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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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2115分概率与统计★★★★☆
甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.60.6，乙每次投篮的命中率均为 0.80.8. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 0.50.5.
(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 ii 次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量 XiX_i 服从两点分布，且 P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qiP(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i， i=1\ i=1，22，…\dots，nn，则 E(∑i=1nXi)=∑i=1nqiE\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i. 记前 nn 次（即从第 11 次到第 nn 次）投篮中甲投篮的次数为 YY，求 E(Y)E(Y).

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
甲，乙，丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲，乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求甲连胜四场的概率； (2) 求需要进行第五场比赛的概率； (3) 求丙最终获胜的概率.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A，B 两种奶制品. 生产 11 吨 A 产品需鲜牛奶 22 吨，使用设备 11 小时，获利 10001000 元；生产 11 吨 B 产品需鲜牛奶 1.51.5 吨，使用设备 1.51.5 小时，获利 12001200 元. 要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 22 倍，设备每天生产 A，B 两种产品时间之和不超过 1212 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 WW（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 ZZ（单位：元）是一个随机变量.
(1) 求 ZZ 的分布列和均值； (2) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 33 天中至少有 11 天的最大获利超过 1000010000 元的概率.

2015 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
假设每天从甲地去乙地的旅客人数 XX 是服从正态分布 N(800,502)N(800,50^{2}) 的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 P0P_{0}.
(1) 求 P0P_{0} 的值；（参考数据：若 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^{2})，有 P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6826P(\mu - \sigma < X \leqslant \mu + \sigma) = 0.6826，P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9544P(\mu - 2\sigma < X \leqslant \mu + 2\sigma) = 0.9544，P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9974P(\mu - 3\sigma < X \leqslant \mu + 3\sigma) = 0.9974） (2) 某客运公司用 AA，BB 两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，AA，BB 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 BB 型车不多于 AA 型车 7 辆. 若每天要以不小于 p0p_0 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 AA 型车，BB 型车各多少辆？

2013 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
以平行六面体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率 pp 为（ ）
A.
367385\frac{367}{385}
B.
376385\frac{376}{385}
C.
192385\frac{192}{385}
D.
18385\frac{18}{385}

2005 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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21概率与统计★★★★☆
某会议室用 55 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同. 假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为 11 年以上的概率为 p1p_1，寿命为 22 年以上的概率为 p2p_2. 从使用之日起每满 11 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.
(1) 在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换 22 只灯泡的概率； (2) 在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； (3) 当 p1=0.8p_1 = 0.8，p2=0.3p_2 = 0.3 时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换 44 只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.

2005 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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