设函数 $f(x)=(x+a)\ln(x+b)$，若 $f(x)\ge 0$，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（ ）

嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\{b_n\}$：$b_1=1+\frac{1}{\alpha_1}$，$b_2=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2}}$，$b_3=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2+\frac{1}{\alpha_3}}}$，…，依此类推，其中 $\alpha_k\in\mathbf{N}^*$（$k=1$，$2$，$\dots$），则（ ）