甲，乙两人各有四张卡片，甲为 $\{1,3,5,7\}$，乙为 $\{2,4,6,8\}$. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 $1$ 分，先小者得 $0$ 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 $2$ 的概率是______.

某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立. 已知该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为 $p_1$，$p_2$，$p_3$，且 $p_3>p_2>p_1>0$. 记该棋手连胜两盘的概率为 $p$，则（ ）

甲，乙，丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲，乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求甲连胜四场的概率； (2) 求需要进行第五场比赛的概率； (3) 求丙最终获胜的概率.

某工厂的某种产品成箱包装，每箱 $200\text{ 件}$，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 $20\text{ 件}$ 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 $p$（$0<p<1$），且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1) 记 $20\text{ 件}$ 产品中恰有 $2\text{ 件}$ 不合格品的概率为 $f(p)$，求 $f(p)$ 的最大值点 $p_0$； (2) 现对一箱产品检验了 $20\text{ 件}$，结果恰有 $2\text{ 件}$ 不合格品，以（1）中确定的 $p_0$ 作为 $p$ 的值. 已知每件产品的检验费用为 $2\text{ 元}$，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 $25\text{ 元}$ 的赔偿费用.

(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 $X$，求 $EX$； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？