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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 a>0a > 0，b>0b > 0，c>0c > 0，函数 f(x)=∣x+a∣+∣x−b∣+cf(x) = |x + a| + |x - b| + c 的最小值为 44.
(1) 求 a+b+ca + b + c 的值； (2) 求 14a2+19b2+c2\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}+c^{2} 的最小值.

2015 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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10不等式★★★★☆
变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩾0,x−2y+2⩾0,mx−y⩽0\begin{cases} x + y \geqslant 0,\\ x - 2y + 2 \geqslant 0,\\ mx - y \leqslant 0 \end{cases}
，若 z=2x−yz = 2x - y 的最大值为 2，则实数 mm 等于（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
1
D.
2

2015 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，点 CC 是圆 OO 上异于 AA，BB 的点，POPO 垂直于圆 OO 所在的平面，且 PO=OB=1PO = OB = 1.
(1) 若 DD 为线段 ACAC 的中点，求证：AC⊥AC \perp 平面 PDOPDO； (2) 求三棱锥 P−ABCP - ABC 体积的最大值； (3) 若 BC=2BC = \sqrt{2}，点 EE 在线段 PBPB 上，求 CE+OECE + OE 的最小值.

2015 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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12函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，两点 P1(x1,y1)P_{1}(x_{1}, y_{1})，P2(x2,y2)P_{2}(x_{2}, y_{2}) 间的 “L\mathrm{L}-距离” 定义为 ∥P1P2∥=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣\|P_1P_2\| = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|，则平面内与 xx 轴上两个不同的定点 F1F_{1}，F2F_{2} 的 “L\mathrm{L}-距离” 之和等于定值（大于 ∥F1F2∥\|F_1F_2\|）的点的轨迹可以是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 在 xx 轴上取两定点的中点为原点，设 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)、F2=(c,0)F_2=(c,0)，其中 c>0c>0. 设动点为 P=(x,y)P=(x,y)，两点的“L\mathrm{L}-距离”之和为 SS，则 S=∣x+c∣+∣y∣+∣x−c∣+∣y∣=∣x+c∣+∣x−c∣+2∣y∣S=|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=|x+c|+|x-c|+2|y|. 题设给出 S>2cS>2c. 当 ∣x∣⩽c|x|\leqslant c 时，S=2c+2∣y∣S=2c+2|y|，所以 ∣y∣=S−2c2|y|=\frac{S-2c}{2}，得到上下两条水平线段；当 ∣x∣⩾c|x|\geqslant c 时，S=2∣x∣+2∣y∣S=2|x|+2|y|，所以 ∣x∣+∣y∣=S2|x|+|y|=\frac{S}{2}，得到连接这些线段端点与左右端点的四条斜线段. 因此轨迹是左右尖、上下平的中心对称六边形，与图 A 相符. 因此选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
设不等式组
{x⩾1,x−2y+3⩾0,y⩾x\begin{cases} x \geqslant 1,\\ x - 2y + 3 \geqslant 0,\\ y \geqslant x \end{cases}
所表示的平面区域是 Ω1\Omega_1，平面区域 Ω2\Omega_2 与 Ω1\Omega_1 关于直线 3x−4y−9=03x - 4y - 9 = 0 对称. 对于 Ω1\Omega_1 中的任意点 AA 与 Ω2\Omega_2 中的任意点 BB，∣AB∣|AB| 的最小值等于（ ）
A.
285\frac{28}{5}
B.
4
C.
125\frac{12}{5}
D.
2

2010 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，圆柱 OO1O O_{1} 内有一个三棱柱 ABC−A1B1C1A B C - A_{1}B_{1}C_{1}，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 ABA B 是圆 OO 的直径.
(1) 证明：平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} ⊥\perp 平面 B1BCC1B_{1}BCC_{1}； (2) 设 AB=AA1AB = AA_{1}，在圆柱 OO1OO_{1} 内随机选取一点. 记该点取自于三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 内的概率为 pp.
(i) 当点 CC 在圆周上运动时，求 pp 的最大值； (ii) 记平面 A1ACC1A_{1}ACC_{1} 与平面 B1OCB_{1}OC 所成的角为 θ\theta （0∘<θ⩽90∘0^{\circ} < \theta \leqslant 90^{\circ}），当 pp 取最大值时，求 cos⁡θ\cos \theta 的值.

2010 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
设非空集合 S={x∣m⩽x⩽l}S = \{x \mid m \leqslant x \leqslant l\} 满足：当 x∈Sx \in S 时，有 x2∈Sx^2 \in S. 给出如下三个命题：
① 若 m=1m = 1，则 S={1}S = \{1\}； ② 若 m=−12m = -\frac{1}{2}，则 14⩽l⩽1\frac{1}{4} \leqslant l \leqslant 1； ③ 若 l=12l = \frac{1}{2}，则 −22⩽m⩽0-\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant m \leqslant 0.
其中正确命题的个数是（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2010 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，HH 分别是棱 A1B1A_{1}B_{1}，D1C1D_{1}C_{1} 上的点（点 EE 与 B1B_{1} 不重合），且 EH∥A1D1EH\parallel A_{1}D_{1}. 过 EHEH 的平面与棱 BB1BB_{1}，CC1CC_{1} 相交，交点分别为 FF，GG.
(1) 证明：AD∥AD\parallel 平面 EFGHEFGH； (2) 设 AB=2AA1=2aAB = 2AA_{1} = 2a. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 内随机选取一点. 记该点取自几何体 A1ABFE−D1DCGHA_{1}ABFE-D_{1}DCGH 内的概率为 pp，当点 EE，FF 分别在棱 A1B1A_{1}B_{1}，B1BB_{1}B 上运动且满足 EF=aEF = a 时，求 pp 的最小值.

2010 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，已知点 F(1,0)F(1, 0)，直线 l:x=−1l: x = -1，PP 为平面上的动点，过 PP 作直线 ll 的垂线，垂足为点 QQ，且 QP→⋅QF→=FP→⋅FQ→\overrightarrow{QP} \cdot \overrightarrow{QF} = \overrightarrow{FP} \cdot \overrightarrow{FQ}.
(1) 求动点 PP 的轨迹 CC 的方程. (2) 过点 FF 的直线交轨迹 CC 于 AA，BB 两点，交直线 ll 于点 MM.
(i) 已知 MA→=λ1AF→\overrightarrow{MA} = \lambda_1 \overrightarrow{AF}，MB→=λ2BF→\overrightarrow{MB} = \lambda_2 \overrightarrow{BF}，求 λ1+λ2\lambda_1 + \lambda_2 的值； (ii) 求 ∣MA→∣⋅∣MB→∣\left| \overrightarrow{MA} \right| \cdot \left| \overrightarrow{MB} \right| 的最小值.

2007 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)=2x−ax2+2f(x)=\frac{2x-a}{x^2+2}（x∈Rx\in\mathbf{R}）在区间 [−1,1][-1,1] 上是增函数.
(1) 求实数 aa 的值组成的集合 AA； (2) 设关于 xx 的方程 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} 的两个非零实根为 x1x_1，x2x_2. 试问：是否存在实数 mm，使得不等式 m2+tm+1⩾∣x1−x2∣m^2+tm+1\geqslant |x_1-x_2| 对任意 a∈Aa\in A 及 t∈[−1,1]t\in[-1,1] 恒成立？若存在，求 mm 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2004 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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