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16函数与初等函数★★★★☆
设 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 的通项分别为 an=10n−9a_n=10n-9，bn=2nb_n=2^n，cn=λan+(1−λ)bnc_n=\lambda a_n+(1-\lambda)b_n. 若对任意 λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，ana_n，bnb_n，cnc_n 均能作为三角形的三边长，则满足条件的正整数 nn 有（ ）
A.
1个
B.
3个
C.
4个
D.
无穷多个

2025 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
已知 ai∈N∗a_i\in \mathbf{N}^*（i=1i=1，22，…\dots，99），对任意的 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*（2≤k≤82\le k\le 8），ak=ak−1+1a_k=a_{k-1}+1 或 ak=ak+1−1a_k=a_{k+1}-1 中有且仅有一个成立，a1=6a_1=6，a9=9a_9=9，则 a1+⋯+a9a_1+\cdots+a_9 的最小值为______.

2021 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an<an+1a_n<a_{n+1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），若点 Pn(n,an)P_n(n,a_n) 在双曲线 x26−y22=1\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1 上，则 lim⁡n→∞∣PnPn+1∣=\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=______.

2019 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\}，其中 an=n2a_n=n^2，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，{bn}\{b_n\} 的项是互不相等的正整数. 若对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，{bn}\{b_n\} 的第 ana_n 项都等于 {an}\{a_n\} 的第 bnb_n 项，则 lg⁡(b1b4b9b16)lg⁡(b1b2b3b4)=‾\dfrac{\lg(b_1b_4b_9b_{16})}{\lg(b_1b_2b_3b_4)}=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★★★☆
无穷数列 {an}\{a_n\} 由 kk 个不同的数组成，SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn∈{2,3}S_n\in\{2,3\}，则 kk 的最大值为______.

2016 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14数列★★★★☆
无穷数列 {an}\{a_n\} 由 kk 个不同的数组成，SnS_n 为 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 若对任意的 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn∈{2,3}S_n\in\{2,3\}，则 kk 的最大值为______.

2016 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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22数列★★★★☆
对于无穷数列 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\}，记 A={x∣x=an, n∈N∗}A=\{x\mid x=a_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}，B={x∣x=bn, n∈N∗}B=\{x\mid x=b_n,\ n\in\mathbf{N}^*\}. 若同时满足条件：
① {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 均单调递增； ② A∩B=∅A\cap B=\varnothing 且 A∪B=N∗A\cup B=\mathbf{N}^*，则称 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列.
(1) 若 an=2n−1a_n=2n-1，bn=4n−2b_n=4n-2，判断 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是否为无穷互补数列，并说明理由； (2) 若 an=2na_n=2^n 且 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 1616 项的和； (3) 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是无穷互补数列，{an}\{a_n\} 为等差数列且 a16=36a_{16}=36，求 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2016 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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22数列★★★★☆
已知函数 f(x)=2−∣x∣f(x) = 2 - |x|，无穷数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 a1=0a_1 = 0，求 a2a_2，a3a_3，a4a_4； (2) 若 a1>0a_1 > 0，且 a1a_1，a2a_2，a3a_3 成等比数列，求 a1a_1 的值； (3) 是否存在 a1a_1，使得 a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 成等差数列？若存在，求出所有这样的 a1a_1；若不存在，说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a1=0a_1=0 时，a2=2−∣0∣=2a_2=2-|0|=2，a3=2−∣2∣=0a_3=2-|2|=0，a4=2−∣0∣=2a_4=2-|0|=2. \item 设 a1=t>0a_1=t>0.
当 0<t⩽20<t\leqslant2 时，a2=2−t⩾0a_2=2-t\geqslant0，从而 a3=2−(2−t)=ta_3=2-(2-t)=t. 由 a1a_1，a2a_2，a3a_3 成等比数列，得 (2−t)2=t2(2-t)^2=t^2， 所以 4−4t=04-4t=0，即 t=1t=1.
当 t>2t>2 时，a2=2−t<0a_2=2-t<0，从而 a3=2−∣2−t∣=4−ta_3=2-|2-t|=4-t. 于是 (2−t)2=t(4−t)(2-t)^2=t(4-t)， 即 2t2−8t+4=02t^2-8t+4=0，解得 t=2±2t=2\pm\sqrt{2}. 结合 t>2t>2，得 t=2+2t=2+\sqrt{2}. 因此 a1=1a_1=1 或 a1=2+2a_1=2+\sqrt{2}. \item 假设数列成等差数列，公差为 dd，则 an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d. 由于对任意 nn 都有 an+1=2−∣an∣⩽2a_{n+1}=2-|a_n|\leqslant2，若 d>0d>0，则等差表达式使 an+1a_{n+1} 在 nn 足够大时大于 22，矛盾. 若 d<0d<0，则 ana_n 在 nn 足够大时为负数，此时递推式变为 an+1=2+ana_{n+1}=2+a_n，所以 d=2d=2，又与 d<0d<0 矛盾. 因此只能有 d=0d=0.
此时所有 ana_n 都等于 a1a_1，由递推式得 a1=2−∣a1∣a_1=2-|a_1|. 当 a1⩾0a_1\geqslant0 时，a1=2−a1a_1=2-a_1，得 a1=1a_1=1；当 a1<0a_1<0 时，a1=2+a1a_1=2+a_1，矛盾. 因此存在且唯一的取值为 a1=1a_1=1. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 an=1nsin⁡nπ25a_{n} = \frac{1}{n}\sin \frac{n\pi}{25}，Sn=a1+a2+⋯+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}. 在 S1S_{1}，S2S_{2}，⋯\cdots，S100S_{100} 中，正数的个数是（ ）
A.
25
B.
50
C.
75
D.
100

2012 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知点 O(0,0)O(0,0)，Q0(0,1)Q_0(0,1) 和点 R0(3,1)R_0(3,1)，记 Q0R0Q_0R_0 的中点为 P1P_1，取 Q0P1Q_0P_1 和 P1R0P_1R_0 中的一条，记其端点为 Q1Q_1，R1R_1，使之满足 (∣OQ1∣−2)(∣OR1∣−2)<0(|OQ_1| - 2)(|OR_1| - 2) < 0，记 Q1R1Q_1R_1 的中点为 P2P_2，取 Q1P2Q_1P_2 和 P2R1P_2R_1 中的一条，记其端点为 Q2Q_2，R2R_2，使之满足 (∣OQ2∣−2)(∣OR2∣−2)<0(|OQ_2| - 2)(|OR_2| - 2) < 0. 依次下去，得到 P1P_1，P2P_2，⋯\cdots，PnP_n，⋯\cdots，则 lim⁡n→∞∣Q0Pn∣=‾\lim\limits_{n \to \infty} \left|Q_0P_n\right| =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是各项为正数的无穷数列，AiA_i 是边长为 aia_i，ai+1a_{i+1} 的矩形面积 （i=1i = 1，22，⋯\cdots），则 {An}\{A_n\} 为等比数列的充要条件为（ ）
A.
{an}\{a_n\} 是等比数列
B.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 或 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 是等比数列
C.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列
D.
{a1,a3,⋯ ,a2n−1,⋯ }\{a_1, a_3, \cdots, a_{2n-1}, \cdots\} 和 {a2,a4,⋯ ,a2n,⋯ }\{a_2, a_4, \cdots, a_{2n}, \cdots\} 均是等比数列，且公比相同

2011 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式分别为 an=3n+6a_n = 3n + 6，bn=2n+7b_n = 2n + 7 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），将集合 {x∣x=an,n∈N∗}∪{x∣x=bn,n∈N∗}\{x \mid x = a_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} \cup \{x \mid x = b_n, n \in \mathbf{N}^{*}\} 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1c_1，c2c_2，c3c_3，c4c_4，⋯\cdots，cnc_n，⋯\cdots.
(1) 求 c1c_1，c2c_2，c3c_3，c4c_4； (2) 求证：在数列 {an}\{a_n\} 中，但不在数列 {bn}\{b_n\} 中的项恰为 a2a_2，a4a_4，⋯\cdots，a2na_{2n}，⋯\cdots； (3) 求数列 {cn}\{c_n\} 的通项公式.

2011 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式分别为 an=3n+6a_{n} = 3n + 6，bn=2n+7b_{n} = 2n + 7（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），将集合 {x∣x=an,n∈N∗}∪{x∣x=bn,n∈N∗}\{x \mid x = a_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\} \cup \{x \mid x = b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\} 中的元素从小到大依次排列，构成数列 c1c_{1}，c2c_{2}，c3c_{3}，⋯\cdots，cnc_{n}，⋯\cdots.
(1) 求三个最小的数，使它们既是数列 {an}\{a_{n}\} 中的项，又是数列 {bn}\{b_{n}\} 中的项； (2) 数列 c1c_{1}，c2c_{2}，c3c_{3}，⋯\cdots，c40c_{40} 中有多少项不是数列 {bn}\{b_{n}\} 中的项？请说明理由； (3) 求数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 4n4n 项和 S4nS_{4n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.

2011 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 Sn=n−5an−85S_{n} = n - 5a_{n} - 85，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明：{an−1}\{a_{n}-1\} 是等比数列； (2) 求数列 {Sn}\{S_n\} 的通项公式，并指出 nn 为何值时，SnS_n 取得最小值，并说明理由.

2010 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
(1) 已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 Sn=n−5an−85S_{n} = n - 5a_{n} - 85，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，证明：{an−1}\{a_{n} - 1\} 是等比数列； (2) 求数列 {Sn}\{S_{n}\} 的通项公式，并求出使得 Sn+1>SnS_{n+1} > S_{n} 成立的最小正整数 nn.

2010 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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12数列★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡x+tan⁡xf(x) = \sin x + \tan x，项数为 2727 的等差数列 {an}\{a_n\} 满足 an∈(−π2,π2)a_n \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)，且公差 d≠0d \neq 0. 若 f(a1)+f(a2)+⋯+f(a27)=0f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_{27}) = 0，则当 k=k =______ 时，f(ak)=0f(a_k) = 0.

2009 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡x+tan⁡xf(x) = \sin x + \tan x. 项数为 2727 的等差数列 {an}\{a_n\} 满足 an∈(−π2,π2)a_n \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)，且公差 d≠0d \neq 0. 若 f(a1)+f(a2)+⋯+f(a27)=0f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_{27}) = 0，则当 k=k =______ 时，f(ak)=0f(a_k) = 0.

2009 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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23数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是公比为 qq 的等比数列.
(1) 若 an=3n+1a_n = 3n + 1，是否存在 mm，k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，使 am+am+1=aka_m + a_{m+1} = a_k？请说明理由； (2) 若 bn=aqnb_n = aq^n（aa，qq 为常数，且 aq≠0aq \neq 0），对任意 mm 存在 kk，使 bm⋅bm+1=bkb_m \cdot b_{m+1} = b_k，试求 aa，qq 满足的充要条件； (3) 若 an=2n+1a_n = 2n + 1，bn=3nb_n = 3^n，试确定所有的 pp，使数列 {bn}\{b_n\} 中存在某个连续 pp 项的和是数列 {an}\{a_n\} 中的一项，请证明.

2009 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\}：a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，a3=ra_{3} = r，an+3=an+2a_{n+3} = a_{n} + 2（nn 是正整数），与数列 {bn}\{b_{n}\}：b1=1b_{1} = 1，b2=0b_{2} = 0，b3=−1b_{3} = -1，b4=0b_{4} = 0，bn+4=bnb_{n+4} = b_{n}（nn 是正整数）. 记 Tn=b1a1+b2a2+b3a3+⋯+bnanT_{n} = b_{1}a_{1} + b_{2}a_{2} + b_{3}a_{3} + \cdots + b_{n}a_{n}.
(1) 若 a1+a2+a3+⋯+a12=64a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{12} = 64，求 rr 的值； (2) 求证：当 nn 是正整数时，T12n=−4nT_{12n} = -4n； (3) 已知 r>0r > 0，且存在正整数 mm，使得在 T12m+1T_{12m+1}，T12m+2T_{12m+2}，⋯\cdots，T12m+12T_{12m+12} 中有 4 项为 100，求 rr 的值，并指出哪 4 项为 100.

2008 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知有穷数列 {an}\{a_{n}\} 共有 2k2k 项（整数 k⩾2k \geqslant 2），首项 a1=2a_{1} = 2. 设该数列的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 an+1=(a−1)Sn+2a_{n+1} = (a-1)S_{n} + 2（n=1n = 1，22，⋯\cdots，2k−12k-1）. 其中常数 a>1a > 1.
(1) 求证：数列 {an}\{a_{n}\} 是等比数列； (2) 若 a=222k−1a = 2^{\frac{2}{2k-1}}，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=1nlog⁡2(a1a2⋯an)b_n = \frac{1}{n}\log_2(a_1a_2\cdots a_n)（n=1n = 1，22，⋯\cdots，2k2k），求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (3) 若第二问中的数列 {bn}\{b_n\} 满足不等式 ∣b1−32∣+∣b2−32∣+⋯+∣b2k−1−32∣+∣b2k−32∣⩽4\left|b_1 - \frac{3}{2}\right| + \left|b_2 - \frac{3}{2}\right| + \cdots + \left|b_{2k-1} - \frac{3}{2}\right| + \left|b_{2k} - \frac{3}{2}\right| \leqslant 4，求 kk 的值.

2006 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
假设某市 20042004 年新建住房面积 400400 万平方米，其中有 250250 万平方米是中低价房. 预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%8\%. 另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 5050 万平方米. 那么，到哪一年底，
(1) 该市历年所建中低价房的累计面积（以 20042004 年为累计的第一年）将首次不少于 47504750 万平方米？ (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%85\%？

2005 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
在直角坐标平面中，已知点 P1(1,2)P_{1}(1,2)，P2(2,22)P_{2}(2,2^{2})，P3(3,23)P_{3}(3,2^{3})，⋯\cdots，Pn(n,2n)P_{n}(n,2^{n})，其中 nn 是正整数，对平面上任一点 A0A_{0}，记 A1A_{1} 为 A0A_{0} 关于点 P1P_{1} 的对称点，A2A_{2} 为 A1A_{1} 关于点 P2P_{2} 的对称点，⋯\cdots，AnA_{n} 为 An−1A_{n-1} 关于点 PnP_{n} 的对称点.
(1) 求向量 A0A2→\overrightarrow{A_{0}A_{2}} 的坐标； (2) 当点 A0A_{0} 在曲线 CC 上移动时，点 A2A_{2} 的轨迹是函数 y=f(x)y = f(x) 的图象，其中 f(x)f(x) 是以 3 为周期的周期函数，且当 x∈(0,3]x \in (0,3] 时，f(x)=lg⁡xf(x) = \lg x. 求以曲线 CC 为图象的函数在 (1,4](1,4] 上的解析式； (3) 对任意偶数 nn，用 nn 表示向量 A0An→\overrightarrow{A_{0}A_{n}} 的坐标.

2005 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
假设某市 2004 年2004\text{ 年} 新建住房面积 400 万平方米400\text{ 万平方米}，其中有 250 万平方米250\text{ 万平方米} 是中低价房. 预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%8\%. 另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米50\text{ 万平方米}. 那么，到哪一年底，
(1) 该市历年所建中低价房的累计面积（以 2004 年2004\text{ 年} 为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米4750\text{ 万平方米}？ (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%85\%？

2005 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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12数列★★★★☆
若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”. 设 {an}\{a_{n}\} 是公比为 qq 的无穷等比数列，下列 {an}\{a_{n}\} 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第______ 组. （写出所有符合要求的组号）
① S1S_{1} 与 S2S_{2}. ② a2a_{2} 与 S3S_{3}. ③ a1a_{1} 与 ana_{n}. ④ qq 与 ana_{n}.
其中 nn 为大于 1 的整数，SnS_{n} 为 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和.

2004 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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