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17概率与统计★★★★☆
现从全校学生中随机抽取 200 人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下：
以频率估计概率，完成下列问题：
(1) 求数学成绩低于 120 分的概率； (2) 从学校随机抽取 4 人，求 2 人不低于 120 且 2 人小于 94 的概率； (3) 每组数据取左端，中间，右端，比较 s左2s_{\text{左}}^2，s中2s_{\text{中}}^2，s右2s_{\text{右}}^2 的大小关系.

2026 · 北京 · 第 17 题 · 解答题

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1817分概率与统计★★★★☆
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 3 次3\text{ 次}，若 3 次3\text{ 次}都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分0\text{ 分}；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 3 次3\text{ 次}，每次投中得 5 分5\text{ 分}，未投中得 0 分0\text{ 分}，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲，乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 pp，乙每次投中的概率为 qq，各次投中与否相互独立.
(1) 若 p=0.4p=0.4，q=0.5q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲，乙所在队的比赛成绩不少于 5 分的概率； (2) 假设 0<p<q0<p<q，
(i) 为使得甲，乙所在队的比赛成绩为 15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ (ii) 为使得甲，乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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2115分概率与统计★★★★☆
甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.60.6，乙每次投篮的命中率均为 0.80.8. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 0.50.5.
(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 ii 次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量 XiX_i 服从两点分布，且 P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qiP(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i， i=1\ i=1，22，…\dots，nn，则 E(∑i=1nXi)=∑i=1nqiE\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i. 记前 nn 次（即从第 11 次到第 nn 次）投篮中甲投篮的次数为 YY，求 E(Y)E(Y).

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
甲，乙，丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲，乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求甲连胜四场的概率； (2) 求需要进行第五场比赛的概率； (3) 求丙最终获胜的概率.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设点集 An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}，Bn={(0,1),(n,1)}B_n=\{(0,1),(n,1)\}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 令 Mn=An∪Bn∪CnM_n=A_n\cup B_n\cup C_n. 从集合 MnM_n 中任取两个不同的点，用随机变量 XX 表示它们之间的距离.
(1) 当 n=1n=1 时，求 XX 的概率分布； (2) 对给定的正整数 nn（n≥3n\ge 3），求概率 P(X≤n)P(X\le n)（用 nn 表示）.

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 1616 个零件，并测量其尺寸（单位：cm\mathrm{cm}）. 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2).
(1) 假设生产状态正常，记 XX 表示一天内抽取的 1616 个零件中其尺寸在 (μ−3σ,μ+3σ)(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma) 之外的零件数，求 P(X≥1)P(X\ge1) 及 XX 的数学期望； (2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (μ−3σ,μ+3σ)(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
(i) 试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ii) 下面是检验员在一天内抽取的 1616 个零件的尺寸：
{
9.959.9510.1210.129.969.969.969.9610.0110.019.929.929.989.9810.0410.04
10.2610.269.919.9110.1310.1310.0210.029.229.2210.0410.0410.0510.059.959.95
}
经计算得 xˉ=116∑i=116xi=9.97\bar x=\dfrac1{16}\sum_{i=1}^{16}x_i=9.97， s=116∑i=116(xi−xˉ)2=116(∑i=116xi2−16xˉ2)≈0.212s=\sqrt{\dfrac1{16}\sum_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)^2} =\sqrt{\dfrac1{16}\left(\sum_{i=1}^{16}x_i^2-16\bar x^2\right)}\approx0.212， 其中 xix_i 为抽取的第 ii 个零件的尺寸，i=1i=1，22，…\dots，1616.
用样本平均数作为 μ\mu 的估计值，用样本标准差 ss 作为 σ\sigma 的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (μ^−3σ^,μ^+3σ^)(\hat\mu-3\hat\sigma,\hat\mu+3\hat\sigma) 之外的数据，用剩下的数据估计 μ\mu 和 σ\sigma（精确到 0.010.01）.
附：若随机变量 ZZ 服从正态分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)，则 P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974P(\mu-3\sigma<Z<\mu+3\sigma)=0.9974，0.997416≈0.95920.9974^{16}\approx0.9592，0.008≈0.09\sqrt{0.008}\approx0.09.

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30 min30 \mathrm{~min} 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm\mathrm{cm}）. 下面是检验员在一天内依次抽取的 1616 个零件的尺寸：
抽取次序1122334455667788
经计算得 xˉ=116∑i=116xi=9.97\bar x=\dfrac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}x_i=9.97，s=116∑i=116(xi−xˉ)2=116(∑i=116xi2−16xˉ2)≈0.212s=\sqrt{\dfrac{1}{16}\sum_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{16}\left(\sum_{i=1}^{16}x_i^2-16\bar x^2\right)}\approx0.212，∑i=116(i−8.5)2≈18.439\sqrt{\sum_{i=1}^{16}(i-8.5)^2}\approx18.439，∑i=116(xi−xˉ)(i−8.5)=−2.78\sum_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)(i-8.5)=-2.78，其中 xix_i 为抽取的第 ii 个零件的尺寸，i=1i=1，22，…\dots，1616.
(1) 求 (xi,i)(x_i,i)（i=1i=1，22，…\dots，1616）的相关系数 rr，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 ∣r∣<0.25|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； (2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (xˉ−3s,xˉ+3s)(\bar x-3s,\bar x+3s) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
(i) 从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ (ii) 在 (xˉ−3s,xˉ+3s)(\bar x-3s,\bar x+3s) 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到 0.010.01）.
附：样本 (xi,yi)(x_i,y_i)（i=1i=1，22，…\dots，nn）的相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}}，0.008≈0.09\sqrt{0.008}\approx0.09.

2017 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★☆
已知一个口袋有 mm 个白球，nn 个黑球（mm，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，n≥2n\ge 2），这些球除颜色外全部相同. 现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 11，22，33，…\ldots，m+nm+n 的抽屉内，其中第 kk 次取出的球放入编号为 kk 的抽屉（k=1k=1，22，33，…\ldots，m+nm+n）.
(1) 试求编号为 22 的抽屉内放的是黑球的概率 pp； (2) 随机变量 XX 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)E(X) 是 XX 的数学期望，证明 E(X)<n(m+n)(n−1)E(X)<\dfrac{n}{(m+n)(n-1)}.

2017 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A，B 两种奶制品. 生产 11 吨 A 产品需鲜牛奶 22 吨，使用设备 11 小时，获利 10001000 元；生产 11 吨 B 产品需鲜牛奶 1.51.5 吨，使用设备 1.51.5 小时，获利 12001200 元. 要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 22 倍，设备每天生产 A，B 两种产品时间之和不超过 1212 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 WW（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 ZZ（单位：元）是一个随机变量.
(1) 求 ZZ 的分布列和均值； (2) 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 33 天中至少有 11 天的最大获利超过 1000010000 元的概率.

2015 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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17概率与统计★★★★☆
一辆小客车上有 55 个座位，其座位号为 11，22，33，44，55. 乘客 P1P_1，P2P_2，P3P_3，P4P_4，P5P_5 的座位号分别为 11，22，33，44，55，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车. 乘客 P1P_1 因身体原因没有坐自己的 11 号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这 55 个座位的剩余空位中任意选择座位.
(1) 若乘客 P1P_1 坐到了 33 号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有 44 种坐法. 下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就座的座位号填入表中空格处）：
\cline{2-6}32451
\cline{2-6}
\cline{2-6}
(2) 若乘客 P1P_1 坐到了 22 号座位，其他乘客按规则就座，求乘客 P5P_5 坐到 55 号座位的概率.

2015 · 四川 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判. 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判. 设各局中双方获胜的概率均为 12\frac{1}{2}，各局比赛的结果都相互独立，第 1 局甲当裁判.
(1) 求第 4 局甲当裁判的概率； (2) XX 表示前 4 局中乙当裁判的次数. 求 XX 的数学期望.

2013 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
假设每天从甲地去乙地的旅客人数 XX 是服从正态分布 N(800,502)N(800,50^{2}) 的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 P0P_{0}.
(1) 求 P0P_{0} 的值；（参考数据：若 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^{2})，有 P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6826P(\mu - \sigma < X \leqslant \mu + \sigma) = 0.6826，P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9544P(\mu - 2\sigma < X \leqslant \mu + 2\sigma) = 0.9544，P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9974P(\mu - 3\sigma < X \leqslant \mu + 3\sigma) = 0.9974） (2) 某客运公司用 AA，BB 两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，AA，BB 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 BB 型车不多于 AA 型车 7 辆. 若每天要以不小于 p0p_0 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 AA 型车，BB 型车各多少辆？

2013 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在1010平前，一方连续发球22次后，对方再连续发球22次，依次轮换. 每次发球，胜方得11分，负方得00分. 设在甲，乙的比赛中，每次发球，发球方得11分的概率为0.60.6，各次发球的胜负结果相互独立. 甲，乙的一局比赛中，甲先发球.
(1) 求开始第 44 次发球时，甲，乙的比分为 11 比 22 的概率. (2) 求开始第 55 次发球时，甲得分领先的概率.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
如图，从 A1(1,0,0)A_{1}(1,0,0)，A2(2,0,0)A_{2}(2,0,0)，B1(0,1,0)B_{1}(0,1,0)，B2(0,2,0)B_{2}(0,2,0)，C1(0,0,1)C_{1}(0,0,1)，C2(0,0,2)C_{2}(0,0,2) 这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点 OO 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量 VV （如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积 V=0V = 0）.
(1) 求 V=0V = 0 的概率； (2) 求 VV 的分布列及数学期望 E(V)E(V).

2012 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
办理业务所需的时间（分）12345
从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1) 估计第三个顾客恰好等待 4 分钟4\text{ 分钟} 开始办理业务的概率. (2) XX 表示至第 2 分钟2\text{ 分钟} 末已办理完业务的顾客人数，求 XX 的分布列及数学期望.

2012 · 陕西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 1010 分钟，如果前一个人 1010 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人. 现在一共只有甲，乙，丙三个人可派. 他们各自能完成任务的概率分别 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3}. 假设 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3} 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(1) 如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率. 若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ (2) 若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 q1q_{1}，q2q_{2}，q3q_{3}，其中 q1q_{1}，q2q_{2}，q3q_{3} 是 p1p_{1}，p2p_{2}，p3p_{3} 的一个排列. 求所需派出人员数目 XX 的分布列和均值（数学期望）E(X)E(X)； (3) 假定 1>p1>p2>p31 > p_{1} > p_{2} > p_{3}，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.

2011 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★☆
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一般通常采用的测试方法如下：拿出 nn 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 nn 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设 n=4n = 4，分别以 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4} 表示第一次排序时被排为 11，22，33，44 的四种酒在第二次排序时的序号，并令 X=∣1−a1∣+∣2−a2∣+∣3−a3∣+∣4−a4∣X = |1 - a_{1}| + |2 - a_{2}| + |3 - a_{3}| + |4 - a_{4}|，则 XX 是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(1) 写出 XX 的可能值集合； (2) 假设 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，a4a_{4} 等可能地为 11，22，33，44 的各种排列，求 XX 的分布列； (3) 某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 X⩽2X \leqslant 2，
(i) 试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率 （假定各轮测试相互独立）； (ii) 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？ 说明理由.

2010 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，HH 分别是棱 A1B1A_{1}B_{1}，D1C1D_{1}C_{1} 上的点（点 EE 与 B1B_{1} 不重合），且 EH∥A1D1EH\parallel A_{1}D_{1}. 过 EHEH 的平面与棱 BB1BB_{1}，CC1CC_{1} 相交，交点分别为 FF，GG.
(1) 证明：AD∥AD\parallel 平面 EFGHEFGH； (2) 设 AB=2AA1=2aAB = 2AA_{1} = 2a. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 内随机选取一点. 记该点取自几何体 A1ABFE−D1DCGHA_{1}ABFE-D_{1}DCGH 内的概率为 pp，当点 EE，FF 分别在棱 A1B1A_{1}B_{1}，B1BB_{1}B 上运动且满足 EF=aEF = a 时，求 pp 的最小值.

2010 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有 A，B，C，D 四个问题，规则如下：
(1) 每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 A，B，C，D 分别加 1 分，2 分，3 分，6 分，答错任一题减 2 分； (2) 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束，淘汰出局； (3) 每位参加者按问题 A，B，C，D 顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题 A，B，C，D 回答正确的概率依次为 34\frac{3}{4}，12\frac{1}{2}，13\frac{1}{3}，14\frac{1}{4}，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1) 求甲同学能进入下一轮的概率； (2) 用 ξ\xi 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 E(ξ)E(\xi).

2010 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
对于正整数 n≥2n\ge2，用 TnT_n 表示关于 xx 的一元二次方程 x2+2ax+b=0x^2+2ax+b=0 有实数根的有序数组 (a,b)(a,b) 的组数，其中 aa，b∈{1,2,⋯ ,n}b\in\{1,2,\cdots,n\}（aa 和 bb 可以相等）；对于随机选取的 aa，b∈{1,2,⋯ ,n}b\in\{1,2,\cdots,n\}（aa 和 bb 可以相等），记 PnP_n 为关于 xx 的一元二次方程 x2+2ax+b=0x^2+2ax+b=0 有实数根的概率.
(1) 求 Tn2T_{n^2} 和 Pn2P_{n^2}； (2) 求证：对任意正整数 n≥2n\ge2，有 Pn>1−1nP_n>1-\frac{1}{\sqrt n}.

2009 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3 次3\text{ 次}；在 AA 处每投进一球得3 分3\text{ 分}，在 BB 处每投进一球得2 分2\text{ 分}；如果前两次得分之和超过3 分3\text{ 分}即停止投篮，否则投第3 次3\text{ 次}. 某同学在 AA 处的命中率 q1q_1 为 0.250.25，在 BB 处的命中率为 q2q_2，该同学选择先在 AA 处投一球，以后都在 BB 处投，用 ξ\xi 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
ξ\xi0022334455
(1) 求 q2q_2 的值； (2) 求随机变量 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)E(\xi)； (3) 试比较该同学选择都在 BB 处投篮得分超过3 分3\text{ 分}与选择上述方式投篮得分超过3 分3\text{ 分}的概率的大小.

2009 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球. 已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 25\frac{2}{5}；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 79\frac{7}{9}.
(1) 若袋中共有 10 个球，
(i) 求白球的个数； (ii) 从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 ξ\xi，求随机变量 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)E(\xi). (2) 求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于 710\frac{7}{10}，并指出袋中哪种颜色的球个数最少.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item 设白球有 ww 个.两球中没有白球的概率为 1−79=291-\frac79=\frac29，故
C10−w2C102=29\frac{\mathrm C_{10-w}^{2}}{\mathrm C_{10}^{2}}=\frac29
于是 (10−w)(9−w)=20(10-w)(9-w)=20，解得 w=5w=5 或 w=14w=14.由 0⩽w⩽100\leqslant w\leqslant10，得白球有 55 个. \item 设第 ii 次摸到白球的指示变量为 IiI_i，则 ξ=I1+I2+I3\xi=I_1+I_2+I_3.每次摸球得到白球的概率为 510\frac5{10}，所以由数学期望的线性性质，
E(ξ)=E(I1)+E(I2)+E(I3)=3×510=32E(\xi)=E(I_1)+E(I_2)+E(I_3)=3\times\frac5{10}=\frac32
\end{enumerate} \item 设袋中共有 NN 个球，黑、白、红球数分别为 KK，WW，RR.由 KN=25\frac KN=\frac25，可设 N=5mN=5m，K=2mK=2m，其中 mm 为正整数.两球中没有白球的概率为 29\frac29.令非白球数 X=K+R=N−WX=K+R=N-W，则
CX2C5m2=29,即X(X−1)=10m(5m−1)9\frac{\mathrm C_{X}^{2}}{\mathrm C_{5m}^{2}}=\frac29, \qquad\text{即}\qquad X(X-1)=\frac{10m(5m-1)}9
两球中至少有一个黑球的概率为
1−C3m2C5m21-\frac{\mathrm C_{3m}^{2}}{\mathrm C_{5m}^{2}}
又因为 m⩾1m\geqslant1，
C3m2C5m2⩾310⟺30m(3m−1)⩾15m(5m−1)\frac{\mathrm C_{3m}^{2}}{\mathrm C_{5m}^{2}}\geqslant\frac3{10} \quad\Longleftrightarrow\quad 30m(3m-1)\geqslant15m(5m-1)
而右边移到左边后为 15m(m−1)⩾015m(m-1)\geqslant0.因此至少得到一个黑球的概率不大于 710\frac7{10}.
还需比较三种球的个数.若 X⩾7m2X\geqslant\frac{7m}{2}，则
X(X−1)⩾7m2(7m2−1)>10m(5m−1)9X(X-1)\geqslant\frac{7m}{2}\left(\frac{7m}{2}-1\right)>\frac{10m(5m-1)}9
因为两边之差为 m(241m−86)36>0\frac{m(241m-86)}{36}>0，这与上面的等式矛盾.因此 X<7m2X<\frac{7m}{2}.于是 R=X−2m<3m2<2m=KR=X-2m<\frac{3m}{2}<2m=K，并且 W−R=7m−2X>0W-R=7m-2X>0.所以红球数同时少于黑球数和白球数，红球最少. \end{enumerate} \end{solution}

2008 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★★☆
某项考试按科目 AA、科目 BB 依次进行，只有当科目 AA 成绩合格时，才可继续参加科目 BB 的考试. 已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书. 现某人参加这项考试，科目 AA 每次考试成绩合格的概率均为 23\frac{2}{3}，科目 BB 每次考试成绩合格的概率均为 12\frac{1}{2}. 假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(1) 求他不需要补考就可获得证书的概率； (2) 在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ξ\xi，求 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)E(\xi).

2008 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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18概率与统计★★★★☆
甲，乙两队参加奥运知识竞赛，每队 33 人，每人回答一个问题. 答对者为本队赢得一分，答错得零分. 假设甲队中每人答对的概率均为 23\frac{2}{3}，乙队中 33 人答对的概率分别为 23\frac{2}{3}，23\frac{2}{3}，12\frac{1}{2} 且各人正确与否相互之间没有影响. 用 ξ\xi 表示甲队的总得分.
(1) 求随机变量 ξ\xi 分布列和数学期望； (2) 用 AA 表示“甲，乙两个队总得分之和等于 33”这一事件，用 BB 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求 P(AB)P(AB).

2008 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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