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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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116分解析几何★★★★☆
造型可做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 CC 的一部分. 已知 CC 过坐标原点 OO，且 CC 上点满足横坐标大于 −2-2，到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与到定直线 x=ax=a（a<0a<0） 的距离之积为 44，则（ ）
A.
a=−2a=-2
B.
点 (22,0)(2\sqrt2,0) 在 CC 上
C.
在第一象限 CC 的点的纵坐标最大值为 11
D.
若点 (x0,y0)(x_0,y_0) 在 CC 上，则 y0≤4x0+2y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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16导数及其应用★★★★☆
设 a∈(0,1)a\in(0,1)，若函数 f(x)=ax+(1+a)x+1f(x)=a^x+(1+a)^{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，则 aa 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，点 A(−2,0)A(-2,0) 在 CC 上.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 与 yy 轴的交点分别为 MM，NN，证明：线段 MNMN 的中点为定点.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半焦距为 cc，则 c2=a2−b2c^2=a^2-b^2. 由点 A(−2,0)A(-2,0) 在椭圆上，得 b=2b=2. 又由离心率得 c2a2=59\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac59，所以 1−4a2=591-\dfrac{4}{a^2}=\dfrac59，从而 a=3a=3. 因此 CC 的方程为 y29+x24=1\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1. \item 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线若为 x=−2x=-2，则与椭圆只有一个交点，故由题意可设该直线斜率为 kk，其方程为 y=k(x+2)+3y=k(x+2)+3. 设 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)，则 x1x_1，x2x_2 是方程
9x2+4(k(x+2)+3)2=369x^2+4\bigl(k(x+2)+3\bigr)^2=36
的两个根，即
(9+4k2)x2+8k(2k+3)x+4(2k+3)2−36=0(9+4k^2)x^2+8k(2k+3)x+4(2k+3)^2-36=0
由韦达定理， x1+x2=−8k(2k+3)9+4k2x_1+x_2=-\frac{8k(2k+3)}{9+4k^2}，x1x2=16k(k+3)9+4k2x_1x_2=\frac{16k(k+3)}{9+4k^2}. 直线 APAP 与 yy 轴的交点纵坐标为 2y1x1+2\dfrac{2y_1}{x_1+2}，而 y1=k(x1+2)+3y_1=k(x_1+2)+3，所以该纵坐标为 2k+6x1+22k+\dfrac{6}{x_1+2}. 同理，点 NN 的纵坐标为 2k+6x2+22k+\dfrac{6}{x_2+2}. 因而线段 MNMN 的中点横坐标为 00，纵坐标为
2k+3(1x1+2+1x2+2)=2k+3x1+x2+4x1x2+2(x1+x2)+42k+3\left(\frac1{x_1+2}+\frac1{x_2+2}\right)=2k+3\frac{x_1+x_2+4}{x_1x_2+2(x_1+x_2)+4}
由上式中的韦达关系， x1+x2+4=12(3−2k)9+4k2x_1+x_2+4=\frac{12(3-2k)}{9+4k^2}，x1x2+2(x1+x2)+4=369+4k2x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=\frac{36}{9+4k^2}， 故中点纵坐标为 2k+3⋅3−2k3=32k+3\cdot\dfrac{3-2k}{3}=3. 所以线段 MNMN 的中点为定点 (0,3)(0,3). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求不等式组
{f(x)≤y,x+y−6≤0\begin{cases} f(x)\le y,\\ x+y-6\le0 \end{cases}
所确定的平面区域的面积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 x<0x<0 时，f(x)=2−3xf(x)=2-3x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，f(x)=x+2f(x)=x+2；当 x>2x>2 时，f(x)=3x−2f(x)=3x-2. 因此
{2−3x≤6−x,x<0,x+2≤6−x,0≤x≤2,3x−2≤6−x,x>2.\begin{cases} 2-3x\le6-x,&x<0,\\ x+2\le6-x,&0\le x\le2,\\ 3x-2\le6-x,&x>2. \end{cases}
第一种情形得 −2≤x<0-2\le x<0，第二种情形得 0≤x≤20\le x\le2，第三种情形无解，所以不等式的解集为 [−2,2][-2,2]. \item 不等式组表示的区域位于曲线 y=f(x)y=f(x) 上方、直线 y=6−xy=6-x 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为 [−2,2][-2,2]. 当 −2≤x≤0-2\le x\le0 时，上、下边界之差为 (6−x)−(2−3x)=4+2x(6-x)-(2-3x)=4+2x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，上、下边界之差为 (6−x)−(x+2)=4−2x(6-x)-(x+2)=4-2x. 因此区域面积为
∫−20(4+2x) dx+∫02(4−2x) dx=4+4=8\int_{-2}^{0}(4+2x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(4-2x)\,\mathrm{d}x=4+4=8
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，且 f(x)+g(2−x)=5f(x)+g(2-x)=5，g(x)−f(x−4)=7g(x)-f(x-4)=7. 若 y=g(x)y=g(x) 的图像关于直线 x=2x=2 对称，g(2)=4g(2)=4，则 ∑k=122f(k)=\sum_{k=1}^{22}f(k)=（ ）
A.
−21-21
B.
−22-22
C.
−23-23
D.
−24-24

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★★☆
在同一直角坐标系中，函数 y=ax2−x+a2y = ax^{2} - x + \frac{a}{2} 与 y=a2x3−2ax2+x+ay = a^{2}x^{3} - 2ax^{2} + x + a （a∈Ra \in \mathbf{R}） 的图象不可能的是（ ）
A.
B.
C.
D.

2014 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=(a+2cos⁡2x)cos⁡(2x+θ)f(x) = (a + 2\cos^2 x)\cos (2x + \theta) 为奇函数，且 f(π4)=0f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}，θ∈(0,π)\theta \in (0, \pi).
(1) 求 aa，θ\theta 的值； (2) 若 f(α4)=−25f\left(\frac{\alpha}{4}\right) = -\frac{2}{5}，α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，求 sin⁡(α+π3)\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) 的值.

2014 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AA1⊥BCAA_{1} \perp BC，A1B⊥BB1A_{1}B \perp BB_{1}.
(1) 求证：A1C⊥CC1A_{1}C \perp CC_{1}； (2) 若 AB=2AB = 2，AC=3AC = \sqrt{3}，BC=7BC = \sqrt{7}，问 AA1AA_{1} 为何值时，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 体积最大，并求此最大值.

2014 · 江西 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★☆
如图，半径为 1 的半圆 OO 与等边三角形 ABCABC 夹在两平行线 l1l_{1}，l2l_{2} 之间，l∥l1l \parallel l_{1}，ll 与半圆相交于 FF，GG 两点，与三角形 ABCABC 两边相交于 EE，DD 两点. 设弧 FGFG 的长为 xx（0<x<π0 < x < \pi），y=EB+BC+CDy = EB + BC + CD，若 ll 从 l1l_{1} 平行移动到 l2l_{2}，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
如图，已知 l1⊥l2l_{1} \perp l_{2}，圆心在 l1l_{1} 上，半径为 1 m1 \mathrm{~m} 的圆 OO 在 t=0t = 0 时与 l2l_{2} 相切于点 AA，圆 OO 沿 l1l_{1} 以 1 m/s1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 的速度匀速向上移动，圆被直线 l2l_{2} 所截上方圆弧长记为 xx，令 y=cos⁡xy = \cos x，则 yy 与时间 tt（0⩽t⩽10 \leqslant t \leqslant 1，单位：s\mathrm{s}）的函数 y=f(t)y = f(t) 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
如图，已知正四棱锥 S−ABCDS - ABCD 所有棱长都为 1，点 EE 是侧棱 SCSC 上一动点，过点 EE 垂直于 SCSC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分. 记 SE=xSE = x （0<x<10 < x < 1），截面下面部分的体积为 V(x)V(x)，则函数 y=V(x)y = V(x) 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2012 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
如图，一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁逆时针方向滚动，MM 和 NN 是小圆的一条固定直径的两个端点. 那么，当小圆这样滚过大圆内壁一周，点 MM，NN 在大圆内所绘出的图形大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2011 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = \sqrt{ax^2 + bx + c} （a<0a < 0） 的定义域为 DD，若所有点 (s,f(t))(s, f(t)) （ss，t∈Dt \in D） 构成一个正方形区域，则 aa 的值为（ ）
A.
−2-2
B.
−4-4
C.
−8-8
D.
不能确定

2009 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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15不等式★★★★☆
若不等式 9−x2⩽k(x+2)−2\sqrt{9 - x^2} \leqslant k(x + 2) - \sqrt{2} 的解集为区间 [a,b][a, b]，且 b−a=2b - a = 2，则 k=k =______.

2009 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
如图所示，一质点 P(x,y)P(x, y) 在 xOyxOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在 xx 轴上的投影点 Q(x,0)Q(x, 0) 的运动速度 V=V(t)V = V(t) 的图象大致为（ ）
\begin{solution} 把投影点的有向速度记为 V(t)=dxdtV(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}. 质点开始沿斜率不变的直线向右运动，所以 V(t)V(t) 在开始阶段为正常数. 进入第一个封闭曲线后，质点的横坐标先增大、再减小、又增大，因此 V(t)V(t) 依次为正、负、正，并在竖直切线处经过 00. 进入第二个封闭曲线后，横坐标同样经历先增大、再减小、又增大的过程，故 V(t)V(t) 再次出现正、负、正的变化. 选项 A 始终非负，选项 C 开始阶段不是常数，选项 D 的末段变化方向与题图不符，只有选项 B 符合，故选 B. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2009 · 江西 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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15不等式★★★★☆
若不等式 4−x2⩽k(x+1)\sqrt{4-x^{2}} \leqslant k(x+1) 的解集为区间 [a,b][a,b]，且 b−a=1b-a = 1，则 k=‾k =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 根式有意义要求 −2⩽x⩽2-2\leqslant x\leqslant2. 若 k>0k>0，当 x⩽−1x\leqslant-1 时右端不为正而左端非负，只有可能在 x=−2x=-2 时成立，但此时右端为 −k<0-k<0，仍不成立，所以解集包含于 (−1,2](-1,2]. 又 x=2x=2 对任意 k>0k>0 都满足不等式，故解集若为 [a,b][a,b]，必有 b=2b=2. 由 b−a=1b-a=1，得到 a=1a=1. 因为 11 是定义域内部的解集端点，连续函数两边的符号必须在此处改变，故在 x=1x=1 处取等号： 4−1=k(1+1)\sqrt{4-1}=k(1+1)，从而 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2}.
反向验证：当 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2} 时，解集必须满足 x>−1x>-1，且平方等价于 4−x2⩽34(x+1)24-x^{2}\leqslant\frac34(x+1)^{2}，即 7x2+6x−13⩾07x^{2}+6x-13\geqslant0，也就是 (7x+13)(x−1)⩾0(7x+13)(x-1)\geqslant0. 与 (−1,2](-1,2] 取交集，解集恰为 [1,2][1,2]，长度为 11.
若 k=0k=0，不等式只在 x=−2x=-2 或 x=2x=2 时成立，解集不是区间. 若 k<0k<0，成立时必须有 x<−1x<-1，且 −2-2 属于解集而 −1-1 不属于解集；若解集是长度为 11 的闭区间，就只能是 [−2,−1][-2,-1]，矛盾. 因而 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2mx2−2(4−m)x+1f(x) = 2mx^2 - 2(4 - m)x + 1，g(x)=mxg(x) = mx，若对于任一实数 xx，f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的值至少有一个为正数，则实数 mm 的取值范围是（ ）
A.
(0,2)(0, 2)
B.
(0,8)(0, 8)
C.
(2,8)(2, 8)
D.
(−∞,0)(-\infty, 0)

2008 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
设 pp：f(x)=ex+ln⁡x+2x2+mx+1f(x) = \mathrm{e}^{x} + \ln x + 2x^{2} + mx + 1 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内单调递增，qq：m⩾−5m \geqslant -5，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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