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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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116分解析几何★★★★☆
造型可做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 CC 的一部分. 已知 CC 过坐标原点 OO，且 CC 上点满足横坐标大于 −2-2，到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与到定直线 x=ax=a（a<0a<0） 的距离之积为 44，则（ ）
A.
a=−2a=-2
B.
点 (22,0)(2\sqrt2,0) 在 CC 上
C.
在第一象限 CC 的点的纵坐标最大值为 11
D.
若点 (x0,y0)(x_0,y_0) 在 CC 上，则 y0≤4x0+2y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
已知 OO 为坐标原点，点 A(1,1)A(1,1) 在抛物线 C: x2=2pyC:\ x^2=2py（p>0p>0） 上，过点 B(0,−1)B(0,-1) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，则（ ）
A.
CC 的准线为 y=−1y=-1
B.
直线 ABAB 与 CC 相切
C.
∣OP∣⋅∣OQ∣>∣OA∣2|OP|\cdot |OQ|>|OA|^2
D.
∣BP∣⋅∣BQ∣>∣BA∣2|BP|\cdot |BQ|>|BA|^2

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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126分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 及其导函数 f′(x)f'(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，记 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x). 若 f(32−2x)f\left(\frac32-2x\right)，g(2+x)g(2+x) 均为偶函数，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
g(−12)=0g\left(-\frac12\right)=0
C.
f(−1)=f(4)f(-1)=f(4)
D.
g(−1)=g(2)g(-1)=g(2)

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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12三角函数★★★★☆
函数 f(x)=4cos⁡2x2cos⁡(π2−x)−2sin⁡x−∣ln⁡(x+1)∣f(x)=4\cos^2\dfrac{x}{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-2\sin x-|\ln(x+1)| 的零点个数为______.

2015 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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17函数与初等函数★★★★☆
aa 为实数，函数 f(x)=∣x2−ax∣f(x)=|x^2-ax| 在区间 [0,1][0,1] 上的最大值记为 g(a)g(a). 当 a=a=______ 时，g(a)g(a) 的值最小.

2015 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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21函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，且 f(x)f(x) 是奇函数，g(x)g(x) 是偶函数，f(x)+g(x)=exf(x)+g(x)=\mathrm{e}^x，其中 e\mathrm{e} 为自然对数的底数.
(1) 求 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的解析式，并证明：当 x>0x>0 时，f(x)>0f(x)>0，g(x)>1g(x)>1； (2) 设 a⩽0a\leqslant 0，b⩾1b\geqslant 1，证明：当 x>0x>0 时，ag(x)+(1−a)<f(x)x<bg(x)+(1−b)ag(x)+(1-a)<\dfrac{f(x)}{x}<bg(x)+(1-b).

2015 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 MM 到点 F(1,0)F(1,0) 的距离比它到 yy 轴的距离多 1，记点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求轨迹为 CC 的方程； (2) 设斜率为 kk 的直线 ll 过定点 P(−2,1)P(-2,1)，求直线 ll 与轨迹 CC 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 kk 的相应取值范围.

2014 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 MM 到点 F(1,0)F(1,0) 的距离比它到 yy 轴的距离多 1，记点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求轨迹为 CC 的方程； (2) 设斜率为 kk 的直线 ll 过定点 P(−2,1)P(-2,1)，求直线 ll 与轨迹 CC 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 kk 的相应取值范围.

2014 · 湖北 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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02集合与逻辑基础★★★★☆
设集合 A={(x,y)∣x24+y216=1}A = \left\{(x, y) \mid \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1\right\}，B={(x,y)∣y=3x}B = \{(x, y) \mid y = 3^x\}，则 A∩BA \cap B 的子集的个数是（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

2010 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=13x3−a2x2+bx+cf(x) = \frac{1}{3} x^3 - \frac{a}{2} x^2 + bx + c，其中 a>0a > 0，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(0,f(0))P(0, f(0)) 处的切线方程为 y=1y = 1.
(1) 确定 bb，cc 的值； (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (x1,f(x1))(x_1, f(x_1)) 及 (x2,f(x2))(x_2, f(x_2)) 处的切线都过点 (0,2)(0,2). 证明：当 x1≠x2x_1 \neq x_2 时，f′(x1)≠f′(x2)f'(x_1) \neq f'(x_2). (3) 若过点 (0,2)(0,2) 可作曲线 y=f(x)y = f(x) 的三条不同切线，求 aa 的取值范围.

2010 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
过抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）的对称轴上一点 A(a,0)A(a,0)（a>0a > 0）的直线与抛物线相交于 MM，NN 两点，自 MM，NN 向直线 ll：x=−ax = -a 作垂线，垂足分别为 M1M_{1}，N1N_{1}.
(1) 当 a=p2a = \frac{p}{2} 时，求证： AM1⊥AN1AM_{1} \perp AN_{1}； (2) 记 △AMM1\triangle AMM_{1}，△AM1N1\triangle AM_{1}N_{1}，△ANN1\triangle ANN_{1} 的面积分别为 S1S_{1}，S2S_{2}，S3S_{3}，是否存在 λ\lambda，使得对任意的 a>0a > 0，都有 S22=λS1S3S_{2}^{2} = \lambda S_{1}S_{3} 成立. 若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，说明理由.

2009 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★☆
设二次函数 f(x)=x2+ax+af(x) = x^{2} + ax + a，方程 f(x)−x=0f(x) - x = 0 的两根 x1x_{1} 和 x2x_{2} 满足 0<x1<x2<10 < x_{1} < x_{2} < 1.
(1) 求实数 aa 的取值范围. (2) 试比较 f(0)f(1)−f(0)f(0)f(1) - f(0) 与 116\frac{1}{16} 的大小，并说明理由.

2007 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，过定点 C(0,p)C(0, p) 作直线与抛物线 x2=2pyx^{2} = 2py（p>0p > 0）相交于 AA，BB 两点.
(1) 若点 NN 是点 CC 关于坐标原点 OO 的对称点，求 △ANB\triangle ANB 面积的最小值. (2) 是否存在垂直于 yy 轴的直线 ll，使得 ll 被以 ACAC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 ll 的方程；若不存在，说明理由.

2007 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★☆
关于 xx 的方程 (x2−1)2−∣x2−1∣+k=0(x^{2} - 1)^{2} - |x^{2} - 1| + k = 0，给出下列四个命题：
① 存在实数 kk，使得方程恰有 22 个不同的实根； ② 存在实数 kk，使得方程恰有 44 个不同的实根； ③ 存在实数 kk，使得方程恰有 55 个不同的实根； ④ 存在实数 kk，使得方程恰有 88 个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2006 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
关于 xx 的方程 (x2−1)2−∣x2−1∣+k=0(x^{2} - 1)^{2} - |x^{2} - 1| + k = 0，给出下列四个命题：
① 存在实数 kk，使得方程恰有 22 个不同的实根； ② 存在实数 kk，使得方程恰有 44 个不同的实根； ③ 存在实数 kk，使得方程恰有 55 个不同的实根； ④ 存在实数 kk，使得方程恰有 88 个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2006 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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20解析几何★★★★☆
直线 l:y=kx+1l: y = kx + 1 与双曲线 C:2x2−y2=1C: 2x^{2} - y^{2} = 1 的右支交于不同的两点 AA，BB.
(1) 求实数 kk 的取值范围； (2) 是否存在实数 kk，使得以线段 ABAB 为直径的圆经过双曲线 CC 的右焦点 FF？若存在，求出 kk 的值. 若不存在，说明理由.

2004 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
直线 l:y=kx+1l: y=kx+1 与双曲线 C:2x2−y2=1C: 2x^2-y^2=1 的右支交于不同的两点 AA，BB.
(1) 求实数 kk 的取值范围； (2) 是否存在实数 kk，使得以线段 ABAB 为直径的圆经过双曲线 CC 的右焦点 FF？ 若存在，求出 kk 的值. 若不存在，说明理由.

2004 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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