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15不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，对任意 x∈[−2,2]x\in[-2,2]，都有 (2a+b)x2+bx−a−1≤0(2a+b)x^2+bx-a-1\le0，则 2a+b2a+b 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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11平面向量★★★★☆
已知 A1A_1，A2A_2，A3A_3，A4A_4，A5A_5 五个点，满足 AnAn+1→⋅An+1An+2→=0\overrightarrow{A_nA_{n+1}}\cdot\overrightarrow{A_{n+1}A_{n+2}}=0 （n=1n=1，22，33），∣AnAn+1∣⋅∣An+1An+2∣=n+1|A_nA_{n+1}|\cdot|A_{n+1}A_{n+2}|=n+1 （n=1n=1，22，33），则 ∣A1A5∣|A_1A_5| 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=ax3−xf(x)=ax^3-x，若存在 t∈Rt\in\mathbf{R}，使得 ∣f(t+2)−f(t)∣≤23\left|f(t+2)-f(t)\right|\le\dfrac23，则实数 aa 的最大值是______.

2019 · 浙江 · 第 16 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数
f(x)={x2+2x+a−2,x≤0,−x2+2x−2a,x>0.f(x)=\begin{cases} x^2+2x+a-2, & x\le0,\\ -x^2+2x-2a, & x>0. \end{cases}
若对任意 x∈[−3,+∞)x\in[-3,+\infty)，f(x)≤∣x∣f(x)\le|x| 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2018 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，则 a4+4b4+1ab\dfrac{a^4+4b^4+1}{ab} 的最小值为______.

2017 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，ab>0ab>0，则 a4+4b4+1ab\dfrac{a^4+4b^4+1}{ab} 的最小值为______.

2017 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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17函数与初等函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=∣x+4x−a∣+af(x)=\left|x+\dfrac{4}{x}-a\right|+a 在区间 [1,4][1,4] 上的最大值是 5，则 aa 的取值范围是______.

2017 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
在锐角三角形 ABCABC 中，若 sin⁡A=2sin⁡Bsin⁡C\sin A=2\sin B\sin C，则 tan⁡Atan⁡Btan⁡C\tan A\tan B\tan C 的最小值是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2016 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★★☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，AB=BC=2AB=BC=2，∠ABC=120∘\angle ABC=120^\circ. 若平面 ABCABC 外的点 PP 和线段 ACAC 上的点 DD，满足 PD=DAPD=DA，PB=BAPB=BA，则四面体 PBCDPBCD 的体积的最大值是______.

2016 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14平面向量★★★★☆
在等腰梯形 ABCDABCD 中，已知 AB∥DCAB \parallel DC，AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. 动点 EE 和 FF 分别在线段 BCBC 和 DCDC 上，且 BE→=λBC→\overrightarrow{BE} = \lambda \overrightarrow{BC}，DF→=19λDC→\overrightarrow{DF} = \frac{1}{9\lambda}\overrightarrow{DC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} 的最小值为______.

2015 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14不等式★★★★☆
若实数 xx，yy 满足 x2+y2⩽1x^{2} + y^{2} \leqslant 1，则 ∣2x+y−2∣+∣6−x−3y∣\left|2x + y - 2\right| + \left|6 - x - 3y\right| 的最小值是______.

2015 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14不等式★★★★☆
已知实数 xx，yy 满足 x2+y2⩽1x^2+y^2\leqslant1，则 ∣2x+y−4∣+∣6−x−3y∣|2x+y-4|+|6-x-3y| 的最大值是______.

2015 · 浙江 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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17函数与初等函数★★★★☆
aa 为实数，函数 f(x)=∣x2−ax∣f(x)=|x^2-ax| 在区间 [0,1][0,1] 上的最大值记为 g(a)g(a). 当 a=a=______ 时，g(a)g(a) 的值最小.

2015 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
对于 c>0c > 0，当非零实数 aa，bb 满足 4a2−2ab+4b2−c=04a^2 - 2ab + 4b^2 - c = 0 且使 ∣2a+b∣|2a + b| 最大时，3a−4b+5c\frac{3}{a} - \frac{4}{b} + \frac{5}{c} 的最小值为______.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，某人在垂直于水平地面 ABCABC 的墙前面的点 AA 处进行射击训练. 已知点 AA 到墙面的距离为 ABAB，某目标点 PP 沿墙面上的射线 CMCM 移动，此人为了准确瞄准目标点 PP，需计算由点 AA 观察点 PP 的仰角 θ\theta 的大小. 若 AB=15 mAB = 15\ \mathrm{m}，AC=25 mAC = 25\ \mathrm{m}，∠BCM=30∘\angle BCM = 30^\circ，则 tan⁡θ\tan\theta 的最大值是______.（仰角 θ\theta 为直线 APAP 与平面 ABCABC 所成角）

2014 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★★☆
已知函数 y=f(x)y = f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）. 对函数 y=g(x)y = g(x) （x∈Ix \in I），定义 g(x)g(x) 关于 f(x)f(x) 的“对称函数”为函数 y=h(x)y = h(x) （x∈Ix \in I），y=h(x)y = h(x) 满足：对任意 x∈Ix \in I，两个点 (x,h(x))(x, h(x))，(x,g(x))(x, g(x)) 关于点 (x,f(x))(x, f(x)) 对称. 若 h(x)h(x) 是 g(x)=4−x2g(x) = \sqrt{4 - x^2} 关于 f(x)=3x+bf(x) = 3x + b 的“对称函数”，且 h(x)>g(x)h(x) > g(x) 恒成立，则实数 bb 的取值范围是______.

2014 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，过定点 AA 的动直线 x+my=0x + my = 0 和过定点 BB 的动直线 mx−y−m+3=0mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x,y)P(x, y)，则 ∣PA∣⋅∣PB∣|PA| \cdot |PB| 的最大值是______.

2014 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★★★☆
设 aa，bb，mm，n∈Rn \in \mathbf{R}，且 a2+b2=5a^2 + b^2 = 5，ma+nb=5ma + nb = 5，则 m2+n2\sqrt{m^{2} + n^{2}} 的最小值为______. \begin{answer} 5\sqrt{5} \end{answer} \begin{solution} 由柯西不等式，
5=ma+nb⩽m2+n2a2+b2=5m2+n25=ma+nb\leqslant\sqrt{m^2+n^2}\sqrt{a^2+b^2} =\sqrt5\sqrt{m^2+n^2}
所以 m2+n2⩾5\sqrt{m^2+n^2}\geqslant\sqrt5. 当 m=am=a，n=bn=b 时，题设两式均成立，且 m2+n2=5\sqrt{m^2+n^2}=\sqrt5，故最小值为 5\sqrt5. \end{solution}

2014 · 陕西 · 文 · 第 15 题（A） · 填空题

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14不等式★★★★☆
设 a+b=2a + b = 2，b>0b > 0，则 12∣a∣+∣a∣b\frac{1}{2|a|} + \frac{|a|}{b} 的最小值为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
设 aa 为实常数，y=f(x)y=f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x<0x<0 时， f(x)=9x+a2x+7f(x)=9x+\frac{a^2}{x}+7. 若 f(x)⩾a+1f(x)\geqslant a+1 对一切 x⩾0x\geqslant 0 成立，则 aa 的取值范围为______. \begin{answer} (−∞,−87]\left(-\infty,-\frac{8}{7}\right] \end{answer}
\begin{solution} 奇函数满足 f(0)=0f(0)=0，由题设不等式在 x=0x=0 时得 0⩾a+10\geqslant a+1，即 a⩽−1a\leqslant-1，所以 a<0a<0. 当 x>0x>0 时，由奇性和题设中负数部分的表达式，
f(x)=−f(−x)=9x+a2x−7f(x)=-f(-x)=9x+\frac{a^2}{x}-7
故所需条件等价于 9x+a2x⩾a+89x+\frac{a^2}{x}\geqslant a+8，x>0x>0. 因为 a<0a<0，由基本不等式
9x+a2x⩾29x⋅a2x=6∣a∣=−6a9x+\frac{a^2}{x}\geqslant2\sqrt{9x\cdot\frac{a^2}{x}}=6|a|=-6a
且在 x=−a3>0x=\frac{-a}{3}>0 时取等号. 因此上式对所有 x>0x>0 成立，当且仅当
−6a⩾a+8-6a\geqslant a+8
即 a⩽−87a\leqslant-\frac87. 该范围自动满足 a⩽−1a\leqslant-1，所以
a∈(−∞,−87]a\in\left(-\infty,-\frac87\right]
\end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设定点 A(a,a)A(a,a)，PP 是函数 y=1xy=\frac{1}{x}（x>0x>0）图象上一动点. 若点 PP，AA 之间的最短距离为 222\sqrt2，则满足条件的实数 aa 的所有值为______.

2013 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，若 x⩾0x \geqslant 0 时恒有 0⩽x4−x3+ax+b⩽(x2−1)20 \leqslant x^4 - x^3 + ax + b \leqslant (x^2 - 1)^2，则 ab=ab =______.

2013 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=∣x2−1∣x−1y = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} 的图象与函数 y=kx−2y = kx - 2 的图象恰有两个交点，则实数 kk 的取值范围是______.

2012 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
已知正数 aa，bb，cc 满足 5c−3a⩽b⩽4c−a5c-3a \leqslant b \leqslant 4c-a，cln⁡b⩾a+cln⁡cc \ln b \geqslant a + c \ln c，则 ba\frac{b}{a} 的取值范围是______.

2012 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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17不等式★★★★☆
设 a∈Ra \in \mathbf{R}，若 x>0x > 0 时均有 [(a−1)x−1](x2−ax−1)⩾0[(a - 1)x - 1](x^2 - ax - 1) \geqslant 0，则 a=a =______.

2012 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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