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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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116分解析几何★★★★☆
造型可做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 CC 的一部分. 已知 CC 过坐标原点 OO，且 CC 上点满足横坐标大于 −2-2，到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与到定直线 x=ax=a（a<0a<0） 的距离之积为 44，则（ ）
A.
a=−2a=-2
B.
点 (22,0)(2\sqrt2,0) 在 CC 上
C.
在第一象限 CC 的点的纵坐标最大值为 11
D.
若点 (x0,y0)(x_0,y_0) 在 CC 上，则 y0≤4x0+2y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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09不等式★★★★☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R} 且 ab≠0ab\neq0，若 (x−a)(x−b)(x−2a−b)≥0(x-a)(x-b)(x-2a-b)\ge0 在 x≥0x\ge0 上恒成立，则（ ）
A.
a<0a<0
B.
a>0a>0
C.
b<0b<0
D.
b>0b>0

2020 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，函数
f(x)={x,x<0,13x3−12(a+1)x2+ax,x≥0,f(x)=\begin{cases} x, & x<0,\\ \dfrac13x^3-\dfrac12(a+1)x^2+ax, & x\ge0, \end{cases}
若函数 y=f(x)−ax−by=f(x)-ax-b 恰有三个零点，则（ ）
A.
a<−1a<-1，b<0b<0
B.
a<−1a<-1，b>0b>0
C.
a>−1a>-1，b<0b<0
D.
a>−1a>-1，b>0b>0

2019 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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16不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=ax3−xf(x)=ax^3-x，若存在 t∈Rt\in\mathbf{R}，使得 ∣f(t+2)−f(t)∣≤23\left|f(t+2)-f(t)\right|\le\dfrac23，则实数 aa 的最大值是______.

2019 · 浙江 · 第 16 题 · 填空题

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17解析几何★★★★☆
已知点 P(0,1)P(0,1)，椭圆 x24+y2=m\dfrac{x^2}{4}+y^2=m（m>1m>1）上两点 AA，BB 满足 AP→=2PB→\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}，则当 m=m=______ 时，点 BB 横坐标的绝对值最大.

2018 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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17函数与初等函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=∣x+4x−a∣+af(x)=\left|x+\dfrac{4}{x}-a\right|+a 在区间 [1,4][1,4] 上的最大值是 5，则 aa 的取值范围是______.

2017 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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08不等式★★★★☆
已知实数 aa，bb，cc，则（ ）
A.
∣a2+b+c∣+∣a+b2+c∣≤1\bigl|a^2+b+c\bigr|+\bigl|a+b^2+c\bigr|\le 1 时，a2+b2+c2<100a^2+b^2+c^2<100
B.
∣a2+b+c∣+∣a2+b−c∣≤1\bigl|a^2+b+c\bigr|+\bigl|a^2+b-c\bigr|\le 1 时，a2+b2+c2<100a^2+b^2+c^2<100
C.
∣a+b+c2∣+∣a+b−c2∣≤1\bigl|a+b+c^2\bigr|+\bigl|a+b-c^2\bigr|\le 1 时，a2+b2+c2<100a^2+b^2+c^2<100
D.
∣a2+b+c∣+∣a+b2−c∣≤1\bigl|a^2+b+c\bigr|+\bigl|a+b^2-c\bigr|\le 1 时，a2+b2+c2<100a^2+b^2+c^2<100

2016 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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18不等式★★★★☆
已知 a≥3a\ge 3，函数 F(x)=min⁡{2∣x−1∣,x2−2ax+4a−2}F(x)=\min\{2|x-1|,x^2-2ax+4a-2\}，其中
min⁡(p,q)={p,p≤q,q,p>q.\min(p,q)=\begin{cases} p, & p\le q,\\ q, & p>q. \end{cases}
(1) 求使得等式 F(x)=x2−2ax+4a−2F(x)=x^2-2ax+4a-2 成立的 xx 的取值范围； (2) (i) 求 F(x)F(x) 的最小值 m(a)m(a)； (ii) 求 F(x)F(x) 在 [0,6][0,6] 上的最大值 M(a)M(a).

2016 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3+1x+1f(x)=x^3+\dfrac{1}{x+1}，x∈[0,1]x\in[0,1]，证明：
(1) f(x)≥1−x+x2f(x)\ge1-x+x^2； (2) 34<f(x)≤32\dfrac34<f(x)\le\dfrac32.

2016 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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14不等式★★★★☆
已知实数 xx，yy 满足 x2+y2⩽1x^2+y^2\leqslant1，则 ∣2x+y−4∣+∣6−x−3y∣|2x+y-4|+|6-x-3y| 的最大值是______.

2015 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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20函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=x2+ax+bf(x)=x^2+ax+b（aa，b∈Rb\in\mathbf{R}）.
(1) 当 b=a24+1b=\frac{a^2}{4}+1 时，求函数 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上的最小值 g(a)g(a) 的表达式； (2) 已知函数 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上存在零点，0⩽b−2a⩽10\leqslant b-2a\leqslant 1. 求 bb 的取值范围.

2015 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★☆
设函数 f1(x)=x2f_{1}(x) = x^{2}，f2(x)=2(x−x2)f_{2}(x) = 2(x - x^{2})，f3(x)=13∣sin⁡2πx∣f_{3}(x) = \frac{1}{3} |\sin 2\pi x|，ai=i99a_{i} = \frac{i}{99}，i=0i = 0，11，22，⋯\cdots，9999. 记 Ik=∣fk(a1)−fk(a0)∣+∣fk(a2)−fk(a1)∣+⋯+∣fk(a99)−fk(a98)∣I_{k} = |f_{k}(a_{1}) - f_{k}(a_{0})| + |f_{k}(a_{2}) - f_{k}(a_{1})| + \cdots + |f_{k}(a_{99}) - f_{k}(a_{98})|，k=1k = 1，22，33，则（ ）
A.
I1<I2<I3I_{1} < I_{2} < I_{3}
B.
I2<I1<I3I_{2} < I_{1} < I_{3}
C.
I1<I3<I2I_{1} < I_{3} < I_{2}
D.
I3<I2<I1I_{3} < I_{2} < I_{1}

2014 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+3∣x−a∣f(x) = x^3 + 3|x - a| （a>0a > 0），若 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1, 1] 上的最小值记为 g(a)g(a).
(1) 求 g(a)g(a)； (2) 证明：当 x∈[−1,1]x \in [-1, 1] 时，恒有 f(x)⩽g(a)+4f(x) \leqslant g(a) + 4.

2014 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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09函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a > 0，b>0b > 0.（ ）
A.
若 2a+2a=2b+3b2^{a} + 2a = 2^{b} + 3b，则 a>ba > b
B.
若 2a+2a=2b+3b2^{a} + 2a = 2^{b} + 3b，则 a<ba < b
C.
若 2a−2a=2b−3b2^{a} - 2a = 2^{b} - 3b，则 a>ba > b
D.
若 2a−2a=2b−3b2^{a} - 2a = 2^{b} - 3b，则 a<ba < b

2012 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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16解析几何★★★★☆
定义：曲线 CC 上的点到直线 ll 的距离的最小值为曲线 CC 到直线 ll 的距离. 已知曲线 C1:y=x2+aC_{1}: y = x^{2} + a 到直线 l:y=xl: y = x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2C_{2}: x^{2} + (y + 4)^{2} = 2 到直线 l:y=xl: y = x 的距离，则实数 a=a =______.

2012 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17不等式★★★★☆
设 a∈Ra \in \mathbf{R}，若 x>0x > 0 时均有 [(a−1)x−1](x2−ax−1)⩾0[(a - 1)x - 1](x^2 - ax - 1) \geqslant 0，则 a=a =______.

2012 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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17解析几何★★★★☆
定义：曲线 CC 上的点到直线 ll 的距离的最小值称为曲线 CC 到直线 ll 的距离. 已知曲线 C1C_1：y=x2+ay = x^{2} + a 到直线 ll：y=xy = x 的距离等于曲线 C2C_2：x2+(y+4)2=2x^{2} + (y + 4)^{2} = 2 到直线 ll：y=xy = x 的距离，则实数 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★★★☆
设 aa，bb，cc 为实数，f(x)=(x+a)(x2+bx+c)f(x) = (x + a)(x^2 + bx + c)，g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)g(x) = (ax + 1)(cx^2 + bx + 1). 记集合 S={x∣f(x)=0,x∈R}S = \{x \mid f(x) = 0, x \in \mathbf{R}\}，T={x∣g(x)=0,x∈R}T = \{x \mid g(x) = 0, x \in \mathbf{R}\}，若 ∣S∣|S|，∣T∣|T| 分别为集合 SS，TT 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A.
∣S∣=1|S| = 1 且 ∣T∣=0|T| = 0
B.
∣S∣=1|S| = 1 且 ∣T∣=1|T| = 1
C.
∣S∣=2|S| = 2 且 ∣T∣=2|T| = 2
D.
∣S∣=2|S| = 2 且 ∣T∣=3|T| = 3

2011 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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21解析几何★★★★☆
已知抛物线 C1:x2=yC_1: x^2 = y，圆 C2:x2+(y−4)2=1C_2: x^2 + (y - 4)^2 = 1 的圆心为点 MM.
(1) 求点 MM 到抛物线 C1C_{1} 的准线的距离； (2) 已知点 PP 是抛物线 C1C_{1} 上一点 （异于原点），过点 PP 作圆 C2C_{2} 的两条切线，交抛物线 C1C_{1} 于 AA，BB 两点，若过 MM，PP 两点的直线 ll 垂直于 ABAB，求直线 ll 的方程.

2011 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c，（aa，bb，c∈Rc\in\mathbf{R}）. 若 x=−1x = -1 为函数 y=f(x)exy = f(x)\mathrm{e}^x 的一个极值点，则下列图象不可能为 y=f(x)y = f(x) 图象的是（ ）
A.
B.
C.
D.

2011 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=4sin⁡(2x+1)−xf(x) = 4\sin (2x + 1) - x，则在下列区间中函数 f(x)f(x) 不存在零点的是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 先说明在 [−4,−2][-4,-2] 上没有零点. 令 x0=−2π−12x_0=\frac{-2\pi-1}{2}. 当 −4⩽x⩽x0-4\leqslant x\leqslant x_0 时，令 u=2x+1+2πu=2x+1+2\pi，则 −1<u⩽0-1<u\leqslant0，并且 sin⁡(2x+1)=sin⁡u⩾u\sin(2x+1)=\sin u\geqslant u. 于是
f(x)⩾4u−x=7x+8π+4⩾8π−24>0f(x)\geqslant4u-x=7x+8\pi+4\geqslant8\pi-24>0
当 x0⩽x⩽−π−12x_0\leqslant x\leqslant\frac{-\pi-1}{2} 时，−2π⩽2x+1⩽−π-2\pi\leqslant2x+1\leqslant-\pi，故 sin⁡(2x+1)⩾0\sin(2x+1)\geqslant0，从而 f(x)>0f(x)>0.
剩下的区间 −π−12⩽x⩽−2\frac{-\pi-1}{2}\leqslant x\leqslant-2 很短. 令 v=2x+1+πv=2x+1+\pi，则 0⩽v⩽π−3<170\leqslant v\leqslant\pi-3<\frac17，且 sin⁡(2x+1)=−sin⁡v\sin(2x+1)=-\sin v. 因此
f(x)=−4sin⁡v−x⩾−4v+π+1−v2>0f(x)=-4\sin v-x\geqslant-4v+\frac{\pi+1-v}{2}>0
其中用了 3<π<2273<\pi<\frac{22}{7}. 所以 f(x)>0f(x)>0 在 [−4,−2][-4,-2] 上恒成立.
函数连续. 由 0<π−3<170<\pi-3<\frac17 及 sin⁡t<t\sin t<t（t>0t>0），
f(−2)=2−4sin⁡3=2−4sin⁡(π−3)>2−47>0f(-2)=2-4\sin3=2-4\sin(\pi-3)>2-\frac47>0
又因 π6<1<π2\frac{\pi}{6}<1<\frac{\pi}{2}，有 sin⁡1>12\sin1>\frac12，从而 f(−1)=1−4sin⁡1<−1<0f(-1)=1-4\sin1<-1<0，f(0)=4sin⁡1>0f(0)=4\sin1>0. 因此在 [−2,0][-2,0] 和 [0,2][0,2] 内分别存在零点.
再由 3π2<5<2π\frac{3\pi}{2}<5<2\pi，得 sin⁡5<0\sin5<0，所以
f(2)=4sin⁡5−2<0f(2)=4\sin5-2<0
令 δ=8−5π2\delta=8-\frac{5\pi}{2}. 由 3110<π<165\frac{31}{10}<\pi<\frac{16}{5} 得 0<δ<140<\delta<\frac14，于是 sin⁡8=cos⁡δ>1−δ22>3132\sin8=\cos\delta>1-\frac{\delta^2}{2}>\frac{31}{32}，f(72)=4sin⁡8−72>38>0f\left(\frac72\right)=4\sin8-\frac72>\frac38>0. 最后令 ε=9−5π2\varepsilon=9-\frac{5\pi}{2}. 由 3<π<1853<\pi<\frac{18}{5} 得 0<ε<π20<\varepsilon<\frac{\pi}{2}，故 sin⁡9=cos⁡ε<1\sin9=\cos\varepsilon<1，从而
f(4)=4sin⁡9−4<0f(4)=4\sin9-4<0
所以在 [2,4][2,4] 内也存在零点. 故不含零点的区间是 [−4,−2][-4,-2]，选 A. \end{solution}
A.
[−4,−2][-4, -2]
B.
[−2,0][-2,0]
C.
[0,2][0,2]
D.
[2,4][2,4]

2010 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★★☆
已知 x0x_0 是函数 f(x)=2x+11−xf(x) = 2^x + \frac{1}{1 - x} 的一个零点. 若 x1∈(1,x0)x_1 \in (1, x_0)，x2∈(x0,+∞)x_2 \in (x_0, +\infty)，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 因为 2x>02^x>0，当 x<1x<1 时又有 11−x>0\frac{1}{1-x}>0，所以零点只能满足 x0>1x_0>1. 对 x>1x>1，有
f(x)=2x−1x−1=2x(x−1)−1x−1f(x)=2^x-\frac{1}{x-1} =\frac{2^x(x-1)-1}{x-1}
令 g(x)=2x(x−1)g(x)=2^x(x-1). 则 g′(x)=2x((x−1)ln⁡2+1)>0g'(x)=2^x\bigl((x-1)\ln2+1\bigr)>0，（x>1x>1）， 所以 gg 在 (1,+∞)(1,+\infty) 上严格递增. 由 f(x0)=0f(x_0)=0 得 g(x0)=1g(x_0)=1. 因此，当 1<x1<x01<x_1<x_0 时 g(x1)<1g(x_1)<1，从而 f(x1)<0f(x_1)<0；当 x2>x0x_2>x_0 时 g(x2)>1g(x_2)>1，从而 f(x2)>0f(x_2)>0. 故选 B. \end{solution}
A.
f(x1)<0,f(x2)<0f(x_{1}) < 0, f(x_{2}) < 0
B.
f(x1)<0f(x_{1}) < 0，f(x2)>0f(x_{2}) > 0
C.
f(x1)>0f(x_{1}) > 0，f(x2)<0f(x_{2}) < 0
D.
f(x1)>0f(x_{1}) > 0，f(x2)>0f(x_{2}) > 0

2010 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−a)2(x−b)f(x) = (x - a)^2(x - b) （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，a<ba < b）.
(1) 当 a=1a = 1，b=2b = 2 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处的切线方程； (2) 设 x1x_1，x2x_2 是 f(x)f(x) 的两个极值点，x3x_3 是 f(x)f(x) 的一个零点，且 x3≠x1x_3 \neq x_1，x3≠x2x_3 \neq x_2. 证明：存在实数 x4x_4，使得 x1x_1，x2x_2，x3x_3，x4x_4 按某种顺序排列后成等差数列，并求 x4x_4.

2010 · 浙江 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
已知 mm 是非零实数，抛物线 C:y2=2pxC: y^{2} = 2px （p>0p > 0） 的焦点 FF 在直线 l:x−my−m22=0l: x - my - \frac{m^{2}}{2} = 0 上.
(1) 若 m=2m = 2，求抛物线 CC 的方程； (2) 设直线 ll 与抛物线 CC 交于 AA，BB 两点，过 AA，BB 分别作抛物线 CC 的准线的垂线，垂足为 A1A_{1}，B1B_{1}，△AA1F\triangle AA_{1}F，△BB1F\triangle BB_{1}F 的重心分别为 GG，HH. 求证：对任意非零实数 mm，抛物线 CC 的准线与 xx 轴的交点在以线段 GHGH 为直径的圆外.

2010 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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