某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 $3\text{ 次}$，若 $3\text{ 次}$都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 $0\text{ 分}$；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 $3\text{ 次}$，每次投中得 $5\text{ 分}$，未投中得 $0\text{ 分}$，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲，乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 $p$，乙每次投中的概率为 $q$，各次投中与否相互独立.

(1) 若 $p=0.4$，$q=0.5$，甲参加第一阶段比赛，求甲，乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率； (2) 假设 $0<p<q$，

(i) 为使得甲，乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ii) 为使得甲，乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

某艺校在一天的 $6$ 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 $1$ 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 $1$ 节艺术课的概率为______.

\begin{answer} $\frac{3}{5}$ \end{answer}

\begin{solution} 只考虑文化课和艺术课的类别排列即可. 三节文化课的位置从六个位置中选取，基本事件总数为 设三节文化课之间的三段艺术课数分别为 $g_{1}$，$g_{2}$，并令两端的艺术课数为 $g_{0}$，$g_{3}$. 则 $g_{0}+g_{1}+g_{2}+g_{3}=3$，$g_{1}$，$g_{2}\in\{0,1\}$. 当 $(g_{1},g_{2})=(0,0)$ 时有 $4$ 种；当恰有一个为 $1$ 时有 $3+3=6$ 种；当 $(g_{1},g_{2})=(1,1)$ 时有 $2$ 种. 所以符合条件的排列有 $4+6+2=12$ 种，所求概率为 \end{solution}