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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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10概率与统计★★★★☆
某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立. 已知该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，且 p3>p2>p1>0p_3>p_2>p_1>0. 记该棋手连胜两盘的概率为 pp，则（ ）
A.
pp 与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关
B.
该棋手在第二盘与甲比赛，pp 最大
C.
该棋手在第二盘与乙比赛，pp 最大
D.
该棋手在第二盘与丙比赛，pp 最大

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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19概率与统计★★★★☆
甲，乙，丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲，乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求甲连胜四场的概率； (2) 求需要进行第五场比赛的概率； (3) 求丙最终获胜的概率.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 1010 分钟，如果前一个人 1010 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人. 现在一共只有甲，乙，丙三个人可派. 他们各自能完成任务的概率分别 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3}. 假设 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3} 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(1) 如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率. 若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ (2) 若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 q1q_{1}，q2q_{2}，q3q_{3}，其中 q1q_{1}，q2q_{2}，q3q_{3} 是 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3} 的一个排列. 求所需派出人员数目 XX 的分布列和均值（数学期望）E(X)E(X)； (3) 假定 1>p1>p2>p31 > p_{1} > p_{2} > p_{3}，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.

2011 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★☆
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一般通常采用的测试方法如下：拿出 nn 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 nn 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设 n=4n = 4，分别以 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4} 表示第一次排序时被排为 11，22，33，44 的四种酒在第二次排序时的序号，并令 X=∣1−a1∣+∣2−a2∣+∣3−a3∣+∣4−a4∣X = |1 - a_{1}| + |2 - a_{2}| + |3 - a_{3}| + |4 - a_{4}|，则 XX 是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1) 写出 XX 的可能值集合； (2) 假设 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4} 等可能地为 11，22，33，44 的各种排列，求 XX 的分布列； (3) 某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 X⩽2X \leqslant 2，
(i) 试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率 （假定各轮测试相互独立）； (ii) 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？ 说明理由.

2010 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个装有 6 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有 8 只蝇子：6 只果蝇和 2 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞. 直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔. 以 ξ\xi 表示笼内还剩下的果蝇的只数.
(1) 写出 ξ\xi 的分布列（不要求写出计算过程）. (2) 求数学期望 E(ξ)E(\xi). (3) 求概率 P(ξ⩾E(ξ))P(\xi \geqslant E(\xi)).

2007 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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