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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求不等式组
{f(x)≤y,x+y−6≤0\begin{cases} f(x)\le y,\\ x+y-6\le0 \end{cases}
所确定的平面区域的面积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 x<0x<0 时，f(x)=2−3xf(x)=2-3x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，f(x)=x+2f(x)=x+2；当 x>2x>2 时，f(x)=3x−2f(x)=3x-2. 因此
{2−3x≤6−x,x<0,x+2≤6−x,0≤x≤2,3x−2≤6−x,x>2.\begin{cases} 2-3x\le6-x,&x<0,\\ x+2\le6-x,&0\le x\le2,\\ 3x-2\le6-x,&x>2. \end{cases}
第一种情形得 −2≤x<0-2\le x<0，第二种情形得 0≤x≤20\le x\le2，第三种情形无解，所以不等式的解集为 [−2,2][-2,2]. \item 不等式组表示的区域位于曲线 y=f(x)y=f(x) 上方、直线 y=6−xy=6-x 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为 [−2,2][-2,2]. 当 −2≤x≤0-2\le x\le0 时，上、下边界之差为 (6−x)−(2−3x)=4+2x(6-x)-(2-3x)=4+2x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，上、下边界之差为 (6−x)−(x+2)=4−2x(6-x)-(x+2)=4-2x. 因此区域面积为
∫−20(4+2x) dx+∫02(4−2x) dx=4+4=8\int_{-2}^{0}(4+2x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(4-2x)\,\mathrm{d}x=4+4=8
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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04不等式★★★★☆
嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 {bn}\{b_n\}：b1=1+1α1b_1=1+\frac{1}{\alpha_1}，b2=1+1α1+1α2b_2=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2}}，b3=1+1α1+1α2+1α3b_3=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2+\frac{1}{\alpha_3}}}，…，依此类推，其中 αk∈N∗\alpha_k\in\mathbf{N}^*（k=1k=1，22，…\dots），则（ ）
A.
b1<b5b_1<b_5
B.
b3<b8b_3<b_8
C.
b6<b2b_6<b_2
D.
b4<b7b_4<b_7

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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15不等式★★★★☆
若不等式 9−x2⩽k(x+2)−2\sqrt{9 - x^2} \leqslant k(x + 2) - \sqrt{2} 的解集为区间 [a,b][a, b]，且 b−a=2b - a = 2，则 k=k =______.

2009 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15不等式★★★★☆
若不等式 4−x2⩽k(x+1)\sqrt{4-x^{2}} \leqslant k(x+1) 的解集为区间 [a,b][a,b]，且 b−a=1b-a = 1，则 k=‾k =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 根式有意义要求 −2⩽x⩽2-2\leqslant x\leqslant2. 若 k>0k>0，当 x⩽−1x\leqslant-1 时右端不为正而左端非负，只有可能在 x=−2x=-2 时成立，但此时右端为 −k<0-k<0，仍不成立，所以解集包含于 (−1,2](-1,2]. 又 x=2x=2 对任意 k>0k>0 都满足不等式，故解集若为 [a,b][a,b]，必有 b=2b=2. 由 b−a=1b-a=1，得到 a=1a=1. 因为 11 是定义域内部的解集端点，连续函数两边的符号必须在此处改变，故在 x=1x=1 处取等号： 4−1=k(1+1)\sqrt{4-1}=k(1+1)，从而 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2}.
反向验证：当 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2} 时，解集必须满足 x>−1x>-1，且平方等价于 4−x2⩽34(x+1)24-x^{2}\leqslant\frac34(x+1)^{2}，即 7x2+6x−13⩾07x^{2}+6x-13\geqslant0，也就是 (7x+13)(x−1)⩾0(7x+13)(x-1)\geqslant0. 与 (−1,2](-1,2] 取交集，解集恰为 [1,2][1,2]，长度为 11.
若 k=0k=0，不等式只在 x=−2x=-2 或 x=2x=2 时成立，解集不是区间. 若 k<0k<0，成立时必须有 x<−1x<-1，且 −2-2 属于解集而 −1-1 不属于解集；若解集是长度为 11 的闭区间，就只能是 [−2,−1][-2,-1]，矛盾. 因而 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2mx2−2(4−m)x+1f(x) = 2mx^2 - 2(4 - m)x + 1，g(x)=mxg(x) = mx，若对于任一实数 xx，f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的值至少有一个为正数，则实数 mm 的取值范围是（ ）
A.
(0,2)(0, 2)
B.
(0,8)(0, 8)
C.
(2,8)(2, 8)
D.
(−∞,0)(-\infty, 0)

2008 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12不等式★★★★☆
已知函数 f(x)=2x2+(4−m)x+4−mf(x) = 2x^{2} + (4 - m)x + 4 - m，g(x)=mxg(x) = mx，若对于任一实数 xx，f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的值至少有一个为正数，则实数 mm 的取值范围是（ ）
A.
[−4,4][-4, 4]
B.
(−4,4)(-4, 4)
C.
(−∞,4)(- \infty, 4)
D.
(−∞,−4)(- \infty, -4)

2008 · 江西 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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17导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x=−23x = -\frac{2}{3} 与 x=1x = 1 时都取得极值.
(1) 求 aa，bb 的值与函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对 x∈[−1,2]x \in [-1, 2]，不等式 f(x)<c2f(x) < c^2 恒成立，求 cc 的取值范围.

2006 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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14不等式★★★★☆
设实数 xx，yy 满足
{x−y−2⩽0,x+2y−4>0,2y−3⩽0\begin{cases} x-y-2\leqslant 0,\\ x+2y-4>0,\\ 2y-3\leqslant 0 \end{cases}
，则 yx\frac{y}{x} 的最大值是______.

2005 · 江西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14不等式★★★★☆
设实数 xx，yy 满足
{x−y−2⩽0,x+2y−4>0,2y−3⩽0\begin{cases} x-y-2\leqslant0,\\ x+2y-4>0,\\ 2y-3\leqslant0 \end{cases}
， 则 yx\dfrac yx 的最大值是______.

2005 · 江西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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