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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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116分解析几何★★★★☆
造型可做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 CC 的一部分. 已知 CC 过坐标原点 OO，且 CC 上点满足横坐标大于 −2-2，到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与到定直线 x=ax=a（a<0a<0） 的距离之积为 44，则（ ）
A.
a=−2a=-2
B.
点 (22,0)(2\sqrt2,0) 在 CC 上
C.
在第一象限 CC 的点的纵坐标最大值为 11
D.
若点 (x0,y0)(x_0,y_0) 在 CC 上，则 y0≤4x0+2y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
已知 OO 为坐标原点，点 A(1,1)A(1,1) 在抛物线 C: x2=2pyC:\ x^2=2py（p>0p>0） 上，过点 B(0,−1)B(0,-1) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，则（ ）
A.
CC 的准线为 y=−1y=-1
B.
直线 ABAB 与 CC 相切
C.
∣OP∣⋅∣OQ∣>∣OA∣2|OP|\cdot |OQ|>|OA|^2
D.
∣BP∣⋅∣BQ∣>∣BA∣2|BP|\cdot |BQ|>|BA|^2

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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126分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 及其导函数 f′(x)f'(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，记 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x). 若 f(32−2x)f\left(\frac32-2x\right)，g(2+x)g(2+x) 均为偶函数，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
g(−12)=0g\left(-\frac12\right)=0
C.
f(−1)=f(4)f(-1)=f(4)
D.
g(−1)=g(2)g(-1)=g(2)

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3+x2+ax+1f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + ax + 1（a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当 a<0a < 0 时，试讨论是否存在 x0∈(0,12)∪(12,1)x_0 \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 1\right)，使得 f(x0)=f(12)f(x_0) = f\left(\frac{1}{2}\right).

2014 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 对任意实数 xx 均有 f(x)=kf(x+2)f(x) = kf(x + 2)，其中常数 kk 为负数，且 f(x)f(x) 在区间 [0,2][0, 2] 上有表达式 f(x)=x(x−2)f(x) = x(x - 2).
(1) 求 f(−1)f(-1)，f(2.5)f(2.5) 的值； (2) 写出 f(x)f(x) 在 [−3,3][-3, 3] 上的表达式，并讨论函数 f(x)f(x) 在 [−3,3][-3, 3] 上的单调性； (3) 求出 f(x)f(x) 在 [−3,3][-3, 3] 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

2010 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知二次函数 y=g(x)y = g(x) 的导函数的图象与直线 y=2xy = 2x 平行，且 y=g(x)y = g(x) 在 x=−1x = -1 处取得极小值 m−1m - 1（m≠0m \neq 0）. 设 f(x)=g(x)xf(x) = \frac{g(x)}{x}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 上的点 PP 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离的最小值为 2\sqrt{2}，求 mm 的值； (2) kk（k∈Rk \in \mathbf{R}）如何取值时，函数 y=f(x)−kxy = f(x) - kx 存在零点，并求出零点.

2009 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设 k∈Rk \in \mathbf{R}，函数
f(x)={11−x,x<1,−x−1,x⩾1,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1 - x}, & x < 1,\\ -\sqrt{x - 1}, & x \geqslant 1, \end{cases}
F(x)=f(x)−kxF(x) = f(x) - kx，x∈Rx \in \mathbf{R}. 试讨论函数 F(x)F(x) 的单调性.

2008 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
已知 aa 是实数，函数 f(x)=2ax2+2x−3−af(x) = 2ax^2 + 2x - 3 - a. 如果函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 [−1,1][-1, 1] 上有零点，求 aa 的取值范围.

2007 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
已知 aa 是实数，函数 f(x)=2ax2+2x−3−af(x) = 2ax^2 + 2x - 3 - a. 如果函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 [−1,1][-1, 1] 上有零点，求 aa 的取值范围.

2007 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 上满足 f(2−x)=f(2+x)f(2 - x) = f(2 + x)，f(7−x)=f(7+x)f(7 - x) = f(7 + x)，且在闭区间 [0,7][0,7] 上，只有 f(1)=f(3)=0f(1) = f(3) = 0.
(1) 试判断函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性； (2) 试求方程 f(x)=0f(x) = 0 在闭区间 [−2005,2005][-2005, 2005] 上的根的个数，并证明你的结论.

2005 · 广东 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCDABCD 的长为 22，宽为 11，ABAB，ADAD 边分别在 xx 轴，yy 轴的正半轴上，AA 点与坐标原点重合（如图所示）. 将矩形折叠，使 AA 点落在线段 DCDC 上.
(1) 若折痕所在直线的斜率为 kk，试写出折痕所在直线的方程； (2) 求折痕的长的最大值.

2005 · 广东 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=∣1−1x∣f(x) = \left|1 - \frac{1}{x}\right|（x>0x > 0）.
(1) 证明：当 0<a<b0 < a < b，且 f(a)=f(b)f(a) = f(b) 时，ab>1ab > 1； (2) 点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)（0<x0<10 < x_0 < 1）在曲线 y=f(x)y = f(x) 上，求曲线在点 PP 处的切线与 xx 轴和 yy 轴的正向所围成的三角形面积表达式（用 x0x_0 表示）.

2004 · 广东 · 第 19 题 · 解答题

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