函数 $y=f(x)$ 的图象由函数 $y=\cos\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到，则 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=\frac12x-\frac12$ 的交点个数为（ ）

函数 $y=f(x)$ 的图象由 $y=\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图象向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度得到，则 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}$ 的交点个数为（ ）

设 $a\in(0,1)$，若函数 $f(x)=a^x+(1+a)^{x+1}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是______.

已知椭圆 $C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt5}{3}$，点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，直线 $AP$，$AQ$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M$，$N$，证明：线段 $MN$ 的中点为定点.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半焦距为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$. 由点 $A(-2,0)$ 在椭圆上，得 $b=2$. 又由离心率得 $\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac59$，所以 $1-\dfrac{4}{a^2}=\dfrac59$，从而 $a=3$. 因此 $C$ 的方程为 $\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1$. \item 过点 $(-2,3)$ 的直线若为 $x=-2$，则与椭圆只有一个交点，故由题意可设该直线斜率为 $k$，其方程为 $y=k(x+2)+3$. 设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，则 $x_1$，$x_2$ 是方程 的两个根，即 由韦达定理， $x_1+x_2=-\frac{8k(2k+3)}{9+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{16k(k+3)}{9+4k^2}$. 直线 $AP$ 与 $y$ 轴的交点纵坐标为 $\dfrac{2y_1}{x_1+2}$，而 $y_1=k(x_1+2)+3$，所以该纵坐标为 $2k+\dfrac{6}{x_1+2}$. 同理，点 $N$ 的纵坐标为 $2k+\dfrac{6}{x_2+2}$. 因而线段 $MN$ 的中点横坐标为 $0$，纵坐标为 由上式中的韦达关系， $x_1+x_2+4=\frac{12(3-2k)}{9+4k^2}$，$x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=\frac{36}{9+4k^2}$， 故中点纵坐标为 $2k+3\cdot\dfrac{3-2k}{3}=3$. 所以线段 $MN$ 的中点为定点 $(0,3)$. \end{enumerate} \end{solution}

已知 $f(x)=2|x|+|x-2|$.

(1) 求不等式 $f(x)\le6-x$ 的解集； (2) 在直角坐标系 $xOy$ 中，求不等式组 所确定的平面区域的面积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $x<0$ 时，$f(x)=2-3x$；当 $0\le x\le2$ 时，$f(x)=x+2$；当 $x>2$ 时，$f(x)=3x-2$. 因此 第一种情形得 $-2\le x<0$，第二种情形得 $0\le x\le2$，第三种情形无解，所以不等式的解集为 $[-2,2]$. \item 不等式组表示的区域位于曲线 $y=f(x)$ 上方、直线 $y=6-x$ 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为 $[-2,2]$. 当 $-2\le x\le0$ 时，上、下边界之差为 $(6-x)-(2-3x)=4+2x$；当 $0\le x\le2$ 时，上、下边界之差为 $(6-x)-(x+2)=4-2x$. 因此区域面积为 \end{enumerate} \end{solution}

设 $a>0$，函数 $f(x)=x+2$（$x<-a$），$f(x)=\sqrt{a^2-x^2}$（$-a\le x\le a$），$f(x)=-\sqrt{x}-1$（$x>a$）. 给出下列四个结论：

① $f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty)$ 上单调递减； ② 当 $a\ge 1$ 时，$f(x)$ 存在最大值； ③ 设 $M(x_1,f(x_1))$（$x_1\le a$），$N(x_2,f(x_2))$（$x_2>a$），则 $|MN|>1$； ④ 设 $P(x_3,f(x_3))$（$x_3<-a$），$Q(x_4,f(x_4))$（$x_4\ge -a$）.

若 $|PQ|$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{2}\right]$.

其中所有正确结论的序号是______.

若函数 $f(x)=ax^2-2x-\left| x^2-ax+1 \right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为______.

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$） 的左，右顶点分别为 $A_1$，$A_2$，右焦点为 $F$，已知 $|A_1F|=3$，$|A_2F|=1$.

(1) 求椭圆方程及其离心率； (2) 已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_2P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$，若三角形 $A_1PQ$ 的面积是三角形 $A_2FP$ 面积的二倍，求直线 $A_2P$ 的方程.

设函数 $f(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+c}{x+a}$，$a$，$c\in\mathbf{R}$

(1) 当 $a=0$ 时，是否存在实数 $c$，使得 $y=f(x)$ 为奇函数，请说明理由； (2) 若函数 $y=f(x)$ 的图像过点 $(1,3)$，且其与 $x$ 轴的负半轴有两个不同的交点，求 $c$ 的值及 $a$ 的取值范围.