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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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2115分概率与统计★★★★☆
甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.60.6，乙每次投篮的命中率均为 0.80.8. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 0.50.5.
(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 ii 次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量 XiX_i 服从两点分布，且 P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qiP(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i， i=1\ i=1，22，…\dots，nn，则 E(∑i=1nXi)=∑i=1nqiE\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i. 记前 nn 次（即从第 11 次到第 nn 次）投篮中甲投篮的次数为 YY，求 E(Y)E(Y).

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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126分概率与统计★★★★☆
信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 XX 所有可能的取值为 11，22，⋯\cdots，nn，且 P(X=i)=pi>0P(X=i)=p_i>0（i=1i=1，22，⋯\cdots，nn），∑i=1npi=1\sum_{i=1}^{n}p_i=1，定义 XX 的信息熵 H(X)=−∑i=1npilog⁡2piH(X)=-\sum_{i=1}^{n}p_i\log_2 p_i. （ ）
A.
若 n=1n=1，则 H(X)=0H(X)=0
B.
若 n=2n=2，则 H(X)H(X) 随着 p1p_1 的增大而增大
C.
若 pi=1np_i=\dfrac{1}{n}（i=1i=1，22，⋯\cdots，nn），则 H(X)H(X) 随着 nn 的增大而增大
D.
若 n=2mn=2m，随机变量 YY 所有可能的取值为 11，22，⋯\cdots，mm，且 P(Y=j)=pj+p2m+1−jP(Y=j)=p_j+p_{2m+1-j}（j=1j=1，22，⋯\cdots，mm），则 H(X)≤H(Y)H(X)\le H(Y)

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 A，B，C，D 四个问题，规则如下：
(1) 每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 A，B，C，D 分别加 1 分，2 分，3 分，6 分，答错任一题减 2 分； (2) 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局； (3) 每位参加者按问题 A，B，C，D 顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题 A，B，C，D 回答正确的概率依次为 34\frac{3}{4}，12\frac{1}{2}，13\frac{1}{3}，14\frac{1}{4}，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1) 求甲同学能进入下一轮的概率； (2) 用 ξ\xi 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 E(ξ)E(\xi).

2010 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3 次3\text{ 次}；在 AA 处每投进一球得3 分3\text{ 分}，在 BB 处每投进一球得2 分2\text{ 分}；如果前两次得分之和超过3 分3\text{ 分}即停止投篮，否则投第3 次3\text{ 次}. 某同学在 AA 处的命中率 q1q_1 为 0.250.25，在 BB 处的命中率为 q2q_2，该同学选择先在 AA 处投一球，以后都在 BB 处投，用 ξ\xi 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
ξ\xi0022334455
(1) 求 q2q_2 的值； (2) 求随机变量 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)E(\xi)； (3) 试比较该同学选择都在 BB 处投篮得分超过3 分3\text{ 分}与选择上述方式投篮得分超过3 分3\text{ 分}的概率的大小.

2009 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18概率与统计★★★★☆
甲，乙两队参加奥运知识竞赛，每队 33 人，每人回答一个问题. 答对者为本队赢得一分，答错得零分. 假设甲队中每人答对的概率均为 23\frac{2}{3}，乙队中 33 人答对的概率分别为 23\frac{2}{3}，23\frac{2}{3}，12\frac{1}{2} 且各人正确与否相互之间没有影响. 用 ξ\xi 表示甲队的总得分.
(1) 求随机变量 ξ\xi 分布列和数学期望； (2) 用 AA 表示“甲，乙两个队总得分之和等于 33”这一事件，用 BB 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P(AB)P(AB).

2008 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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