_i-2，所以 x1+x2=4m2m2+3−4=−12m2+3x_1+x_2=\frac{4m^2}{m^2+3}-4=-\frac{12}{m^2+3}. 四边形 OPTQOPTQ 为平行四边形时，对角线互相平分，即 P+Q=O+T=TP+Q=O+T=T，故 4mm2+3=m\frac{4m}{m^2+3}=m，−12m2+3=−3-\frac{12}{m^2+3}=-3. 第二个等式给出 m2=1m^2=1，这两个值也满足第一个等式，因此 m=±1m=\pm1.
取 m=1m=1，则 T=(−3,1)T=(-3,1)，直线 PQPQ 为 y=x+2y=x+2，与椭圆的两个交点为 P(−3−32,1−32)P\left(\frac{-3-\sqrt3}{2},\frac{1-\sqrt3}{2}\right)，Q(−3+32,1+32)Q\left(\frac{-3+\sqrt3}{2},\frac{1+\sqrt3}{2}\right). 平行四边形的两条对角线为 OTOT 与 PQPQ，故面积为
12∣det⁡((−3,1),(3,3))∣=23\frac12\left|\det\left((-3,1),(\sqrt3,\sqrt3)\right)\right|=2\sqrt3
当 m=−1m=-1 时图形关于 xx 轴对称，面积相同. 因此四边形 OPTQOPTQ 的面积为 232\sqrt3. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知圆 CC 的方程为 x2+(y−4)2=4x^{2}+\left(y-4\right)^{2}=4，点 OO 是坐标原点，直线 l:y=kxl:y=kx 与圆 CC 交于 MM，NN 两点.
(1) 求 kk 的取值范围； (2) 设 Q(m,n)Q(m,n) 是线段 MNMN 上的点，且 2∣OQ∣2=1∣OM∣2+1∣ON∣2\dfrac{2}{|OQ|^{2}}=\dfrac{1}{|OM|^{2}}+\dfrac{1}{|ON|^{2}}，请将 nn 表示为 mm 的函数.

2013 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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12数列★★★★☆
设函数 f(x)=2x−cos⁡xf(x) = 2x - \cos x，{an}\{a_n\} 是公差为 π8\frac{\pi}{8} 的等差数列，f(a1)+f(a2)+⋯+f(a5)=5πf(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_5) = 5\pi，则 [f(a3)]2−a1a5=\left[f(a_3)\right]^2 - a_1a_5 =（ ）
A.
0
B.
116π2\frac{1}{16}\pi^2
C.
18π2\frac{1}{8}\pi^2
D.
1316π2\frac{13}{16}\pi^2

2012 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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