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085分函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡(x+b)f(x)=(x+a)\ln(x+b)，若 f(x)≥0f(x)\ge 0，则 a2+b2a^2+b^2 的最小值为（ ）
A.
18\frac18
B.
14\frac14
C.
12\frac12
D.
11

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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116分函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=2x3−3ax2+1f(x)=2x^3-3ax^2+1，则（ ）
A.
当 a>1a>1 时，f(x)f(x) 有三个零点
B.
当 a<0a<0 时，x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点
C.
存在 aa，bb，使得 x=bx=b 为曲线 y=f(x)y=f(x) 的对称轴
D.
存在 aa，使得点 (1,f(1))(1,f(1)) 为曲线 y=f(x)y=f(x) 的对称中心

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

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085分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f\left( x \right) 的定义域为 R\mathbf{R}，f(x+2)f\left( x+2 \right) 为偶函数，f(2x+1)f\left( 2x+1 \right) 为奇函数，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
f(−12)=0f\left( -\frac12 \right)=0
B.
f(−1)=0f\left( -1 \right)=0
C.
f(2)=0f\left( 2 \right)=0
D.
f(4)=0f\left( 4 \right)=0

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln(y-x+1)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln(y-x+1)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln\lvert x-y\rvert>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln\lvert x-y\rvert<0

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，满足 f(x+1)=2f(x)f(x+1)=2f(x)，且当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时，f(x)=x(x−1)f(x)=x(x-1). 若对任意 x∈(−∞,m]x\in(-\infty,m]，都有 f(x)≥−89f(x)\ge -\dfrac89，则 mm 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,94](-\infty,\dfrac94]
B.
(−∞,73](-\infty,\dfrac73]
C.
(−∞,52](-\infty,\dfrac52]
D.
(−∞,83](-\infty,\dfrac83]

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1x−1f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性，并证明 f(x)f(x) 有且仅有两个零点； (2) 设 x0x_0 是 f(x)f(x) 的一个零点，证明曲线 y=ln⁡xy=\ln x 在点 A(x0,ln⁡x0)A(x_0,\ln x_0) 处的切线也是曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的切线.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−1)ln⁡x−x−1f(x)=(x-1)\ln x-x-1. 证明：
(1) f(x)f(x) 存在唯一的极值点； (2) f(x)=0f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)f(x) 是定义域为 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x)f(1-x)=f(1+x). 若 f(1)=2f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=（ ）.
A.
−50-50
B.
00
C.
22
D.
5050

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3−a(x2+x+1)f(x)=\dfrac13x^3-a(x^2+x+1).
(1) 若 a=3a=3，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：f(x)f(x) 只有一个零点.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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16不等式★★★★☆
对于 c>0c > 0，当非零实数 aa，bb 满足 4a2−2ab+4b2−c=04a^2 - 2ab + 4b^2 - c = 0 且使 ∣2a+b∣|2a + b| 最大时，3a−4b+5c\frac{3}{a} - \frac{4}{b} + \frac{5}{c} 的最小值为______.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
如图，抛物线 C1:x2=4yC_1:x^2 = 4y，C2:x2=−2pyC_2:x^2 = -2py（p>0p > 0）. 点 M(x0,y0)M(x_0, y_0) 在抛物线 C2C_2 上，过 MM 作 C1C_1 的切线，切点为 AA，BB（MM 为原点 OO 时，AA，BB 重合于 OO）. 当 x0=1−2x_0 = 1 - \sqrt{2} 时，切线 MAMA 的斜率为 −12-\frac{1}{2}.
(1) 求 pp 的值； (2) 当 MM 在 C2C_2 上运动时，求线段 ABAB 中点 NN 的轨迹方程（AA，BB 重合于 OO 时，中点为 OO）.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−2(a+2)x+a2f(x) = x^2 - 2(a + 2)x + a^2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8g(x) = -x^2 + 2(a - 2)x - a^2 + 8，设 H1(x)=max⁡{f(x),g(x)}H_1(x) = \max \{f(x), g(x)\}，H2(x)=min⁡{f(x),g(x)}H_2(x) = \min \{f(x), g(x)\}（max⁡{p,q}\max \{p, q\} 表示 pp，qq 中的较大值，min⁡{p,q}\min \{p, q\} 表示 pp，qq 中的较小值）. 记 H1(x)H_1(x) 的最小值为 AA，H2(x)H_2(x) 的最大值为 BB，则 A−B=A - B =（ ）
A.
1616
B.
−16-16
C.
a2−2a−16a^2 - 2a - 16
D.
a2+2a−16a^2 + 2a - 16

2013 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）满足 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)，f(x)=f(2−x)f(x) = f(2 - x)，且当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，f(x)=x3f(x) = x^3. 又函数 g(x)=∣xcos⁡(πx)∣g(x) = |x\cos(\pi x)|，则函数 h(x)=g(x)−f(x)h(x) = g(x) - f(x) 在 [−12,32]\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] 上的零点个数为（ ）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8

2012 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 x1x_{1} 满足 2x+2x=52x + 2^{x} = 5，x2x_{2} 满足 2x+2log⁡2(x−1)=52x + 2\log_{2}(x - 1) = 5，则 x1+x2=x_{1} + x_{2} =（ ）
A.
52\frac{5}{2}
B.
33
C.
72\frac{7}{2}
D.
44

2009 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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21解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到两点 (0,−3)(0, -\sqrt{3})，(0,3)(0, \sqrt{3}) 的距离之和为 44，设点 PP 的轨迹为 CC.
(1) 写出 CC 的方程； (2) 设直线 y=kx+1y = kx + 1 与 CC 交于 AA，BB 两点，kk 为何值时 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OB}？此时 ∣AB∣\lvert AB\rvert 的值是多少？

2008 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ax3+bx2−3a2x+1f(x) = ax^3 + bx^2 - 3a^2x + 1（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）在 x=x1x = x_1，x=x2x = x_2 处取得极值，且 ∣x1−x2∣=2\lvert x_1 - x_2\rvert = 2.
(1) 若 a=1a = 1，求 bb 的值，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 a>0a > 0，求 bb 的取值范围.

2008 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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12导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的连续函数，如果 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 仅当 x=0x = 0 时的函数值为 00，且 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A.
00 是 f(x)f(x) 的极大值，也是 g(x)g(x) 的极大值
B.
00 是 f(x)f(x) 的极小值，也是 g(x)g(x) 的极小值
C.
00 是 f(x)f(x) 的极大值，但不是 g(x)g(x) 的极值
D.
00 是 f(x)f(x) 的极小值，但不是 g(x)g(x) 的极值

2007 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+df(x) = \frac{1}{3} ax^3 + (a + d)x^2 + (a + 2d)x + d，g(x)=ax2+2(a+2d)x+a+4dg(x) = ax^2 + 2(a + 2d)x + a + 4d. 其中 a>0a > 0，d>0d > 0. 设 x0x_0 为 f(x)f(x) 的极小值点，x1x_1 为 g(x)g(x) 的极值点，g(x2)=g(x3)=0g(x_2) = g(x_3) = 0，并且 x2<x3x_2 < x_3. 将点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))，(x1,g(x1))(x_1, g(x_1))，(x2,0)(x_2, 0)，(x3,0)(x_3, 0) 依次记为 AA，BB，CC，DD.
(1) 求 x0x_0 的值； (2) 若四边形 APCDAPCD 为梯形且面积为 1，求 aa，dd 的值.

2006 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
一给定函数 y=f(x)y = f(x) 的图象在下列图中，并且对任意 a1∈(0,1)a_{1} \in (0,1)，由关系式 an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n) 得到的数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1>ana_{n+1} > a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），则该函数的图象是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由于 a1a_1 可以是 (0,1)(0,1) 中的任意数，令 a1=xa_1=x，则由 a2>a1a_2>a_1 必须有 f(x)>xf(x)>x（0<x<10<x<1）. 因此函数图象在开区间 0<x<10<x<1 内必须位于直线 y=xy=x 的上方；同时，为了使递推对任意这样的初值继续成立，图象还应把 (0,1)(0,1) 映入自身. 图 A 满足这两个条件：对 0<x<10<x<1，有 x<f(x)<1x<f(x)<1，所以由归纳法可得 0<an<10<a_n<1 且 an+1>ana_{n+1}>a_n. 图 B、C、D 均存在 x∈(0,1)x\in(0,1) 使图象不在直线 y=xy=x 上方，不能满足题设. 故选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2005 · 辽宁 · 第 12 题 · 选择题

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19数列★★★★☆
已知函数 f(x)=x+3x+1f(x) = \frac{x+3}{x+1}（x≠−1x \ne -1）. 设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=∣an−3∣b_n = |a_n - \sqrt{3}|，Sn=b1+b2+⋯+bnS_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 用数学归纳法证明：bn⩽(3−1)n2n−1b_n \leqslant \frac{(\sqrt{3} - 1)^n}{2^{n-1}}； (2) 证明：Sn<233S_n < \frac{2\sqrt{3}}{3}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 记 r=3r=\sqrt3. 由于
an+1=an+3an+1=1+2an+1a_{n+1}=\frac{a_n+3}{a_n+1}=1+\frac2{a_n+1}
且 a1=1a_1=1，可归纳得到 an⩾1a_n\geqslant1 对一切正整数 nn 成立. 另外， an+1−r=(1−r)(an−r)an+1a_{n+1}-r=\dfrac{(1-r)(a_n-r)}{a_n+1}， 所以
bn+1=r−1an+1bn⩽r−12bn<12bnb_{n+1}=\frac{r-1}{a_n+1}b_n\leqslant\frac{r-1}{2}b_n<\frac12b_n
下面用数学归纳法证明 bn⩽(r−1)n2n−1b_n\leqslant\frac{(r-1)^n}{2^{n-1}}. 当 n=1n=1 时，b1=∣1−r∣=r−1b_1=|1-r|=r-1，结论成立. 假设当 n=kn=k 时结论成立，则
bk+1⩽r−12bk⩽r−12⋅(r−1)k2k−1=(r−1)k+12kb_{k+1}\leqslant\frac{r-1}{2}b_k\leqslant\frac{r-1}{2}\cdot\frac{(r-1)^k}{2^{k-1}}=\frac{(r-1)^{k+1}}{2^k}
因此结论对 k+1k+1 也成立，故对一切正整数 nn 成立.
\item 先算得 a2=f(1)=2a_2=f(1)=2. 又因为 f(x)=x+3x+1f(x)=\frac{x+3}{x+1} 在 [53,2][\frac53,2] 上递减，且 f(2)=53f(2)=\frac53，f(53)=74f\left(\frac53\right)=\frac74， 所以由归纳法可得 53⩽an⩽2\frac53\leqslant a_n\leqslant2 对一切 n⩾2n\geqslant2 成立. 对 n⩾2n\geqslant2，有
bn+1=r−1an+1bn⩽3(r−1)8bn<13bnb_{n+1}=\frac{r-1}{a_n+1}b_n\leqslant\frac{3(r-1)}8b_n<\frac13b_n
其中最后一个不等式由 3<179\sqrt3<\frac{17}{9} 得到. 因而 Sn<b1+b2(1+13+132+⋯ )S_n<b_1+b_2\left(1+\frac13+\frac1{3^2}+\cdots\right). 又 b1=r−1b_1=r-1，b2=∣2−r∣=2−rb_2=|2-r|=2-r，所以 Sn<r−1+32(2−r)=2−r2S_n<r-1+\frac32(2-r)=2-\frac r2. 最后，3>127\sqrt3>\frac{12}{7}，从而 2−r2<2r32-\frac r2<\frac{2r}{3}. 故 Sn<233S_n<\frac{2\sqrt3}{3}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆方程为 x2+y24=1x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1，过点 M(0,1)M(0,1) 的直线 ll 交椭圆于点 AA，BB，OO 是坐标原点，点 PP 满足 OP→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right)，点 NN 的坐标为 (12,12)\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)，当 ll 绕点 MM 旋转时，求：
(1) 动点 PP 的轨迹方程； (2) ∣NP→∣|\overrightarrow{NP}| 的最小值与最大值.

2004 · 辽宁 · 第 19 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡(ex+a)f(x) = \ln(\mathrm{e}^x + a)（a>0a > 0）.
(1) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 及 f(x)f(x) 的导数 f′(x)f'(x)； (2) 假设对任意 x∈[ln⁡(3a),ln⁡(4a)]x \in [\ln(3a), \ln(4a)]，不等式 ∣m−f−1(x)∣+ln⁡(f′(x))<0|m - f^{-1}(x)| + \ln(f'(x)) < 0 成立，求实数 mm 的取值范围.

2004 · 辽宁 · 第 22 题 · 解答题

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