真题题库 | 数迹

116分解析几何★★★★☆

造型可做成美丽的丝带，将其看作图中曲线

C

的一部分. 已知

C

过坐标原点

O

，且

C

上点满足横坐标大于

-2

，到点

F(2,0)

的距离与到定直线

x=a

a<0

）的距离之积为

4

，则（）

a=-2

点

(2\sqrt2,0)

在

C

上

在第一象限

C

的点的纵坐标最大值为

1

若点

(x_0,y_0)

在

C

上，则

y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

116分解析几何★★★★☆

已知

O

为坐标原点，点

A(1,1)

在抛物线

C:\ x^2=2py

p>0

）上，过点

B(0,-1)

的直线交

C

于

P

Q

两点，则（）

C

的准线为

y=-1

直线

AB

与

C

相切

|OP|\cdot |OQ|>|OA|^2

|BP|\cdot |BQ|>|BA|^2

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

126分函数与初等函数★★★★☆

f(x)

及其导函数

f'(x)

的定义域均为

\mathbf{R}

，记

g(x)=f'(x)

. 若

f\left(\frac32-2x\right)

g(2+x)

均为偶函数，则（）

f(0)=0

g\left(-\frac12\right)=0

f(-1)=f(4)

g(-1)=g(2)

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

075分导数及其应用★★★★☆

若过点

(a,b)

可以作曲线

y=\mathrm{e}^x

的两条切线，则（）

\mathrm{e}^b<a

\mathrm{e}^a<b

0<a<\mathrm{e}^b

0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

19导数及其应用★★★★☆

设函数

f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)

a

b

c\in\mathbf{R}

f'(x)

为

f(x)

的导函数.

(1) 若

a=b=c

f(4)=8

，求

a

的值； (2) 若

a\ne b

b=c

，且

f(x)

f'(x)

的零点均在集合

\{-3,1,3\}

中，求

f(x)

的极小值； (3) 若

a=0

0<b\le 1

c=1

，且

f(x)

的极大值为

M

，求证：

M\le\dfrac4{27}

2019 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

11函数与初等函数★★★★☆

f(x)=x^3-2x+\mathrm{e}^x-\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}

，其中

\mathrm{e}

是自然对数的底数. 若

f(a-1)+f(2a^2)\le 0

，则实数

a

的取值范围是______.

2017 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

13函数与初等函数★★★★☆

f(x) = |\ln x|

g(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x \leqslant 1,\\ |x^2 - 4| - 2, & x > 1, \end{cases}

则方程

|f(x) + g(x)| = 1

实根的个数为______.

2015 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

13函数与初等函数★★★★☆

已知

f(x)

是定义在

\mathbf{R}

上且周期为 3 的函数，当

x \in [0,3)

时，

f(x) = \left|x^2 - 2x + \frac{1}{2}\right|

，若函数

y = f(x) - a

在区间

[-3,4]

上有 10 个零点（互不相同），则实数

a

的取值范围是______.

2014 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

13不等式★★★★☆

在平面直角坐标系

xOy

中，设定点

A(a,a)

P

是函数

y=\frac{1}{x}

x>0

）图象上一动点. 若点

P

A

之间的最短距离为

2\sqrt2

，则满足条件的实数

a

的所有值为______.

2013 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

18三角函数★★★★☆

如图，游客从某旅游景区的景点

A

处下山至

C

处有两种路径. 一种是从

A

沿直线步行到

C

，另一种是先从

A

沿索道乘缆车到

B

，然后从

B

沿直线步行到

C

. 现有甲，乙两位游客从

A

处下山，甲沿

AC

匀速步行，速度为

50\mathrm{~m/min}

. 在甲出发

2\mathrm{~min}

后，乙从

A

乘缆车到

B

，在

B

处停留

1\mathrm{~min}

后，再从

B

匀速步行到

C

. 假设缆车匀速直线运动的速度为

130\mathrm{~m/min}

，山路

AC

长为

1260\mathrm{~m}

，经测量，

\cos A=\frac{12}{13}

\cos C=\frac{3}{5}

的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在

(1) 求索道

AB

C

处互相等待的时间不超过

3\mathrm{~min}

，乙步行的速度应控制在什么范围内？

2013 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

17函数与初等函数★★★★☆

如图，建立平面直角坐标系

xOy

千米，某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程

x

轴在地平面上，

y

轴垂直于地平面，单位长度为

1

y = kx - \frac{1}{20}(1+k^2)x^2

与发射方向有关. 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

k>0

）表示的曲线上，其中

k

(1) 求炮的最大射程； (2) 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为

3.2

千米，试问它的横坐标

a

不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

2012 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

11函数与初等函数★★★★☆

f(x)=\begin{cases} x^2+1,&x\geqslant 0,\\ 1,&x<0, \end{cases}

则满足不等式

f(1-x^2)>f(2x)

的

x

的取值范围是______.

2010 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

. 如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为

19函数与初等函数★★★★☆

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为

a\text{ 元}

，如果他卖出该产品的单价为

m\text{ 元}

，则他的满意度为

\frac{m}{m+a}

；如果他买进该产品的单价为

n\text{ 元}

，则他的满意度为

\frac{a}{n+a}

h_1

. 现假设甲生产 A，B 两种产品的单件成本分别为

h_2

，则他对这两种交易的综合满意度为

\sqrt{h_1h_2}

12\text{ 元}

5\text{ 元}

，乙生产 A，B 两种产品的单件成本分别为

3\text{ 元}

20\text{ 元}

，设产品 A，B 的单价分别为

m_{\text{A}}\text{ 元}

m_{\text{B}}\text{ 元}

，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为

h_{\text{甲}}

，乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为

h_{\text{乙}}

(1) 求

h_{\text{甲}}

h_{\text{乙}}

关于

m_{\text{A}}

m_{\text{B}}

的表达式；当

m_{\text{A}}=\frac35m_{\text{B}}

时，求证：

h_{\text{甲}}=h_{\text{乙}}

； (2) 设

m_{\text{A}}=\frac35m_{\text{B}}

，当

m_{\text{A}}

分别为多少时，甲，乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3) 记第

m_{\text{B}}

2

问中最大的综合满意度为

h_0

，试问能否适当选取

m_{\text{A}}

m_{\text{B}}

的值，使得

h_{\text{甲}}\ge h_0

h_{\text{乙}}\ge h_0

同时成立，但等号不同时成立？试说明理由.

2009 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

20函数与初等函数★★★★☆

设

a

为实数，函数

f(x)=2x^2+(x-a)|x-a|

(1) 若

f(0)\ge1

，求

a

的取值范围； (2) 求

f(x)

的最小值； (3) 设函数

h(x)=f(x)

x\in(a,+\infty)

，直接写出（不需给出演算步骤）不等式

h(x)\ge1

的解集.

2009 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

22解析几何★★★★☆

在平面直角坐标系

xOy

中，抛物线

C

的顶点在原点，经过点

A(2,2)

，其焦点

F

在

x

轴上.

(1) 求抛物线

C

的标准方程； (2) 求过点

F

，且与直线

OA

垂直的直线的方程； (3) 设过点

M(m,0)

m>0

）的直线交抛物线

C

于

D

E

两点，

ME=2DM

，记

D

E

两点间的距离为

f(m)

，求

f(m)

关于

m

的表达式.

2009 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

23计数原理与组合数学★★★★☆

对于正整数

n\ge2

，用

T_n

表示关于

x

的一元二次方程

x^2+2ax+b=0

有实数根的有序数组

(a,b)

的组数，其中

a

b\in\{1,2,\cdots,n\}

a

b

可以相等）；对于随机选取的

a

b\in\{1,2,\cdots,n\}

a

b

可以相等），记

P_n

为关于

x

的一元二次方程

x^2+2ax+b=0

有实数根的概率.

(1) 求

T_{n^2}

P_{n^2}

； (2) 求证：对任意正整数

n\ge2

，有

P_n>1-\frac{1}{\sqrt n}

2009 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

17导数及其应用★★★★☆

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形

ABCD

的两个顶点

A

B

及

CD

的中点

P

处，已知

AB = 20\,\mathrm{km}

. 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形区域上（含边界），且与

BC = 10\,\mathrm{km}

A

B

等距离的一点

O

处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道

AO

BO

PO

. 记排污管道的总长度为

y\,\mathrm{km}

(1) 按下列要求写出函数关系式：

(i) 设

\angle BAO = \theta

\mathrm{rad}

），将

y

表示为

\theta

的函数； (ii) 设

OP = x

的函数. (2) 请你选用上一小问中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.

\mathrm{km}

），将

y

表示为

x

2008 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

22导数及其应用★★★★☆

已知

a \in \mathbf{R}

，函数

f(x) = x^2 |x - a|

(1) 当

a = 2

时，求

f(x) = x

使成立的

x

的集合； (2) 求函数

y = f(x)

在区间

[1,2]

上的最小值.

2005 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

12函数与初等函数★★★★☆

设函数

f(x) = -\frac{x}{1 + |x|}

x \in \mathbf{R}

），区间

M = [a, b]

a < b

），集合

N = \{y \mid y = f(x), x \in M\}

，则使

M = N

成立的实数对

(a, b)

有（

\quad

）

0

个

1

个

2

个

无数多个

2004 · 江苏 · 第 12 题 · 选择题