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145分概率与统计★★★★☆

甲，乙两人各有四张卡片，甲为

\{1,3,5,7\}

\{2,4,6,8\}

. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得

1

分，先小者得

0

分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于

2

的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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2115分概率与统计★★★★☆

甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为

0.6

，乙每次投篮的命中率均为

0.8

. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为

0.5

(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第

i

次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量

X_i

服从两点分布，且

P(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i

\ i=1

2

\dots

n

E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i

n

次（即从第

1

n

次）投篮中甲投篮的次数为

Y

E(Y)

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★☆

在平面直角坐标系

xOy

中，设点集

A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}

B_n=\{(0,1),(n,1)\}

C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}

n\in\mathbf{N}^*

M_n=A_n\cup B_n\cup C_n

M_n

中任取两个不同的点，用随机变量

X

表示它们之间的距离.

n=1

X

的概率分布； (2) 对给定的正整数

n

n\ge 3

），求概率

P(X\le n)

n

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★☆

已知一个口袋有

m

n

m

n\in \mathbf{N}^*

n\ge 2

），这些球除颜色外全部相同. 现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为

1

2

3

\ldots

m+n

的抽屉内，其中第

k

次取出的球放入编号为

k

k=1

2

3

\ldots

m+n

(1) 试求编号为

2

的抽屉内放的是黑球的概率

p

； (2) 随机变量

X

表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，

E(X)

X

的数学期望，证明

E(X)<\dfrac{n}{(m+n)(n-1)}

2017 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆

对于正整数

n\ge2

T_n

x

的一元二次方程

x^2+2ax+b=0

有实数根的有序数组

(a,b)

的组数，其中

a

b\in\{1,2,\cdots,n\}

a

b

可以相等）；对于随机选取的

a

b\in\{1,2,\cdots,n\}

a

b

可以相等），记

P_n

x

的一元二次方程

x^2+2ax+b=0

有实数根的概率.

T_{n^2}

P_{n^2}

； (2) 求证：对任意正整数

n\ge2

P_n>1-\frac{1}{\sqrt n}

2009 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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10计数原理与组合数学★★★★☆

图中有一个信号源和五个接收器. 接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号. 若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组. 将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（）

\frac{4}{45}

\frac{1}{36}

\frac{4}{15}

\frac{8}{15}

2006 · 江苏 · 第 10 题 · 选择题

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