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15函数与初等函数★★★★☆
若函数 f(x)=ax2−2x−∣x2−ax+1∣f(x)=ax^2-2x-\left| x^2-ax+1 \right| 有且仅有两个零点，则 aa 的取值范围为______.

2023 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，右焦点为 FF，已知 ∣A1F∣=3|A_1F|=3，∣A2F∣=1|A_2F|=1.
(1) 求椭圆方程及其离心率； (2) 已知点 PP 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 A2PA_2P 交 yy 轴于点 QQ，若三角形 A1PQA_1PQ 的面积是三角形 A2FPA_2FP 面积的二倍，求直线 A2PA_2P 的方程.

2023 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，对任意实数 xx，记 f(x)f(x) 表示 ∣x∣−2|x|-2，x2−ax+3a−5x^2-ax+3a-5 中的较小者. 若函数 f(x)f(x) 至少有 3 个零点，则 aa 的取值范围为______.

2022 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数
f(x)={cos⁡(2πx−2πa),x<a,x2−2(a+1)x+a2+5,x≥af(x)=\begin{cases} \cos\left( 2\pi x-2\pi a \right), & x<a,\\ x^2-2(a+1)x+a^2+5, & x\ge a \end{cases}
若 f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)\left( 0,+\infty \right) 内恰有 66 个零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(2,94]∪(52,114]\left( 2,\frac{9}{4} \right]\cup \left( \frac{5}{2},\frac{11}{4} \right]
B.
(74,2)∪(52,114]\left( \frac{7}{4},2 \right)\cup \left( \frac{5}{2},\frac{11}{4} \right]
C.
(2,94]∪[114,3)\left( 2,\frac{9}{4} \right]\cup \left[ \frac{11}{4},3 \right)
D.
(74,2)∪[114,3)\left( \frac{7}{4},2 \right)\cup \left[ \frac{11}{4},3 \right)

2021 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x3f(x)=x^3（x≥0x\ge 0），f(x)=−xf(x)=-x（x<0x<0）. 若函数 g(x)=f(x)−∣kx2−2x∣g(x)=f(x)-\left| kx^2-2x \right|（k∈Rk\in\mathbf{R}）恰有 4 个零点，则 kk 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−12)∪(22,+∞)\left( -\infty,-\dfrac12 \right)\cup\left( 2\sqrt2,+\infty \right)
B.
(−∞,−12)∪(0,22)\left( -\infty,-\dfrac12 \right)\cup\left( 0,2\sqrt2 \right)
C.
(−∞,0)∪(0,22)\left( -\infty,0 \right)\cup\left( 0,2\sqrt2 \right)
D.
(−∞,0)∪(22,+∞)\left( -\infty,0 \right)\cup\left( 2\sqrt2,+\infty \right)

2020 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，设函数
f(x)={x2−2ax+2a,x≤1,x−aln⁡x,x>1.f(x)=\begin{cases} x^2-2ax+2a, & x\le 1,\\ x-a\ln x, & x>1. \end{cases}
若关于 xx 的不等式 f(x)≥0f(x)\ge 0 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
[0,1][0,1]
B.
[0,2][0,2]
C.
[0,e][0,\mathrm{e}]
D.
[1,e][1,\mathrm{e}]

2019 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x)=2\sqrt{x}（0≤x≤10\le x\le 1），f(x)=1xf(x)=\dfrac1x（x>1x>1）. 若关于 xx 的方程 f(x)=−14x+af(x)=-\dfrac14x+a（a∈Ra\in\mathbf{R}） 恰有两个互异的实数解，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
[54,94]\left[\dfrac54,\dfrac94\right]
B.
(54,94]\left(\dfrac54,\dfrac94\right]
C.
(54,94]∪{1}\left(\dfrac54,\dfrac94\right]\cup\{1\}
D.
[54,94]∪{1}\left[\dfrac54,\dfrac94\right]\cup\{1\}

2019 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知 a>0a>0，函数
f(x)={x2+2ax+a,x≤0,−x2+2ax−2a,x>0f(x)=\begin{cases} x^2+2ax+a, & x\le0,\\ -x^2+2ax-2a, & x>0 \end{cases}
若关于 xx 的方程 f(x)=axf(x)=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 aa 的取值范围是______.

2018 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数
f(x)={x2+2x+a−2,x≤0,−x2+2x−2a,x>0.f(x)=\begin{cases} x^2+2x+a-2, & x\le0,\\ -x^2+2x-2a, & x>0. \end{cases}
若对任意 x∈[−3,+∞)x\in[-3,+\infty)，f(x)≤∣x∣f(x)\le|x| 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2018 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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08不等式★★★★☆
已知函数
f(x)={x2−x+3,x≤1,x+2x,x>1,f(x)= \begin{cases} x^2-x+3,&x\le 1,\\ x+\dfrac{2}{x},&x>1, \end{cases}
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若关于 xx 的不等式 f(x)≥∣x2+a∣f(x)\ge \left|\dfrac{x}{2}+a\right| 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−4716,2]\left[-\dfrac{47}{16},2\right]
B.
[−4716,3916]\left[-\dfrac{47}{16},\dfrac{39}{16}\right]
C.
[−23,2]\left[-2\sqrt{3},2\right]
D.
[−23,3916]\left[-2\sqrt{3},\dfrac{39}{16}\right]

2017 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x<1x<1 时，f(x)=∣x∣+2f(x)=|x|+2；当 x≥1x\ge 1 时，f(x)=x+2xf(x)=x+\dfrac2x. 设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若关于 xx 的不等式 f(x)≥∣x2+a∣f(x)\ge \left|\dfrac x2+a\right| 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−2,2][-2,2]
B.
[−23,2][-2\sqrt3,2]
C.
[−2,23][-2,2\sqrt3]
D.
[−23,23][-2\sqrt3,2\sqrt3]

2017 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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08三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡2ωx2+12sin⁡ωx−12f(x)=\sin^2\frac{\omega x}{2}+\frac12\sin\omega x-\frac12（ω>0\omega>0，x∈Rx\in \mathbf{R}），若 f(x)f(x) 在区间 (π,2π)\left( \pi,2\pi \right) 内没有零点，则 ω\omega 的取值范围是（ ）
A.
(0,18]\left( 0,\frac18 \right]
B.
(0,14]∪[58,1)\left( 0,\frac14 \right]\cup\left[ \frac58,1 \right)
C.
(0,58]\left( 0,\frac58 \right]
D.
(0,18]∪[14,58]\left( 0,\frac18 \right]\cup\left[ \frac14,\frac58 \right]

2016 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={2−∣x∣,x⩽2,(x−2)2,x>2,f(x) = \begin{cases} 2 - |x|, & x \leqslant 2,\\ (x - 2)^2, & x > 2, \end{cases}
函数 g(x)=b−f(2−x)g(x) = b - f(2 - x)，其中 b∈Rb \in \mathbf{R}. 若函数 y=f(x)−g(x)y = f(x) - g(x) 恰有4个零点，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
(74,+∞)\left(\frac{7}{4}, +\infty\right)
B.
(−∞,74)\left(-\infty, \frac{7}{4}\right)
C.
(0,74)\left(0, \frac{7}{4}\right)
D.
(74,2)\left(\frac{7}{4}, 2\right)

2015 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣x2+3x∣f(x) = |x^2 + 3x|，x∈Rx \in \mathbf{R}. 若方程 f(x)−a∣x−1∣=0f(x) - a|x - 1| = 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 aa 的取值范围为______.

2014 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={∣x2+5x+4∣,x⩽0,2∣x−2∣,x>0f(x) = \begin{cases} |x^2 + 5x + 4|, & x \leqslant 0,\\ 2|x - 2|, & x > 0 \end{cases}
若函数 y=f(x)−a∣x∣y = f(x) - a|x| 恰有 44 个零点，则实数 aa 的取值范围为______.

2014 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=2x∣log⁡0.5x∣−1f(x) = 2^{x} |\log_{0.5} x| - 1 的零点个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2013 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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14导数及其应用★★★★☆
设 a+b=2a + b = 2，b>0b > 0，则当 a=‾a =\underline{\hspace{2em}} 时，12∣a∣+∣a∣b\frac{1}{2|a|} + \frac{|a|}{b} 取得最小值.

2013 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，过点 FF 且与 xx 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 433\frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 AA，BB 分别为椭圆的左，右顶点，过点 FF 且斜率为 kk 的直线与椭圆交于 CC，DD 两点. 若 AC→⋅DB→+AD→⋅CB→=8\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = 8，求 kk 的值.

2013 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，过点 FF 且与 xx 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 433\frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 AA，BB 分别为椭圆的左，右顶点，过点 FF 且斜率为 kk 的直线与椭圆交于 CC，DD 两点. 若 AC→⋅DB→+AD→⋅CB→=8\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = 8，求 kk 的值.

2013 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=∣x2−1∣x−1y = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} 的图象与函数 y=kx−2y = kx - 2 的图象恰有两个交点，则实数 kk 的取值范围是______.

2012 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=∣x2−1∣x−1y = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} 的图象与函数 y=kxy = kx 的图象恰有两个交点，则实数 kk 的取值范围是______.

2012 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★★★☆
对实数 aa 与 bb，定义运算“⊗\otimes”：
a⊗b={a,a−b⩽1,b,a−b>1.a \otimes b = \begin{cases} a, & a - b \leqslant 1,\\ b, & a - b > 1. \end{cases}
设函数 f(x)=(x2−2)⊗(x−x2)f(x) = (x^2 - 2) \otimes (x - x^2)，x∈Rx \in \mathbf{R}. 若函数 y=f(x)−cy = f(x) - c 的图象与 xx 轴恰有两个公共点，则实数 cc 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 令 p=x2−2p=x^2-2，q=x−x2q=x-x^2. 则
p−q=2x2−x−2p-q=2x^2-x-2
因此当
2x2−x−2⩽1⟺2x2−x−3⩽0⟺−1⩽x⩽322x^2-x-2\leqslant1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^2-x-3\leqslant0 \quad\Longleftrightarrow\quad -1\leqslant x\leqslant\frac32
时，f(x)=x2−2f(x)=x^2-2；在其余区间，f(x)=x−x2f(x)=x-x^2.
分别考察三段的值域. 当 x<−1x<-1 时，f(x)=x−x2f(x)=x-x^2，且 f′(x)=1−2x>0f'(x)=1-2x>0，值域为 (−∞,−2)(-\infty,-2). 当 −1⩽x⩽32-1\leqslant x\leqslant\frac32 时，f(x)=x2−2f(x)=x^2-2，在 x=0x=0 处取得最小值 −2-2，并且 f(−1)=−1f(-1)=-1，f(32)=14f\left(\frac32\right)=\frac14， 所以这一段的取值在 [−2,14][-2,\frac{1}{4}]，其中 c∈(−2,−1)c\in(-2,-1) 时有两个原像，c=−2c=-2 时有一个原像，c∈[−1,14]c\in[-1,\frac{1}{4}] 时有一个或两个原像需结合其他区间判断. 当 x>32x>\frac32 时，f(x)=x−x2f(x)=x-x^2，且 f′(x)=1−2x<0f'(x)=1-2x<0，值域为 (−∞,−34)(-\infty,-\frac{3}{4})，每个值至多有一个原像.
具体计数如下：若 c<−2c<-2，左右两个外侧区间各有一个原像；若 c=−2c=-2，中间区间的 x=0x=0 和右侧区间的 x=2x=2 共两个原像；若 −2<c<−1-2<c<-1，中间区间有两个原像，右侧区间还有一个原像，共三个；若 c=−1c=-1，中间区间的 x=−1x=-1，11 与右侧区间的一个原像共三个；若 −1<c<−34-1<c<-\frac{3}{4}，中间区间和右侧区间各有一个原像；若 c⩾−34c\geqslant-\frac{3}{4} 且 c⩽14c\leqslant\frac{1}{4}，只有中间区间的一个原像；其他 cc 没有两个原像. 所以恰有两个公共点的条件为
c∈(−∞,−2]∪(−1,−34)c\in(-\infty,-2]\cup\left(-1,-\frac34\right)
因此选 B. \end{solution}
A.
(−∞,−2]∪(−1,32)(- \infty, -2] \cup \left(-1, \frac{3}{2}\right)
B.
(−∞,−2]∪(−1,−34)(-\infty, -2] \cup \left(-1, -\frac{3}{4}\right)
C.
(−1,14)∪(14,+∞)\left(-1, \frac{1}{4}\right) \cup \left(\frac{1}{4}, +\infty\right)
D.
(−1,−34)∪[14,+∞)\left(-1, -\frac{3}{4}\right) \cup \left[\frac{1}{4}, +\infty\right)

2011 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
对实数 aa 和 bb，定义运算“⊗\otimes”：
a⊗b={a,a−b⩽1,b,a−b>1.a \otimes b = \begin{cases} a, & a - b \leqslant 1,\\ b, & a - b > 1. \end{cases}
设函数 f(x)=(x2−2)⊗(x−1)f(x) = (x^{2} - 2) \otimes (x - 1)，x∈Rx \in \mathbf{R}. 若函数 y=f(x)−cy = f(x) - c 的图象与 xx 轴恰有两个公共点，则实数 cc 的取值范围是（ ）
A.
(−1,1]∪(2,+∞)(-1,1]\cup (2, + \infty)
B.
(−2,−1]∪(1,2](-2, - 1] \cup (1, 2]
C.
(−∞,−2)∪(1,2](-\infty, -2) \cup (1, 2]
D.
[−2,−1][-2, - 1]

2011 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=4x3+3tx2−6t2x+t−1f(x) = 4x^{3} + 3tx^{2} - 6t^{2}x + t - 1，x∈Rx \in \mathbf{R}，其中 t∈Rt \in \mathbf{R}.
(1) 当 t=1t = 1 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程； (2) 当 t≠0t \neq 0 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 证明：对任意的 t∈(0,+∞)t \in (0, +\infty)，f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0, 1) 内均存在零点.

2011 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16不等式★★★★☆
设函数 f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1，对任意 x∈[32,+∞)x \in \left[\frac{3}{2}, +\infty\right)，f(xm)−4m2f(x)⩽f(x−1)+4f(m)f\left(\frac{x}{m}\right) - 4m^2f(x) \leqslant f(x - 1) + 4f(m) 恒成立，则实数 mm 的取值范围是______. \begin{answer} (−∞,−32]∪[32,+∞)\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup\left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty\right) \end{answer} \begin{solution} 因题中含有 f(xm)f(\frac{x}{m})，必须有 m≠0m\ne0. 将 f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 代入不等式并移项，得 Qm(x):=(1m2−4m2−1)x2+2x+3≤0Q_m(x):=\left(\frac1{m^2}-4m^2-1\right)x^2+2x+3\le0，x≥32x\ge\frac32. 记 Am=1m2−4m2−1A_m=\dfrac1{m^2}-4m^2-1. 若 Am≥0A_m\ge0，则 Qm(x)Q_m(x) 在充分大的 xx 处为正，不可能恒成立. 设 Am<0A_m<0. 若二次函数顶点 −1Am≥32-\frac{1}{A_m}\ge\frac{3}{2}，则其在定义区间内的最大值为
Qm(−1Am)=3−1Am>0Q_m\left(-\frac1{A_m}\right)=3-\frac1{A_m}>0
仍不可能恒成立. 所以顶点必须在区间左侧. 此时对 x≥32x\ge\frac{3}{2} 有 Qm′(x)=2Amx+2<0Q_m'(x)=2A_mx+2<0，故 QmQ_m 在该区间上递减，只需令端点处的最大值不大于零： Qm(32)=94Am+6≤0Q_m\left(\frac32\right)=\frac94A_m+6\le0，Am≤−83A_m\le-\frac83. 于是
1m2−4m2+53≤0\frac1{m^2}-4m^2+\frac53\le0
令 t=m2>0t=m^2>0，乘以正数 3t3t 得
12t2−5t−3≥012t^2-5t-3\ge0
该二次式的根为 −13-\dfrac13，34\dfrac34，故 t≥34t\ge\dfrac34，即
∣m∣≥32|m|\ge\frac{\sqrt3}{2}
所以 mm 的取值范围为
(−∞,−32]∪[32,+∞)\left(-\infty,-\frac{\sqrt3}{2}\right]\cup\left[\frac{\sqrt3}{2},+\infty\right)
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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