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15不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，对任意 x∈[−2,2]x\in[-2,2]，都有 (2a+b)x2+bx−a−1≤0(2a+b)x^2+bx-a-1\le0，则 2a+b2a+b 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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08不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，设函数
f(x)={x2−2ax+2a,x≤1,x−aln⁡x,x>1.f(x)=\begin{cases} x^2-2ax+2a, & x\le 1,\\ x-a\ln x, & x>1. \end{cases}
若关于 xx 的不等式 f(x)≥0f(x)\ge 0 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
[0,1][0,1]
B.
[0,2][0,2]
C.
[0,e][0,\mathrm{e}]
D.
[1,e][1,\mathrm{e}]

2019 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数
f(x)={x2+2x+a−2,x≤0,−x2+2x−2a,x>0.f(x)=\begin{cases} x^2+2x+a-2, & x\le0,\\ -x^2+2x-2a, & x>0. \end{cases}
若对任意 x∈[−3,+∞)x\in[-3,+\infty)，f(x)≤∣x∣f(x)\le|x| 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2018 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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08不等式★★★★☆
已知函数
f(x)={x2−x+3,x≤1,x+2x,x>1,f(x)= \begin{cases} x^2-x+3,&x\le 1,\\ x+\dfrac{2}{x},&x>1, \end{cases}
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若关于 xx 的不等式 f(x)≥∣x2+a∣f(x)\ge \left|\dfrac{x}{2}+a\right| 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−4716,2]\left[-\dfrac{47}{16},2\right]
B.
[−4716,3916]\left[-\dfrac{47}{16},\dfrac{39}{16}\right]
C.
[−23,2]\left[-2\sqrt{3},2\right]
D.
[−23,3916]\left[-2\sqrt{3},\dfrac{39}{16}\right]

2017 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，则 a4+4b4+1ab\dfrac{a^4+4b^4+1}{ab} 的最小值为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x<1x<1 时，f(x)=∣x∣+2f(x)=|x|+2；当 x≥1x\ge 1 时，f(x)=x+2xf(x)=x+\dfrac2x. 设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若关于 xx 的不等式 f(x)≥∣x2+a∣f(x)\ge \left|\dfrac x2+a\right| 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−2,2][-2,2]
B.
[−23,2][-2\sqrt3,2]
C.
[−2,23][-2,2\sqrt3]
D.
[−23,23][-2\sqrt3,2\sqrt3]

2017 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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13不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，则 a4+4b4+1ab\dfrac{a^4+4b^4+1}{ab} 的最小值为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在等腰梯形 ABCDABCD 中，已知 AB∥DCAB \parallel DC，AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. 动点 EE 和 FF 分别在线段 BCBC 和 DCDC 上，且 BE→=λBC→\overrightarrow{BE} = \lambda \overrightarrow{BC}，DF→=19λDC→\overrightarrow{DF} = \frac{1}{9\lambda}\overrightarrow{DC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} 的最小值为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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20集合与逻辑基础★★★★☆
已知 qq 和 nn 均为给定的大于 11 的自然数. 设集合 M={0,1,2,⋯ ,q−1}M = \{0, 1, 2, \cdots, q-1\}，集合 A={x∣x=x1+x2q+⋯+xnqn−1,xi∈M,i=1,2,⋯ ,n}A = \{x \mid x = x_1 + x_2q + \cdots + x_nq^{n-1}, x_i \in M, i = 1, 2, \cdots, n\}.
(1) 当 q=2q = 2，n=3n = 3 时，用列举法表示集合 AA； (2) 设 ss，t∈At \in A，s=a1+a2q+⋯+anqn−1s = a_1 + a_2q + \cdots + a_nq^{n-1}，t=b1+b2q+⋯+bnqn−1t = b_1 + b_2q + \cdots + b_nq^{n-1}，其中 aia_i，bi∈Mb_i \in M，i=1i = 1，22，⋯\cdots，nn. 证明：若 an<bna_n < b_n，则 s<ts < t.

2014 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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14不等式★★★★☆
设 a+b=2a + b = 2，b>0b > 0，则 12∣a∣+∣a∣b\frac{1}{2|a|} + \frac{|a|}{b} 的最小值为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=∣x2−1∣x−1y = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} 的图象与函数 y=kx−2y = kx - 2 的图象恰有两个交点，则实数 kk 的取值范围是______.

2012 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
设函数 f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1，对任意 x∈[32,+∞)x \in \left[\frac{3}{2}, +\infty\right)，f(xm)−4m2f(x)⩽f(x−1)+4f(m)f\left(\frac{x}{m}\right) - 4m^2f(x) \leqslant f(x - 1) + 4f(m) 恒成立，则实数 mm 的取值范围是______. \begin{answer} (−∞,−32]∪[32,+∞)\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\cup\left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty\right) \end{answer} \begin{solution} 因题中含有 f(xm)f(\frac{x}{m})，必须有 m≠0m\ne0. 将 f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 代入不等式并移项，得 Qm(x):=(1m2−4m2−1)x2+2x+3≤0Q_m(x):=\left(\frac1{m^2}-4m^2-1\right)x^2+2x+3\le0，x≥32x\ge\frac32. 记 Am=1m2−4m2−1A_m=\dfrac1{m^2}-4m^2-1. 若 Am≥0A_m\ge0，则 Qm(x)Q_m(x) 在充分大的 xx 处为正，不可能恒成立. 设 Am<0A_m<0. 若二次函数顶点 −1Am≥32-\frac{1}{A_m}\ge\frac{3}{2}，则其在定义区间内的最大值为
Qm(−1Am)=3−1Am>0Q_m\left(-\frac1{A_m}\right)=3-\frac1{A_m}>0
仍不可能恒成立. 所以顶点必须在区间左侧. 此时对 x≥32x\ge\frac{3}{2} 有 Qm′(x)=2Amx+2<0Q_m'(x)=2A_mx+2<0，故 QmQ_m 在该区间上递减，只需令端点处的最大值不大于零： Qm(32)=94Am+6≤0Q_m\left(\frac32\right)=\frac94A_m+6\le0，Am≤−83A_m\le-\frac83. 于是
1m2−4m2+53≤0\frac1{m^2}-4m^2+\frac53\le0
令 t=m2>0t=m^2>0，乘以正数 3t3t 得
12t2−5t−3≥012t^2-5t-3\ge0
该二次式的根为 −13-\dfrac13，34\dfrac34，故 t≥34t\ge\dfrac34，即
∣m∣≥32|m|\ge\frac{\sqrt3}{2}
所以 mm 的取值范围为
(−∞,−32]∪[32,+∞)\left(-\infty,-\frac{\sqrt3}{2}\right]\cup\left[\frac{\sqrt3}{2},+\infty\right)
\end{solution}

2010 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
设函数 f(x)=x−1xf(x) = x - \frac{1}{x}，对任意 x∈[1,+∞)x \in [1,+\infty)，f(mx)+mf(x)<0f(mx) + mf(x) < 0 恒成立，则实数 mm 的取值范围是______.

2010 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax3−32x2+1f(x) = ax^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1 （x∈Rx \in \mathbf{R}），其中 a>0a > 0.
(1) 若 a=1a = 1，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2,f(2)) 处的切线方程； (2) 若在区间 [−12,12]\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] 上，f(x)>0f(x) > 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

2010 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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10不等式★★★★☆
0<b<1+a0 < b < 1 + a. 若关于 xx 的不等式 (x−b)2>(ax)2(x - b)^2 > (ax)^2 的解集中的整数恰有33个，则（ ）
A.
−1<a<0-1 < a < 0
B.
0<a<10 < a < 1
C.
1<a<31 < a < 3
D.
3<a<63 < a < 6

2009 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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16不等式★★★★☆
若关于 xx 的不等式 (2x−1)2<ax2(2x - 1)^2 < ax^2 的解集中的整数恰好有3个，则实数 aa 的取值范围是______.

2009 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x+ax+bf(x) = x + \frac{a}{x} + b（x≠0x \neq 0），其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(2,f(2))P(2, f(2)) 处的切线方程为 y=3x+1y = 3x + 1，求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (3) 若对于任意的 a∈[12,2]a \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]，不等式 f(x)⩽10f(x) \leqslant 10 在 [14,1]\left[\frac{1}{4}, 1\right] 上恒成立，求 bb 的取值范围.

2008 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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10平面向量★★★★☆
设两个向量 a=(λ+2,λ2−cos⁡2α)\boldsymbol{a} = (\lambda + 2, \lambda^2 - \cos^2 \alpha) 和 b=(m,m2+sin⁡α)\boldsymbol{b} = \left(m, \dfrac{m}{2} + \sin \alpha\right)，其中 λ\lambda，mm，α\alpha 为实数. 若 a=2b\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{b}，则 λm\dfrac{\lambda}{m} 的取值范围是（ ）
A.
[−6,1][-6, 1]
B.
[4,8][4, 8]
C.
(−∞,1](-\infty, 1]
D.
[−1,6][-1, 6]

2007 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=x2f(x) = x^2. 若对任意的 x∈[t,t+2]x \in [t, t + 2]，不等式 f(x+t)⩾2f(x)f(x + t) \geqslant 2f(x) 恒成立，则实数 tt 的取值范围是（ ）
A.
[2,+∞)[\sqrt{2}, +\infty)
B.
[2,+∞)[2, +\infty)
C.
(0,2]\left(0,2\right]
D.
[−2,−1]∪[2,3]\left[-\sqrt{2}, -1\right] \cup \left[\sqrt{2}, \sqrt{3}\right]

2007 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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