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23不等式★★★★☆
实数 aa，bb 满足 a+b≥3a+b\ge 3.
(1) 证明：2a2+2b2>a+b2a^2+2b^2>a+b； (2) 证明：∣a−2b2∣+∣b−2a2∣≥6|a-2b^2|+|b-2a^2|\ge 6.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知实数 aa，bb 满足 a+b≥3a+b\ge3.
(1) 证明：2a2+2b2>a+b2a^2+2b^2>a+b； (2) 证明：∣a−2b2∣+∣b−2a2∣≥6|a-2b^2|+|b-2a^2|\ge6.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡2xf(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^2x}，x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)+sin⁡x<0f(x)+\sin x<0，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 均为正数，且 a2+b2+4c2=3a^2+b^2+4c^2=3，证明：
(1) a+b+2c≤3a+b+2c\le 3； (2) 若 b=2cb=2c，则 1a+1c≥3\frac1a+\frac1c\ge 3.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 均为正数，且 a2+b2+4c2=3a^2+b^2+4c^2=3，证明：
(1) a+b+2c≤3a+b+2c\le3； (2) 若 b=2cb=2c，则 1a+1c≥3\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge3.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
设 aa，bb，c∈Rc\in \mathbf{R}，a+b+c=0a+b+c=0，abc=1abc=1.
(1) 证明：ab+bc+ca<0ab+bc+ca<0； (2) 用 max⁡{a,b,c}\max\{a,b,c\} 表示 aa，bb，cc 中的最大值，证明：max⁡{a,b,c}≥43\max\{a,b,c\}\ge \sqrt[3]{4}.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
设 aa，bb，c∈Rc\in \mathbf{R}，a+b+c=0a+b+c=0，abc=1abc=1.
(1) 证明：ab+bc+ca<0ab+bc+ca<0； (2) 用 max⁡{a,b,c}\max\{a,b,c\} 表示 aa，bb，cc 中的最大值，证明：max⁡{a,b,c}≥43\max\{a,b,c\}\ge \sqrt[3]{4}.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
设 xx，yy，z∈Rz\in\mathbf{R}，且 x+y+z=1x+y+z=1.
(1) 求 (x−1)2+(y+1)2+(z+1)2(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 的最小值； (2) 若 (x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥13(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\ge\dfrac13 成立，证明：a≤−3a\le-3 或 a≥−1a\ge-1.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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07集合与逻辑基础★★★★☆
设 pp：实数 xx，yy 满足 (x−1)2+(y−1)2≤2\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\le2，qq：实数 xx，yy 满足
{y≥x−1,y≥1−x,y≤1\begin{cases} y\ge x-1,\\ y\ge 1-x,\\ y\le 1 \end{cases}
，则 pp 是 qq 的（ ）
\begin{solution} 令 u=x−1u=x-1，v=y−1v=y-1.条件 qq 化为 v≥u−1v\geq u-1，v≥−u−1v\geq-u-1，v≤0v\leq0. 由前两个不等式得 v≥∣u∣−1v\geq |u|-1，再结合 v≤0v\leq0 可知 −1≤v≤0-1\leq v\leq0，且 ∣u∣≤v+1|u|\leq v+1.因此
u2+v2≤(v+1)2+v2=1+2v(v+1)≤1<2u^2+v^2\leq(v+1)^2+v^2=1+2v(v+1)\leq1<2
故满足 qq 的点都满足 pp，即 q⇒pq\Rightarrow p.但点 (1,1+2)(1,1+\sqrt2) 满足 pp，而 y=1+2>1y=1+\sqrt2>1，不满足 qq，所以 p⇏qp\not\Rightarrow q.因此 pp 是 qq 的必要不充分条件，选 A. \end{solution}
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2016 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
设直线 l1l_1，l2l_2 分别是函数
f(x)={−ln⁡x,0<x<1,ln⁡x,x>1,f(x)=\begin{cases} -\ln x,&0<x<1,\\ \ln x,&x>1, \end{cases}
图象上点 P1P_1，P2P_2 处的切线，l1l_1 与 l2l_2 垂直相交于点 PP，且 l1l_1，l2l_2 分别与 yy 轴相交于点 AA，BB，则 △PAB\triangle PAB 的面积的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,2)(0,2)
C.
(0,+∞)(0,+\infty)
D.
(1,+∞)(1,+\infty)

2016 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
已知 FF 是抛物线 y2=xy^{2}=x 的焦点，点 AA，BB 在该抛物线上且位于 xx 轴的两侧，OA→⋅OB→=2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=2（其中 OO 为坐标原点），则 △ABO\triangle ABO 与 △AFO\triangle AFO 面积之和的最小值是（ ）
A.
22
B.
33
C.
1728\frac{17\sqrt{2}}{8}
D.
10\sqrt{10}

2014 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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14解析几何★★★★☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，过定点 AA 的动直线 x+my=0x + my = 0 和过定点 BB 的动直线 mx−y−m+3=0mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x,y)P(x, y)，则 ∣PA∣⋅∣PB∣|PA| \cdot |PB| 的最大值是______.

2014 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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09解析几何★★★★☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，过定点 AA 的动直线 x+my=0x + my = 0 和过定点 BB 的动直线 mx−y−m+3=0mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x,y)P(x, y). 则 ∣PA∣+∣PB∣|PA| + |PB| 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 两条动直线分别恒过 A=(0,0)A=(0,0) 和 B=(1,3)B=(1,3). 它们的法向量分别为 (1,m)(1,m) 和 (m,−1)(m,-1)，数量积为 m−m=0m-m=0，所以两直线始终垂直，即 ∠APB=90∘\angle APB=90^{\circ}. 因而 PP 在以 ABAB 为直径的圆上，且 ∣AB∣=(1−0)2+(3−0)2=10|AB|=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}，∣PA∣2+∣PB∣2=10|PA|^2+|PB|^2=10. 由基本不等式，
10⩽∣PA∣+∣PB∣⩽2(∣PA∣2+∣PB∣2)=25\sqrt{10}\leqslant |PA|+|PB|\leqslant\sqrt{2\left(|PA|^2+|PB|^2\right)}=2\sqrt5
联立两条直线方程可得
P=(m(m−3)m2+1,3−mm2+1)P=\left(\frac{m(m-3)}{m^2+1},\frac{3-m}{m^2+1}\right)
当 m=3m=3 或 m=−13m=-\frac13 时，分别有 P=AP=A 或 P=BP=B，下界可以取得；当 m=12m=\frac12 或 m=−2m=-2 时，分别有 P=(−1,2)P=(-1,2) 或 P=(2,1)P=(2,1)，均满足 ∣PA∣=∣PB∣=5|PA|=|PB|=\sqrt5，上界也可以取得. 故取值范围为 [10,25][\sqrt{10},2\sqrt5]，选 B. \end{solution}
A.
[5,25][\sqrt{5}, 2\sqrt{5}]
B.
[10,25][\sqrt{10}, 2\sqrt{5}]
C.
[10,45][\sqrt{10}, 4\sqrt{5}]
D.
[25,45][2\sqrt{5}, 4\sqrt{5}]

2014 · 四川 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数
f(x)={x2+2x+a,x<0,ln⁡x,x>0,f(x)=\begin{cases} x^2+2x+a,&x<0,\\ \ln x,&x>0, \end{cases}
其中 aa 是实数. 设 A(x1,f(x1))A(x_1,f(x_1))，B(x2,f(x2))B(x_2,f(x_2)) 为该函数图象上的两点，且 x1<x2x_1<x_2.
(1) 指出函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 AA，BB 处的切线互相垂直，且 x2<0x_2<0，证明：x2−x1⩾1x_2-x_1\geqslant1； (3) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 AA，BB 处的切线重合，求 aa 的取值范围.

2013 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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16不等式★★★★☆
设 aa，bb 为正实数. 现有下列命题：
① 若 a2−b2=1a^2 - b^2 = 1，则 a−b<1a - b < 1； ② 若 1b−1a=1\frac{1}{b} -\frac{1}{a} = 1，则 a−b<1a - b < 1； ③ 若 ∣a−b∣=1|\sqrt{a} - \sqrt{b}| = 1，则 ∣a−b∣<1|a - b| < 1； ④ 若 ∣a3−b3∣=1|a^3 - b^3| = 1，
则 ∣a−b∣<1|a - b| < 1. 其中的真命题有______（写出所有真命题的编号）.

2012 · 四川 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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12不等式★★★★☆
设 a>b>c>0a > b > c > 0，则 2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c22a^2 + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a(a - b)} - 10ac + 25c^2 的最小值是（ ）
A.
22
B.
44
C.
252\sqrt{5}
D.
55

2010 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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11不等式★★★★☆
设 a>b>0a > b > 0，则 a2+1ab+1a(a−b)a^2 + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a(a - b)} 的最小值是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2010 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+3ax−1f(x) = x^3 + 3ax - 1，g(x)=f′(x)−ax−5g(x) = f'(x) - ax - 5，其中 f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 对满足 −1⩽a⩽1-1 \leqslant a \leqslant 1 的一切 aa 的值，都有 g(x)<0g(x) < 0，求实数 xx 的取值范围； (2) 设 a=−m2a = -m^2，当实数 mm 在什么范围内变化时，函数 y=f(x)y = f(x) 的图像与直线 y=3y = 3 只有一个公共点.

2006 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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