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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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16概率与统计★★★★☆
有 6 个6\text{ 个} 相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中不放回地随机抽取 3 次3\text{ 次}，每次取 1 个1\text{ 个} 球. 记 mm 为前两次取出的球上数字的平均值，nn 为取出的三个球上数字的平均值，则 mm 与 nn 差的绝对值不超过 12\dfrac{1}{2} 的概率是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16概率与统计★★★★☆
为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 55 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为 77，样本方差为 44，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16概率与统计★★★★☆
为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 55 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为 77，样本方差为 44，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15概率与统计★★★★☆
某艺校在一天的 66 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 11 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 11 节艺术课的概率为______.
\begin{answer} 35\frac{3}{5} \end{answer}
\begin{solution} 只考虑文化课和艺术课的类别排列即可. 三节文化课的位置从六个位置中选取，基本事件总数为
C63=20\mathrm C_{6}^{3}=20
设三节文化课之间的三段艺术课数分别为 g1g_{1}，g2g_{2}，并令两端的艺术课数为 g0g_{0}，g3g_{3}. 则 g0+g1+g2+g3=3g_{0}+g_{1}+g_{2}+g_{3}=3，g1g_{1}，g2∈{0,1}g_{2}\in\{0,1\}. 当 (g1,g2)=(0,0)(g_{1},g_{2})=(0,0) 时有 44 种；当恰有一个为 11 时有 3+3=63+3=6 种；当 (g1,g2)=(1,1)(g_{1},g_{2})=(1,1) 时有 22 种. 所以符合条件的排列有 4+6+2=124+6+2=12 种，所求概率为
1220=35\frac{12}{20}=\frac35
\end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知圆 C:x2+y2=12C: x^{2} + y^{2} = 12，直线 l:4x+3y=25l: 4x + 3y = 25.
(1) 圆 CC 的圆心到直线 ll 的距离为______； (2) 圆 CC 上任意一点 AA 到直线 ll 的距离小于 2 的概率为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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17平面向量★★★★☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，OO 是 ACAC 与 BDBD 的交点，PP，QQ，MM，NN 分别是线段 OAOA，OBOB，OCOC，ODOD 的中点. 在 AA，PP，MM，CC 中任取一点记为 EE，在 BB，QQ，NN，DD 中任取一点记为 FF. 设 GG 为满足向量 OG→=OE→+OF→\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} 的点，则在上述的点 GG 组成的集合中的点，落在平行四边形 ABCDABCD 外（不含边界）的概率为______.
\begin{answer} 34\frac{3}{4} \end{answer}
\begin{solution} 以 OO 为原点，设 OA→=a\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}， OB→=b\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}. 由于平行四边形的对角线互相平分， OC→=−a\overrightarrow{OC}=-\boldsymbol{a}，OD→=−b\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{b}. 所以 EE 对应的系数只能是 11，12\frac12，−12-\frac12，−1-1，即 OE→=sa\overrightarrow{OE}=s\boldsymbol{a}，其中 s∈{1,12,−12,−1}s\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}. 同理 OF→=tb\overrightarrow{OF}=t\boldsymbol{b}，其中 t∈{1,12,−12,−1}t\in\left\{1,\frac12,-\frac12,-1\right\}. 因而
OG→=sa+tb\overrightarrow{OG}=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}
在基底 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 下，平行四边形 ABCDABCD 的四个顶点为 (1,0)(1,0)，(0,1)(0,1)，(−1,0)(-1,0)，(0,−1)(0,-1)，其内部及边界为 ∣s∣+∣t∣⩽1|s|+|t|\leqslant1. 当且仅当 ∣s∣=∣t∣=12|s|=|t|=\frac12 时，∣s∣+∣t∣=1|s|+|t|=1，对应 2×2=42\times2=4 个选择，所得点在边界上，不计入外部. 其余 16−4=1216-4=12 个选择满足 ∣s∣+∣t∣>1|s|+|t|>1，所得点在平行四边形外部.
因此所求概率为
1216=34\frac{12}{16}=\frac34
\end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
古代“五行”学说认为：“物质分金，木，土，水，火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.” 将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 AA 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件 AA 出现的概率是（结果用数值表示）______.

2008 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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15概率与统计★★★★☆
对有 nn（n⩾4n \geqslant 4）个元素的总体 {1,2,3,⋯ ,n}\{1, 2, 3, \cdots, n\} 进行抽样. 先将总体分成两个子总体 {1,2,⋯ ,m}\{1, 2, \cdots, m\} 和 {m+1,m+2,⋯ ,n}\{m + 1, m + 2, \cdots, n\}（mm 是给定的正整数，且 2⩽m⩽n−22 \leqslant m \leqslant n - 2）. 再从每个子总体中各随机抽取 22 个元素组成样本，用 PijP_{ij} 表示元素 ii 和 jj 同时出现在样本中的概率，则 P1n=‾P_{1n} =\underline{\hspace{2em}}；所有 PijP_{ij}（1⩽i<j⩽n1 \leqslant i < j \leqslant n）的和等于______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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