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19不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2+ax+3f(x)=x^2+ax+3，g(x)=4x+1x2g(x)=4x+\frac{1}{x^2}.
(1) 解不等式 f(x)+1x2>g(x)f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)； (2) a≠0a\neq 0. l1l_1 是 f(x)f(x) 在点 (0,3)\left( 0,3 \right) 处的切线，l2l_2 是过点 (0,3)\left( 0,3 \right) 且垂直于 l1l_1 的直线. g(x)g(x) 与 l1l_1，l2l_2 在第一象限内均无公共点，求 aa 的取值范围.

2026 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
实数 aa，bb 满足 a+b≥3a+b\ge 3.
(1) 证明：2a2+2b2>a+b2a^2+2b^2>a+b； (2) 证明：∣a−2b2∣+∣b−2a2∣≥6|a-2b^2|+|b-2a^2|\ge 6.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知实数 aa，bb 满足 a+b≥3a+b\ge3.
(1) 证明：2a2+2b2>a+b2a^2+2b^2>a+b； (2) 证明：∣a−2b2∣+∣b−2a2∣≥6|a-2b^2|+|b-2a^2|\ge6.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡2xf(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^2x}，x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)+sin⁡x<0f(x)+\sin x<0，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求不等式组
{f(x)≤y,x+y−6≤0\begin{cases} f(x)\le y,\\ x+y-6\le0 \end{cases}
所确定的平面区域的面积.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 x<0x<0 时，f(x)=2−3xf(x)=2-3x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，f(x)=x+2f(x)=x+2；当 x>2x>2 时，f(x)=3x−2f(x)=3x-2. 因此
{2−3x≤6−x,x<0,x+2≤6−x,0≤x≤2,3x−2≤6−x,x>2.\begin{cases} 2-3x\le6-x,&x<0,\\ x+2\le6-x,&0\le x\le2,\\ 3x-2\le6-x,&x>2. \end{cases}
第一种情形得 −2≤x<0-2\le x<0，第二种情形得 0≤x≤20\le x\le2，第三种情形无解，所以不等式的解集为 [−2,2][-2,2]. \item 不等式组表示的区域位于曲线 y=f(x)y=f(x) 上方、直线 y=6−xy=6-x 下方. 由第（1）问，区域的横坐标范围为 [−2,2][-2,2]. 当 −2≤x≤0-2\le x\le0 时，上、下边界之差为 (6−x)−(2−3x)=4+2x(6-x)-(2-3x)=4+2x；当 0≤x≤20\le x\le2 时，上、下边界之差为 (6−x)−(x+2)=4−2x(6-x)-(x+2)=4-2x. 因此区域面积为
∫−20(4+2x) dx+∫02(4−2x) dx=4+4=8\int_{-2}^{0}(4+2x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(4-2x)\,\mathrm{d}x=4+4=8
\end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 Γ:y2=4x\Gamma:y^2=4x，第一象限内点 AA 在 Γ\Gamma 上，AA 的纵坐标是 aa.
(1) 若 AA 到准线的距离为 33，求 aa； (2) 若 a=4a=4，BB 在 xx 轴上，且线段 ABAB 的中点在 Γ\Gamma 上，求点 BB 的坐标及坐标原点 OO 到直线 ABAB 的距离； (3) 直线 l:x=−3l:x=-3，令 PP 是第一象限 Γ\Gamma 上异于 A 的一点，直线 APAP 交 ll 于 QQ，HH 是 PP 在 ll 上的投影，若点 A 满足“对于任意 PP 都有 ∣HQ∣>4\left|HQ\right|>4”，求 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 均为正数，且 a2+b2+4c2=3a^2+b^2+4c^2=3，证明：
(1) a+b+2c≤3a+b+2c\le 3； (2) 若 b=2cb=2c，则 1a+1c≥3\frac1a+\frac1c\ge 3.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 均为正数，且 a2+b2+4c2=3a^2+b^2+4c^2=3，证明：
(1) a+b+2c≤3a+b+2c\le3； (2) 若 b=2cb=2c，则 1a+1c≥3\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge3.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
如图，矩形 ABCDABCD 区域内，DD 处有一棵古树，为保护古树，以 DD 为圆心，DADA 为半径划定圆 DD 作为保护区域，已知 AB=30 mAB=30\mathrm{~m}，AD=15 mAD=15\mathrm{~m}，点 EE 为 ABAB 上的动点，点 FF 为 CDCD 上的动点，满足 EFEF 与圆 DD 相切.
(1) 若 ∠ADE=20∘\angle ADE=20^\circ，求 EFEF 的长； (2) 当点 EE 在 ABAB 的什么位置时，梯形 FEBCFEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到 0.1 m0.1\mathrm{~m}，面积精确到 0.01 m20.01\mathrm{~m}^2）

2022 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
在椭圆 Γ:x2a2+y2=1\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1 中，直线 l:x=al:x=a 上有两点 CC，DD（CC 点在第一象限），左顶点为 AA，下顶点为 BB，右焦点为 FF.
(1) 若 ∠AFB=π6\angle AFB=\dfrac\pi6，求椭圆 Γ\Gamma 的标准方程； (2) 若点 CC 的纵坐标为 22，点 DD 的纵坐标为 11，则 BCBC 与 ADAD 的交点是否在椭圆上？请说明理由； (3) 已知直线 BCBC 与椭圆 Γ\Gamma 相交于点 PP，直线 ADAD 与椭圆 Γ\Gamma 相交于点 QQ，若 PP 与 QQ 关于原点对称，求 ∣CD∣\lvert CD\rvert 的最小值.

2022 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2ln⁡x+1f(x)=2\ln x+1.
(1) 若 f(x)≤2x+cf(x)\le 2x+c，求 cc 的取值范围； (2) 设 a>0a>0，讨论函数 g(x)=f(x)−f(a)x−ag(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 的单调性.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知函数 f(x)=∣x−a2∣+∣x−2a+1∣f(x)=\lvert x-a^2\rvert+\lvert x-2a+1\rvert.
(1) 当 a=2a=2 时，求不等式 f(x)≥4f(x)\ge 4 的解集； (2) 若 f(x)≥4f(x)\ge 4，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
设 aa，bb，c∈Rc\in \mathbf{R}，a+b+c=0a+b+c=0，abc=1abc=1.
(1) 证明：ab+bc+ca<0ab+bc+ca<0； (2) 用 max⁡{a,b,c}\max\{a,b,c\} 表示 aa，bb，cc 中的最大值，证明：max⁡{a,b,c}≥43\max\{a,b,c\}\ge \sqrt[3]{4}.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
设 aa，bb，c∈Rc\in \mathbf{R}，a+b+c=0a+b+c=0，abc=1abc=1.
(1) 证明：ab+bc+ca<0ab+bc+ca<0； (2) 用 max⁡{a,b,c}\max\{a,b,c\} 表示 aa，bb，cc 中的最大值，证明：max⁡{a,b,c}≥43\max\{a,b,c\}\ge \sqrt[3]{4}.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=∣x−a∣x+∣x−2∣(x−a)f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)<0f(x)<0 的解集； (2) 当 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时，f(x)<0f(x)<0，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=∣x−a∣x+∣x−2∣(x−a)f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)<0f(x)<0 的解集； (2) 若 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时，f(x)<0f(x)<0，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
设 xx，yy，z∈Rz\in\mathbf{R}，且 x+y+z=1x+y+z=1.
(1) 求 (x−1)2+(y+1)2+(z+1)2(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 的最小值； (2) 若 (x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥13(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\ge\dfrac13 成立，证明：a≤−3a\le-3 或 a≥−1a\ge-1.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
设 a>0a>0，函数 f(x)=11+a⋅2xf(x)=\frac{1}{1+a\cdot2^x}.
(1) 若 a=1a=1，求 f(x)f(x) 的反函数 f−1(x)f^{-1}(x)； (2) 求函数 y=f(x)⋅f(−x)y=f(x)\cdot f(-x) 的最大值（用 aa 表示）； (3) 设 g(x)=f(x)−f(x−1)g(x)=f(x)-f(x-1)，若对任意 x∈(−∞,0]x\in(-\infty,0]，g(x)≥g(0)g(x)\ge g(0) 恒成立，求 aa 取值范围.

2018 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知函数 f(x)=−x2+ax+4f(x)=-x^2+ax+4，g(x)=∣x+1∣+∣x−1∣g(x)=\lvert x+1\rvert+\lvert x-1\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 的解集； (2) 若不等式 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 的解集包含 [−1,1][-1,1]，求 aa 的取值范围.

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 a>0a>0，b>0b>0，a3+b3=2a^3+b^3=2. 证明：
(1) (a+b)(a5+b5)≥4(a+b)(a^5+b^5)\ge 4； (2) a+b≤2a+b\le 2.

2017 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 a>0a>0，b>0b>0，a3+b3=2a^3+b^3=2. 证明：
(1) (a+b)(a5+b5)≥4(a+b)(a^5+b^5)\ge4； (2) a+b≤2a+b\le2.

2017 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知函数 f(x)=∣x+1∣−∣x−2∣f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≥1f(x)\ge 1 的解集； (2) 若不等式 f(x)≥x2−x+mf(x)\ge x^2-x+m 的解集非空，求 mm 的取值范围.

2017 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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22指数函数与对数函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=log⁡2 ⁣(1x+a)f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right).
(1) 当 a=5a=5 时，解不等式 f(x)>0f(x)>0； (2) 若关于 xx 的方程 f(x)−log⁡2[(a−4)x+2a−5]=0f(x)-\log_2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰有一个元素，求 aa 的取值范围； (3) 设 a>0a>0，若对任意 t∈[12,1]t\in\left[\dfrac12,1\right]，函数 f(x)f(x) 在区间 [t,t+1][t,t+1] 上的最大值和最小值的差不超过 11，求 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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18不等式★★★★☆
已知 a≥3a\ge 3，函数 F(x)=min⁡{2∣x−1∣,x2−2ax+4a−2}F(x)=\min\{2|x-1|,x^2-2ax+4a-2\}，其中
min⁡(p,q)={p,p≤q,q,p>q.\min(p,q)=\begin{cases} p, & p\le q,\\ q, & p>q. \end{cases}
(1) 求使得等式 F(x)=x2−2ax+4a−2F(x)=x^2-2ax+4a-2 成立的 xx 的取值范围； (2) (i) 求 F(x)F(x) 的最小值 m(a)m(a)； (ii) 求 F(x)F(x) 在 [0,6][0,6] 上的最大值 M(a)M(a).

2016 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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