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126分概率与统计★★★★☆
信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 XX 所有可能的取值为 11，22，⋯\cdots，nn，且 P(X=i)=pi>0P(X=i)=p_i>0（i=1i=1，22，⋯\cdots，nn），∑i=1npi=1\sum_{i=1}^{n}p_i=1，定义 XX 的信息熵 H(X)=−∑i=1npilog⁡2piH(X)=-\sum_{i=1}^{n}p_i\log_2 p_i. （ ）
A.
若 n=1n=1，则 H(X)=0H(X)=0
B.
若 n=2n=2，则 H(X)H(X) 随着 p1p_1 的增大而增大
C.
若 pi=1np_i=\dfrac{1}{n}（i=1i=1，22，⋯\cdots，nn），则 H(X)H(X) 随着 nn 的增大而增大
D.
若 n=2mn=2m，随机变量 YY 所有可能的取值为 11，22，⋯\cdots，mm，且 P(Y=j)=pj+p2m+1−jP(Y=j)=p_j+p_{2m+1-j}（j=1j=1，22，⋯\cdots，mm），则 H(X)≤H(Y)H(X)\le H(Y)

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln(y-x+1)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln(y-x+1)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln\lvert x-y\rvert>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln\lvert x-y\rvert<0

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3+bx+cf(x)=x^3+bx+c，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (12,f(12))\left( \dfrac{1}{2},f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right) 处的切线与 yy 轴垂直.
(1) 求 bb； (2) 若 f(x)f(x) 有一个绝对值不大于 11 的零点，证明：f(x)f(x) 所有零点的绝对值都不大于 11.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−kx+k2f(x)=x^3-kx+k^2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有三个零点，求 kk 的取值范围.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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09函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x3f(x)=x^3（x≥0x\ge 0），f(x)=−xf(x)=-x（x<0x<0）. 若函数 g(x)=f(x)−∣kx2−2x∣g(x)=f(x)-\left| kx^2-2x \right|（k∈Rk\in\mathbf{R}）恰有 4 个零点，则 kk 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−12)∪(22,+∞)\left( -\infty,-\dfrac12 \right)\cup\left( 2\sqrt2,+\infty \right)
B.
(−∞,−12)∪(0,22)\left( -\infty,-\dfrac12 \right)\cup\left( 0,2\sqrt2 \right)
C.
(−∞,0)∪(0,22)\left( -\infty,0 \right)\cup\left( 0,2\sqrt2 \right)
D.
(−∞,0)∪(22,+∞)\left( -\infty,0 \right)\cup\left( 2\sqrt2,+\infty \right)

2020 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若存在定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x) 同时满足下列两个条件：
(1) 对任意的 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，f(x0)f(x_0) 的值为 x0x_0 或 x02x_0^2； (2) 关于 xx 的方程 f(x)=af(x)=a 无实数解，
则 aa 的取值范围是______.

2020 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)=x−1f(x)=\sqrt{x-1}，其反函数为 f−1(x)f^{-1}(x)，若 f−1(x)−a=f(x+a)f^{-1}(x)-a=f(x+a) 有实数根，则 aa 的取值范围为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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21函数与初等函数★★★★☆
已知非空集合 A⊆RA\subseteq\mathbf{R}，函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域为 DD，若对任意 t∈At\in A 且 x∈Dx\in D，不等式 f(x)≥f(x+t)f(x)\geq f(x+t) 恒成立，则称函数 f(x)f(x) 具有 AA 性质.
(1) 当 A={−1}A=\{-1\}，判断 f(x)=−xf(x)=-x，g(x)=2xg(x)=2^x 是否具有 AA 性质； (2) 当 A=(0,1)A=(0,1)，f(x)=x+1xf(x)=x+\dfrac{1}{x}，x∈[a,+∞)x\in[a,+\infty)，若 f(x)f(x) 具有 AA 性质，求 aa 的取值范围； (3) 当 A={−2,m}A=\{-2,m\}，m∈Zm\in\mathbf{Z}，若 DD 为整数集且具有 AA 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 mm 的值.

2020 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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09不等式★★★★☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R} 且 ab≠0ab\neq0，若 (x−a)(x−b)(x−2a−b)≥0(x-a)(x-b)(x-2a-b)\ge0 在 x≥0x\ge0 上恒成立，则（ ）
A.
a<0a<0
B.
a>0a>0
C.
b<0b<0
D.
b>0b>0

2020 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题

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