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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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116分解析几何★★★★☆
造型可做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 CC 的一部分. 已知 CC 过坐标原点 OO，且 CC 上点满足横坐标大于 −2-2，到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与到定直线 x=ax=a（a<0a<0） 的距离之积为 44，则（ ）
A.
a=−2a=-2
B.
点 (22,0)(2\sqrt2,0) 在 CC 上
C.
在第一象限 CC 的点的纵坐标最大值为 11
D.
若点 (x0,y0)(x_0,y_0) 在 CC 上，则 y0≤4x0+2y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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16导数及其应用★★★★☆
设 a∈(0,1)a\in(0,1)，若函数 f(x)=ax+(1+a)x+1f(x)=a^x+(1+a)^{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，则 aa 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，点 A(−2,0)A(-2,0) 在 CC 上.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 与 yy 轴的交点分别为 MM，NN，证明：线段 MNMN 的中点为定点.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半焦距为 cc，则 c2=a2−b2c^2=a^2-b^2. 由点 A(−2,0)A(-2,0) 在椭圆上，得 b=2b=2. 又由离心率得 c2a2=59\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac59，所以 1−4a2=591-\dfrac{4}{a^2}=\dfrac59，从而 a=3a=3. 因此 CC 的方程为 y29+x24=1\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1. \item 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线若为 x=−2x=-2，则与椭圆只有一个交点，故由题意可设该直线斜率为 kk，其方程为 y=k(x+2)+3y=k(x+2)+3. 设 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)，则 x1x_1，x2x_2 是方程
9x2+4(k(x+2)+3)2=369x^2+4\bigl(k(x+2)+3\bigr)^2=36
的两个根，即
(9+4k2)x2+8k(2k+3)x+4(2k+3)2−36=0(9+4k^2)x^2+8k(2k+3)x+4(2k+3)^2-36=0
由韦达定理， x1+x2=−8k(2k+3)9+4k2x_1+x_2=-\frac{8k(2k+3)}{9+4k^2}，x1x2=16k(k+3)9+4k2x_1x_2=\frac{16k(k+3)}{9+4k^2}. 直线 APAP 与 yy 轴的交点纵坐标为 2y1x1+2\dfrac{2y_1}{x_1+2}，而 y1=k(x1+2)+3y_1=k(x_1+2)+3，所以该纵坐标为 2k+6x1+22k+\dfrac{6}{x_1+2}. 同理，点 NN 的纵坐标为 2k+6x2+22k+\dfrac{6}{x_2+2}. 因而线段 MNMN 的中点横坐标为 00，纵坐标为
2k+3(1x1+2+1x2+2)=2k+3x1+x2+4x1x2+2(x1+x2)+42k+3\left(\frac1{x_1+2}+\frac1{x_2+2}\right)=2k+3\frac{x_1+x_2+4}{x_1x_2+2(x_1+x_2)+4}
由上式中的韦达关系， x1+x2+4=12(3−2k)9+4k2x_1+x_2+4=\frac{12(3-2k)}{9+4k^2}，x1x2+2(x1+x2)+4=369+4k2x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=\frac{36}{9+4k^2}， 故中点纵坐标为 2k+3⋅3−2k3=32k+3\cdot\dfrac{3-2k}{3}=3. 所以线段 MNMN 的中点为定点 (0,3)(0,3). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求不等式组
{f(x)≤y,x+y−6≤0\begin{cases} f(x)\le y,\\ x+y-6\le0 \end{cases}
所确定的平面区域的面积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 x<0x<0 时，f(x)=2−3xf(x)=2-3x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，f(x)=x+2f(x)=x+2；当 x>2x>2 时，f(x)=3x−2f(x)=3x-2. 因此
{2−3x≤6−x,x<0,x+2≤6−x,0≤x≤2,3x−2≤6−x,x>2.\begin{cases} 2-3x\le6-x,&x<0,\\ x+2\le6-x,&0\le x\le2,\\ 3x-2\le6-x,&x>2. \end{cases}
第一种情形得 −2≤x<0-2\le x<0，第二种情形得 0≤x≤20\le x\le2，第三种情形无解，所以不等式的解集为 [−2,2][-2,2]. \item 不等式组表示的区域位于曲线 y=f(x)y=f(x) 上方、直线 y=6−xy=6-x 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为 [−2,2][-2,2]. 当 −2≤x≤0-2\le x\le0 时，上、下边界之差为 (6−x)−(2−3x)=4+2x(6-x)-(2-3x)=4+2x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，上、下边界之差为 (6−x)−(x+2)=4−2x(6-x)-(x+2)=4-2x. 因此区域面积为
∫−20(4+2x) dx+∫02(4−2x) dx=4+4=8\int_{-2}^{0}(4+2x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(4-2x)\,\mathrm{d}x=4+4=8
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，且 f(x)+g(2−x)=5f(x)+g(2-x)=5，g(x)−f(x−4)=7g(x)-f(x-4)=7. 若 y=g(x)y=g(x) 的图像关于直线 x=2x=2 对称，g(2)=4g(2)=4，则 ∑k=122f(k)=\sum_{k=1}^{22}f(k)=（ ）
A.
−21-21
B.
−22-22
C.
−23-23
D.
−24-24

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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