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19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

2026 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 Γ:y2=4x\Gamma:y^2=4x，第一象限内点 AA 在 Γ\Gamma 上，AA 的纵坐标是 aa.
(1) 若 AA 到准线的距离为 33，求 aa； (2) 若 a=4a=4，BB 在 xx 轴上，且线段 ABAB 的中点在 Γ\Gamma 上，求点 BB 的坐标及坐标原点 OO 到直线 ABAB 的距离； (3) 直线 l:x=−3l:x=-3，令 PP 是第一象限 Γ\Gamma 上异于 A 的一点，直线 APAP 交 ll 于 QQ，HH 是 PP 在 ll 上的投影，若点 A 满足“对于任意 PP 都有 ∣HQ∣>4\left|HQ\right|>4”，求 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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16不等式★★★★☆
已知两两不相等的 x1x_1，y1y_1，x2x_2，y2y_2，x3x_3，y3y_3，同时满足 ①x1<y1x_1<y_1，x2<y2x_2<y_2，x3<y3x_3<y_3；②x1+y1=x2+y2=x3+y3x_1+y_1=x_2+y_2=x_3+y_3；③x1y1+x3y3=2x2y2x_1y_1+x_3y_3=2x_2y_2，以下哪个选项恒成立（ ）
A.
2x2<x1+x32x_2<x_1+x_3
B.
2x2>x1+x32x_2>x_1+x_3
C.
x22<x1x3x_2^2<x_1x_3
D.
x22>x1x3x_2^2>x_1x_3

2021 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16三角函数★★★★☆
已知 tan⁡α⋅tan⁡β=tan⁡(α+β)\tan\alpha\cdot\tan\beta=\tan(\alpha+\beta).
① 存在角 α\alpha 在第一象限，角 β\beta 在第三象限； ② 存在角 α\alpha 在第二象限，角 β\beta 在第四象限.
那么（ ）
A.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}均正确
B.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}均错误
C.
\circled1\circled{1}正确，\circled2\circled{2}错误
D.
\circled1\circled{1}错误，\circled2\circled{2}正确

2019 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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22指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=5a=5 时，解不等式 f(x)>0f(x)>0； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)−log⁡2[(a−4)x+2a−5]=0f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的取值范围； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值和最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
设 aa 为实常数，y=f(x)y=f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x<0x<0 时， f(x)=9x+a2x+7f(x)=9x+\frac{a^2}{x}+7. 若 f(x)⩾a+1f(x)\geqslant a+1 对一切 x⩾0x\geqslant 0 成立，则 aa 的取值范围为______. \begin{answer} (−∞,−87]\left(-\infty,-\frac{8}{7}\right] \end{answer}
\begin{solution} 奇函数满足 f(0)=0f(0)=0，由题设不等式在 x=0x=0 时得 0⩾a+10\geqslant a+1，即 a⩽−1a\leqslant-1，所以 a<0a<0. 当 x>0x>0 时，由奇性和题设中负数部分的表达式，
f(x)=−f(−x)=9x+a2x−7f(x)=-f(-x)=9x+\frac{a^2}{x}-7
故所需条件等价于 9x+a2x⩾a+89x+\frac{a^2}{x}\geqslant a+8，x>0x>0. 因为 a<0a<0，由基本不等式
9x+a2x⩾29x⋅a2x=6∣a∣=−6a9x+\frac{a^2}{x}\geqslant2\sqrt{9x\cdot\frac{a^2}{x}}=6|a|=-6a
且在 x=−a3>0x=\frac{-a}{3}>0 时取等号. 因此上式对所有 x>0x>0 成立，当且仅当
−6a⩾a+8-6a\geqslant a+8
即 a⩽−87a\leqslant-\frac87. 该范围自动满足 a⩽−1a\leqslant-1，所以
a∈(−∞,−87]a\in\left(-\infty,-\frac87\right]
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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22三角函数★★★★☆
(1) 若实数 xx，yy，mm 满足 ∣x−m∣<∣y−m∣|x - m| < |y - m|，则称 xx 比 yy 接近 mm. 若 x2−1x^{2} - 1 比 33 接近 00，求 xx 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数 aa，bb，证明：a2b+ab2a^{2}b + ab^{2} 比 a3+b3a^{3} + b^{3} 接近 2abab2ab\sqrt{ab}； (3) 已知函数 f(x)f(x) 的定义域 D={x∣x≠kπ,k∈Z,x∈R}D = \{x \mid x \neq k\pi, k \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R}\}. 任取 x∈Dx \in D，f(x)f(x) 等于 1+sin⁡x1 + \sin x 和 1−sin⁡x1 - \sin x 中接近 00 的那个值. 写出函数 f(x)f(x) 的解析式，并指出它的奇偶性，最小正周期，最小值和单调性（结论不要求证明）.

2010 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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11不等式★★★★☆
当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，不等式 sin⁡πx2⩾kx\sin \frac{\pi x}{2} \geqslant kx 成立. 则实数 kk 的取值范围是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★★☆
某地街道呈现东—西，南—北向的网格状，相邻街距都为 11. 两街道相交的点称为格点. 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 (−2,2)(-2, 2)，(3,1)(3, 1)，(3,4)(3, 4)，(−2,3)(-2, 3)，(4,5)(4, 5)，(6,6)(6, 6) 为报刊零售点. 请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使 66 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短______.

2009 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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19指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2x−12∣x∣f(x) = 2^x - \frac{1}{2^{|x|}}.
(1) 若 f(x)=2f(x)=2，求 xx 的值； (2) 若 2tf(2t)+mf(t)⩾02^{t}f(2t) + mf(t) \geqslant 0 对于 t∈[1,2]t \in [1,2] 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2008 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19指数函数与对数函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2x−12∣x∣f(x) = 2^x - \frac{1}{2^{|x|}}.
(1) 若 f(x)=2f(x) = 2，求 xx 的值； (2) 若 2tf(2t)+mf(t)⩾02^{t}f(2t) + mf(t) \geqslant 0 对于 t∈[1,2]t \in \left[1,2\right] 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2008 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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12不等式★★★★☆
三个同学对问题“关于 xx 的不等式 x2+25+∣x3−5x2∣⩾axx^{2} + 25 + |x^{3} - 5x^{2}| \geqslant ax 在 [1,12][1, 12] 上恒成立，求实数 aa 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说：“把不等式变形为左边含变量 xx 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”. 丙说：“把不等式两边看成关于 xx 的函数，作出函数图象”. 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 aa 的取值范围是______.

2006 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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21数列★★★★☆
已知有穷数列 {an}\{a_{n}\} 共有 2k2k 项（整数 k⩾2k \geqslant 2），首项 a1=2a_{1} = 2. 设该数列的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 an+1=(a−1)Sn+2a_{n+1} = (a-1)S_{n} + 2（n=1n = 1，22，⋯\cdots，2k−12k-1）. 其中常数 a>1a > 1.
(1) 求证：数列 {an}\{a_{n}\} 是等比数列； (2) 若 a=222k−1a = 2^{\frac{2}{2k-1}}，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=1nlog⁡2(a1a2⋯an)b_n = \frac{1}{n}\log_2(a_1a_2\cdots a_n)（n=1n = 1，22，⋯\cdots，2k2k），求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (3) 若第二问中的数列 {bn}\{b_n\} 满足不等式 ∣b1−32∣+∣b2−32∣+⋯+∣b2k−1−32∣+∣b2k−32∣⩽4\left|b_1 - \frac{3}{2}\right| + \left|b_2 - \frac{3}{2}\right| + \cdots + \left|b_{2k-1} - \frac{3}{2}\right| + \left|b_{2k} - \frac{3}{2}\right| \leqslant 4，求 kk 的值.

2006 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★★☆
有两个相同的直三棱柱，高为 2a\frac{2}{a}，底面三角形的三边长分别为 3a3a，4a4a，5a5a（a>0a > 0）. 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 aa 的取值范围是______.

2005 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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