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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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116分解析几何★★★★☆
造型可做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 CC 的一部分. 已知 CC 过坐标原点 OO，且 CC 上点满足横坐标大于 −2-2，到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与到定直线 x=ax=a（a<0a<0） 的距离之积为 44，则（ ）
A.
a=−2a=-2
B.
点 (22,0)(2\sqrt2,0) 在 CC 上
C.
在第一象限 CC 的点的纵坐标最大值为 11
D.
若点 (x0,y0)(x_0,y_0) 在 CC 上，则 y0≤4x0+2y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
已知 OO 为坐标原点，点 A(1,1)A(1,1) 在抛物线 C: x2=2pyC:\ x^2=2py（p>0p>0） 上，过点 B(0,−1)B(0,-1) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，则（ ）
A.
CC 的准线为 y=−1y=-1
B.
直线 ABAB 与 CC 相切
C.
∣OP∣⋅∣OQ∣>∣OA∣2|OP|\cdot |OQ|>|OA|^2
D.
∣BP∣⋅∣BQ∣>∣BA∣2|BP|\cdot |BQ|>|BA|^2

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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126分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 及其导函数 f′(x)f'(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，记 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x). 若 f(32−2x)f\left(\frac32-2x\right)，g(2+x)g(2+x) 均为偶函数，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
g(−12)=0g\left(-\frac12\right)=0
C.
f(−1)=f(4)f(-1)=f(4)
D.
g(−1)=g(2)g(-1)=g(2)

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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16函数与初等函数★★★★☆
若 aa，bb 是函数 f(x)=x2−px+qf(x) = x^2 - px + q （p>0p > 0，q>0q > 0）的两个不同的零点，且 aa，bb，−2-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+qp + q 的值等于______.

2015 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，两点 P1(x1,y1)P_{1}(x_{1}, y_{1})，P2(x2,y2)P_{2}(x_{2}, y_{2}) 间的 “L\mathrm{L}-距离” 定义为 ∥P1P2∥=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣\|P_1P_2\| = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|，则平面内与 xx 轴上两个不同的定点 F1F_{1}，F2F_{2} 的 “L\mathrm{L}-距离” 之和等于定值（大于 ∥F1F2∥\|F_1F_2\|）的点的轨迹可以是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 在 xx 轴上取两定点的中点为原点，设 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)、F2=(c,0)F_2=(c,0)，其中 c>0c>0. 设动点为 P=(x,y)P=(x,y)，两点的“L\mathrm{L}-距离”之和为 SS，则 S=∣x+c∣+∣y∣+∣x−c∣+∣y∣=∣x+c∣+∣x−c∣+2∣y∣S=|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=|x+c|+|x-c|+2|y|. 题设给出 S>2cS>2c. 当 ∣x∣⩽c|x|\leqslant c 时，S=2c+2∣y∣S=2c+2|y|，所以 ∣y∣=S−2c2|y|=\frac{S-2c}{2}，得到上下两条水平线段；当 ∣x∣⩾c|x|\geqslant c 时，S=2∣x∣+2∣y∣S=2|x|+2|y|，所以 ∣x∣+∣y∣=S2|x|+|y|=\frac{S}{2}，得到连接这些线段端点与左右端点的四条斜线段. 因此轨迹是左右尖、上下平的中心对称六边形，与图 A 相符. 因此选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
设 SS，TT 是 R\mathbf{R} 的两个非空子集. 如果存在一个从 SS 到 TT 的函数 y=f(x)y = f(x) 满足：
① T={f(x)∣x∈S}T = \{f(x)\mid x\in S\}； ② 对任意 x1x_{1}，x2∈Sx_{2} \in S，当 x1<x2x_{1} < x_{2} 时，恒有 f(x1)<f(x2)f(x_{1}) < f(x_{2})，
那么称这两个集合“保序同构”. 现给出以下 3 对集合：
① A=NA = \mathbf{N}，B=N∗;B = \mathbf{N}^{*}; ② A={x∣−1⩽x⩽3}A = \{x\mid -1\leqslant x\leqslant 3\}，B={x∣−8⩽x⩽10}B = \{x\mid -8\leqslant x\leqslant 10\}； ③ A={x∣0<x<1}A = \{x \mid 0 < x < 1\}，B=RB = \mathbf{R}.
其中，“保序同构”的集合对的序号是______. （写出所有“保序同构”的集合对的序号）
\begin{answer} \circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3} \end{answer}
\begin{solution} 对第\circled1\circled{1}对集合，按 N={0,1,2,…}\mathbf{N}=\{0,1,2,\ldots\}、N∗={1,2,3,…}\mathbf{N}^{*}=\{1,2,3,\ldots\} 取 f(x)=x+1f(x)=x+1. 该函数严格递增，且值域为 N∗\mathbf{N}^{*}，所以第\circled1\circled{1}对保序同构.
对第\circled2\circled{2}对集合，取
f(x)=92(x+1)−8=92x−72f(x)=\frac92(x+1)-8=\frac92x-\frac72
它把 [−1,3][-1,3] 的两个端点分别映为 −8,10-8,10，并且斜率为正，所以严格递增且值域为 [−8,10][-8,10]，第\circled2\circled{2}对保序同构.
对第\circled3\circled{3}对集合，取 f(x)=tan⁡(πx−π2)f(x)=\tan\left(\pi x-\frac\pi2\right)，0<x<10<x<1. 该函数在 (0,1)(0,1) 上严格递增，且当 x→0+x\to0^+ 时 f(x)→−∞f(x)\to-\infty，当 x→1−x\to1^- 时 f(x)→+∞f(x)\to+\infty，值域为 R\mathbf{R}，所以第\circled3\circled{3}对也保序同构. 因此应填 \circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}. \end{solution}

2013 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−1+aexf(x) = x - 1 + \frac{a}{\mathrm{e}^{x}}（a∈Ra \in \mathbf{R}，e\mathrm{e} 为自然对数的底数）.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线平行于 xx 轴，求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值； (3) 当 a=1a = 1 时，若直线 l:y=kx−1l: y = kx - 1 与曲线 y=f(x)y = f(x) 没有公共点，求 kk 的最大值.

2013 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上有定义，若对任意 x1x_{1}，x2∈[a,b]x_{2} \in [a,b]，有 f(x1+x22)⩽12[f(x1)+f(x2)]f\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[f(x_{1}) + f(x_{2})]，则称 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上具有性质 PP. 设 f(x)f(x) 在 [1,3][1,3] 上具有性质 PP，现给出如下命题：
① f(x)f(x) 在 [1,3][1,3] 上的图象是连续不断的； ② f(x2)f(x^{2}) 在 [1,3][1,\sqrt{3}] 上具有性质 PP； ③ 若 f(x)f(x) 在 x=2x = 2 处取得最大值 11，则 f(x)=1f(x) = 1，x∈[1,3]x \in [1,3]； ④ 对任意 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，x4∈[1,3]x_{4} \in [1,3]，有 f(x1+x2+x3+x44)⩽14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]f\left(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}\right) \leqslant \frac{1}{4}[f(x_{1}) + f(x_{2}) + f(x_{3}) + f(x_{4})].
其中真命题的序号是（ ）
A.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}
B.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
C.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
D.
\circled3\circled4\circled{3}\circled{4}

2012 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
对于实数 aa 和 bb，定义运算“∗\ast”：
a∗b={a2−ab,a⩽b,b2−ab,a>b.a \ast b = \begin{cases} a^{2} - ab, & a \leqslant b,\\ b^{2} - ab, & a > b. \end{cases}
设 f(x)=(2x−1)∗(x−1)f(x) = (2x - 1) \ast (x - 1)，且关于 xx 的方程 f(x)=mf(x) = m （m∈Rm \in \mathbf{R}）恰有三个互不相等的实数根 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，则 x1x2x3x_{1}x_{2}x_{3} 的取值范围是______.

2012 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)=x3−6x2+9x−abcf(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-abc，a<b<ca<b<c，且 f(a)=f(b)=f(c)=0f(a)=f(b)=f(c)=0. 现给出如下结论：
① f(0)f(1)>0f(0)f(1)>0； ② f(0)f(1)<0f(0)f(1)<0； ③ f(0)f(3)>0f(0)f(3)>0； ④ f(0)f(3)<0f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2012 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=axsin⁡x−32f(x) = ax \sin x - \frac{3}{2}，a∈Ra \in \mathbf{R}，且在 [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] 上的最大值为 π−32\frac{\pi - 3}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 判断函数 f(x)f(x) 在 (0,π)(0, \pi) 内的零点个数，并加以证明.

2012 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=ex+xf(x)=\mathrm{e}^{x}+x. 对于曲线 y=f(x)y=f(x) 上横坐标成等差数列的三个点 AA，BB，CC，给出以下判断：
① △ABC\triangle ABC 一定是钝角三角形； ② △ABC\triangle ABC 可能是直角三角形； ③ △ABC\triangle ABC 可能是等腰三角形； ④ △ABC\triangle ABC 不可能是等腰三角形.
其中，正确的判断是（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2011 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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22导数及其应用★★★★☆
已知 aa，bb 为常数，且 a≠0a \neq 0. 函数 f(x)=−ax+b+axln⁡xf(x) = -ax + b + ax \ln x，f(e)=2f(\mathrm{e}) = 2（e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828 \cdots 是自然对数的底数）.
(1) 求实数 bb 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 当 a=1a = 1 时，是否同时存在实数 mm 和 MM（m<Mm < M），使得对每一个 t∈[m,M]t \in [m, M]，直线 y=ty = t 与曲线 y=f(x)y = f(x)（x∈[1e,e]x \in \left[ \frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e} \right]）都有公共点？若存在，求出最小的实数 mm 和最大的实数 MM；若不存在，说明理由.

2011 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★☆
对于具有相同定义域 DD 的函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x)，若存在函数 h(x)=kx+bh(x) = kx + b （kk，bb 为常数），对任给的正数 mm，存在相应的 x0∈Dx_0 \in D，使得当 x∈Dx \in D 且 x>x0x > x_0 时，总有
{0<f(x)−h(x)<m,0<h(x)−g(x)<m,\begin{cases} 0 < f(x) - h(x) < m,\\ 0 < h(x) - g(x) < m, \end{cases}
则称直线 l:y=kx+bl: y = kx + b 为曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 的“分渐近线”. 给出定义域均为 D={x∣x>1}D = \{x \mid x > 1\} 的四组函数如下：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}，g(x)=xg(x) = \sqrt{x}； ② f(x)=10−x+2f(x) = 10^{-x} + 2，g(x)=2x−3xg(x) = \frac{2x - 3}{x}； ③ f(x)=x2+1x2f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}，g(x)=xln⁡x+1ln⁡xg(x) = \frac{x\ln x + 1}{\ln x}； ④ f(x)=2x2x+1f(x) = \frac{2x^2}{x + 1}，g(x)=2(x−1−e−x)g(x) = 2(x - 1 - \mathrm{e}^{-x}).
其中，曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 存在“分渐近线”的是（ ）
A.
①④
B.
②③
C.
②④
D.
③④

2010 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知定义域为 (0,+∞)(0, +\infty) 的函数 f(x)f(x) 满足：
(1) 对任意 x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)，恒有 f(2x)=2f(x)f(2x) = 2f(x) 成立； (2) 当 x∈(1,2]x \in (1, 2] 时，f(x)=2−xf(x) = 2 - x.
给出结论如下：
① 对任意 m∈Zm \in \mathbf{Z}，有 f(2m)=0f(2^{m}) = 0； ② 函数 f(x)f(x) 的值域为 [0,+∞)[0, +\infty)； ③ 存在 n∈Zn \in \mathbf{Z}，使得 f(2n+1)=9f(2^{n+1}) = 9； ④ “函数 f(x)f(x) 在区间 (a,b)(a, b) 上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Zk \in \mathbf{Z}，使得 (a,b)⊆(2k,2k+1)(a, b) \subseteq (2^{k}, 2^{k+1})”.
其中所有正确结论的序号是______.

2010 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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19三角函数★★★★☆
某港口 OO 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 OO 北偏西 30∘30^{\circ} 且与该港口相距 20 海里20\text{ 海里} 的 AA 处，并以 30 海里/小时30\text{ 海里/小时} 的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度匀速行驶，经过 t 小时t\text{ 小时} 与轮船相遇.
(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时30\text{ 海里/小时}，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

2010 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
某港口 OO 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口 OO 北偏西 30∘30^{\circ} 且与该港口相距 20 海里20\text{ 海里} 的 AA 处，并以 30 海里/小时30\text{ 海里/小时} 的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度匀速行驶，经过 tt 小时与轮船相遇.
(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 为保证小艇在 30 分钟30\text{ 分钟} 内（含 30 分钟30\text{ 分钟}）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (3) 是否存在 vv，使得小艇以 v 海里/小时v\text{ 海里/小时} 的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 vv 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2010 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c（a≠0a \neq 0）的图象关于直线 x=−b2ax = -\frac{b}{2a} 对称. 据此可推测，对任意的非零实数 aa，bb，cc，mm，nn，pp，关于 xx 的方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0m[f(x)]^2 + nf(x) + p = 0 的解集都不可能是（ ）
\begin{solution} 二次函数图象关于直线x=−b2ax=-\frac{b}{2a}对称，所以对任意使f(x)f(x)有定义的xx，关于该直线对称的点 x′=−ba−xx'=-\frac{b}{a}-x满足f(x′)=f(x)f(x')=f(x).因此方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0m[f(x)]^2+nf(x)+p=0的解集必须关于同一条竖直直线对称：方程先确定至多两个f(x)f(x)的取值，而每个取值的原像关于抛物线的对称轴成对出现.
集合{1,2}\{1,2\}、{1,4}\{1,4\}分别关于x=32x=\frac{3}{2}、x=52x=\frac{5}{2}对称，集合{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}关于x=52x=\frac{5}{2}对称，均不违反这个必要条件.它们确实可以实现. 对于集合{1,2}\{1,2\}，取f(x)=(x−32)2+1f(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+1，并令关于yy的二次方程为(y−54)(y+1)=0(y-\tfrac{5}{4})(y+1)=0；对于集合{1,4}\{1,4\}，取f(x)=(x−52)2+1f(x)=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+1，并令关于yy的二次方程为(y−134)(y+1)=0(y-\tfrac{13}{4})(y+1)=0；对于集合{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}，取f(x)=(x−52)2f(x)=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2，并令关于yy的二次方程为(y−94)(y−14)=0(y-\tfrac{9}{4})(y-\tfrac{1}{4})=0. 前三个例子展开后aa，bb，cc，mm，nn，pp均非零.第一个方程的解集为{1,2}\{1,2\}，第二个方程的解集为{1,4}\{1,4\}，第三个方程的解集为{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}.而{1,4,16,64}\{1,4,16,64\}中，若关于同一条竖直直线成对对称，则应有1+64=4+161+64=4+16，但65≠2065\neq20，故该集合不可能是解集.因此不可能的是 D. \end{solution}
A.
{1,2}\{1, 2\}
B.
{1,4}\{1, 4\}
C.
{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}
D.
{1,4,16,64}\{1, 4, 16, 64\}

2009 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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