甲，乙两人各有四张卡片，甲为 $\{1,3,5,7\}$，乙为 $\{2,4,6,8\}$. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 $1$ 分，先小者得 $0$ 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 $2$ 的概率是______.

甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $0.6$，乙每次投篮的命中率均为 $0.8$. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 $0.5$.

(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量 $X_i$ 服从两点分布，且 $P(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i$，$\ i=1$，$2$，$\dots$，$n$，则 $E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i$. 记前 $n$ 次（即从第 $1$ 次到第 $n$ 次）投篮中甲投篮的次数为 $Y$，求 $E(Y)$.

在平行四边形 $ABCD$ 中，$O$ 是 $AC$ 与 $BD$ 的交点，$P$，$Q$，$M$，$N$ 分别是线段 $OA$，$OB$，$OC$，$OD$ 的中点. 在 $A$，$P$，$M$，$C$ 中任取一点记为 $E$，在 $B$，$Q$，$N$，$D$ 中任取一点记为 $F$. 设 $G$ 为满足向量 $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF}$ 的点，则在上述的点 $G$ 组成的集合中的点，落在平行四边形 $ABCD$ 外（不含边界）的概率为______.

\begin{answer} $\frac{3}{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 以 $O$ 为原点，设 $\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$， $\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$. 由于平行四边形的对角线互相平分， $\overrightarrow{OC}=-\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{b}$. 所以 $E$ 对应的系数只能是 $1$，$\frac12$，$-\frac12$，$-1$，即 $\overrightarrow{OE}=s\boldsymbol{a}$，其中 $s\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}$. 同理 $\overrightarrow{OF}=t\boldsymbol{b}$，其中 $t\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}$. 因而

在基底 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 下，平行四边形 $ABCD$ 的四个顶点为 $(1,0)$，$(0,1)$，$(-1,0)$，$(0,-1)$，其内部及边界为 $|s|+|t|\leqslant1$. 当且仅当 $|s|=|t|=\frac12$ 时，$|s|+|t|=1$，对应 $2\times2=4$ 个选择，所得点在边界上，不计入外部. 其余 $16-4=12$ 个选择满足 $|s|+|t|>1$，所得点在平行四边形外部.

因此所求概率为 \end{solution}

一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球. 已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 $\frac{7}{9}$.

(1) 若袋中共有 10 个球，

(i) 求白球的个数； (ii) 从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 $\xi$，求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E(\xi)$. (2) 求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 $\frac{7}{10}$，并指出袋中哪种颜色的球个数最少.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item 设白球有 $w$ 个.两球中没有白球的概率为 $1-\frac79=\frac29$，故 于是 $(10-w)(9-w)=20$，解得 $w=5$ 或 $w=14$.由 $0\leqslant w\leqslant10$，得白球有 $5$ 个. \item 设第 $i$ 次摸到白球的指示变量为 $I_i$，则 $\xi=I_1+I_2+I_3$.每次摸球得到白球的概率为 $\frac5{10}$，所以由数学期望的线性性质， \end{enumerate} \item 设袋中共有 $N$ 个球，黑、白、红球数分别为 $K$，$W$，$R$.由 $\frac KN=\frac25$，可设 $N=5m$，$K=2m$，其中 $m$ 为正整数.两球中没有白球的概率为 $\frac29$.令非白球数 $X=K+R=N-W$，则 两球中至少有一个黑球的概率为 又因为 $m\geqslant1$， 而右边移到左边后为 $15m(m-1)\geqslant0$.因此至少得到一个黑球的概率不大于 $\frac7{10}$.

还需比较三种球的个数.若 $X\geqslant\frac{7m}{2}$，则 因为两边之差为 $\frac{m(241m-86)}{36}>0$，这与上面的等式矛盾.因此 $X<\frac{7m}{2}$.于是 $R=X-2m<\frac{3m}{2}<2m=K$，并且 $W-R=7m-2X>0$.所以红球数同时少于黑球数和白球数，红球最少. \end{enumerate} \end{solution}

甲，乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 $2$ 个红球，$2$ 个白球，乙袋装有 $2$ 个红球，$n$ 个白球. 现从甲，乙两袋中各任取 $2$ 个球.

(1) 若 $n = 3$，求取到的 $4$ 个球全是红球的概率； (2) 若取到的 $4$ 个球中至少有 $2$ 个红球的概率为 $\frac{3}{4}$，求 $n$.

袋子 $A$ 和 $B$ 中装有若干个均匀的红球和白球，从 $A$ 中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$，从 $B$ 中摸出一个红球的概率为 $p$.

(1) 从 $A$ 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 $3$ 次摸到红球即停止.

(i) 求恰好摸 $5$ 次停止的概率； (ii) 记 $5$ 次之内（含 $5$ 次）摸到红球的次数为 $\xi$，求随机变量 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E(\xi)$； (2) 若 $A$，$B$ 两个袋子中的球数之比为 $1:2$，将 $A$，$B$ 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 $\frac{2}{5}$，求 $p$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设一次摸到红球和白球的概率分别为 $r=\frac13$，$w=\frac23$. \begin{enumerate} \item 恰好第 $5$ 次停止，等价于前 $4$ 次恰有 $2$ 次摸到红球且第 $5$ 次摸到红球. 因此

\item 当 $\xi=0$，$1$，$2$ 时，在前 $5$ 次中分别恰有 $0$，$1$，$2$ 次红球，故 当 $\xi=3$ 时，第三次红球在第 $3$，$4$ 或 $5$ 次出现，所以 所以分布列为 且 \end{enumerate}

\item 设袋子 $A$ 中有 $N$ 个球，则袋子 $B$ 中有 $2N$ 个球. 两袋合并后红球总数为 $\frac N3+2Np$，球总数为 $3N$. 由题意 $\frac{\frac N3+2Np}{3N}=\frac25$，$\Longrightarrow$，$\frac19+\frac{2p}{3}=\frac25$. 解得 $p=\frac{13}{30}$. \end{enumerate} \end{solution}