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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1817分数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，bn=an−6b_n=a_n-6（nn 为奇数），bn=2anb_n=2a_n（nn 为偶数）. 记 SnS_n，TnT_n 分别为 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，且 S4=32S_4=32，T3=16T_3=16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 证明：当 n>5n>5 时，Tn>SnT_n>S_n.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 18 题 · 解答题

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04不等式★★★★☆
嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 {bn}\{b_n\}：b1=1+1α1b_1=1+\frac{1}{\alpha_1}，b2=1+1α1+1α2b_2=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2}}，b3=1+1α1+1α2+1α3b_3=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2+\frac{1}{\alpha_3}}}，…，依此类推，其中 αk∈N∗\alpha_k\in\mathbf{N}^*（k=1k=1，22，…\dots），则（ ）
A.
b1<b5b_1<b_5
B.
b3<b8b_3<b_8
C.
b6<b2b_6<b_2
D.
b4<b7b_4<b_7

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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19数列★★★★☆
记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，bnb_n 为数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项积，已知 2Sn+1bn=2\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列； (2) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为 11 的等比数列，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=nan3b_n=\dfrac{na_n}{3}. 已知 a1a_1，3a23a_2，9a39a_3 成等差数列.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 SnS_n 和 TnT_n 分别为 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，证明：Tn<Sn2T_n<\dfrac{S_n}{2}.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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18导数及其应用★★★★☆
设 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，xnx_n 是曲线 y=x2n+2+1y = x^{2n+2} + 1 在点 (1,2)(1,2) 处的切线与 xx 轴交点的横坐标.
(1) 求数列 {xn}\{x_{n}\} 的通项公式； (2) 记 Tn=x12x32⋯x2n−12T_{n} = x_{1}^{2}x_{3}^{2}\cdots x_{2n - 1}^{2}. 证明：Tn⩾14nT_{n} \geqslant \frac{1}{4n}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数 y=x2n+2+1y=x^{2n+2}+1 在 (1,2)(1,2) 处的导数为 2n+22n+2，所以切线方程为
y−2=(2n+2)(x−1)y-2=(2n+2)(x-1)
令 y=0y=0，得 −2=(2n+2)(xn−1)-2=(2n+2)(x_n-1)，xn=1−1n+1=nn+1x_n=1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}.
\item 由通项公式，
Tn=∏k=1n(2k−12k)2T_n=\prod_{k=1}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2
当 k⩾2k\geqslant2 时，
(2k−1)2−2k(2k−2)=1>0(2k-1)^2-2k(2k-2)=1>0
故
(2k−12k)2>2k−22k=k−1k\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2>\frac{2k-2}{2k}=\frac{k-1}{k}
当 n=1n=1 时，T1=14=14nT_1=\frac14=\frac1{4n}；当 n⩾2n\geqslant2 时，
Tn=14∏k=2n(2k−12k)2>14∏k=2nk−1k=14nT_n=\frac14\prod_{k=2}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2 >\frac14\prod_{k=2}^n\frac{k-1}{k}=\frac1{4n}
所以对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，都有 Tn⩾14nT_n\geqslant\frac1{4n}. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=x2+sin⁡xf(x) = \frac{x}{2} + \sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn}\{x_n\}.
(1) 求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式； (2) 设 {xn}\{x_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求 sin⁡Sn\sin S_n.

2012 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
在数 11 和 100100 之间插入 nn 个实数，使得这 n+2n + 2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2n + 2 个数的乘积记作 TnT_{n}，再令 an=lg⁡Tna_{n} = \lg T_{n}，n⩾1n \geqslant 1.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=tan⁡an⋅tan⁡an+1b_{n} = \tan a_{n} \cdot \tan a_{n+1}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2011 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
在数 11 和 100100 之间插入 nn 个实数，使得这 n+2n + 2 个数构成递增的等比数列，将这 n+2n + 2 个数的乘积记作 TnT_{n}，再令 an=lg⁡Tna_{n} = \lg T_{n}，n⩾1n \geqslant 1.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=tan⁡an⋅tan⁡an+1b_{n} = \tan a_{n} \cdot \tan a_{n+1}，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2011 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设数列 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，ana_{n}，⋯\cdots 中的每一项都不为 00. 证明： {an}\{a_{n}\} 为等差数列的充分必要条件是：对任何 n∈N+n \in \mathbf{N}^{+}，都有 1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1=na1an+1\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdots + \frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{n}{a_{1} a_{n+1}}.

2010 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
设 C1C_{1}，C2C_{2}，⋯\cdots，CnC_{n}，⋯\cdots 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 xx 轴的正半轴上，且都与直线 y=33xy = \frac{\sqrt{3}}{3}x 相切，对每一个正整数 nn，圆 CnC_{n} 都与圆 Cn+1C_{n+1} 相互外切，以 rnr_{n} 表示 CnC_{n} 的半径. 已知 {rn}\{r_{n}\} 为递增数列.
(1) 证明： {rn}\{r_{n}\} 为等比数列； (2) 设 r1=1r_1 = 1，求数列 {nrn}\left\{\frac{n}{r_n}\right\} 的前 nn 项和.

2010 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 在椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）上，x0=acos⁡βx_0 = a \cos \beta，y0=bsin⁡βy_0 = b \sin \beta，0<β<π20 < \beta < \frac{\pi}{2}，直线 l2l_2 与直线 l1: x0a2x+y0b2y=1l_1:\ \frac{x_0}{a^2} x + \frac{y_0}{b^2} y = 1 垂直，OO 为坐标原点，直线 OPOP 的倾斜角为 α\alpha，直线 l2l_2 的倾斜角为 γ\gamma.
(1) 证明：点 PP 是椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 与直线 l1l_1 的唯一交点； (2) 证明： tan⁡α\tan \alpha，tan⁡β\tan \beta，tan⁡γ\tan \gamma 构成等比数列.

2009 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
首项为正数的数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=14(an2+3)a_{n + 1} = \frac{1}{4} (a_n^2 + 3)，n∈N+n\in \mathbf{N}_+.
(1) 证明：若 a1a_1 为奇数，则对一切 n⩾2n \geqslant 2，ana_n 都是奇数； (2) 若对一切 n∈N+n \in \mathbf{N}_+ 都有 an+1>ana_{n+1} > a_n，求 a1a_1 的取值范围.

2009 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=aa_1 = a，an+1=can+1−ca_{n+1} = c a_n + 1 - c，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，其中 aa，cc 为实数，且 c≠0c \neq 0.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 a=12a = \frac{1}{2}，c=12c = \frac{1}{2}，bn=n(1−an)b_n = n(1 - a_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n； (3) 若 0<an<10 < a_{n} < 1 对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*} 成立，证明 0<c⩽10 < c \leqslant 1.

2008 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
某国采用养老储备金制度. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1a_{1}；以后每年交纳的数目均比上一年增加 dd（d>0d > 0）. 因此，历年所交纳的储备金数目 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots 是一个公差为 dd 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为 rr（r>0r > 0），那么，在第 nn 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1(1+r)n−1a_{1}(1 + r)^{n-1}，第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r)n−2a_{2}(1 + r)^{n-2}，⋯\cdots，以 TnT_{n} 表示到第 nn 年末所累计的储备金总额.
(1) 写出 TnT_{n} 与 Tn−1T_{n-1}（n⩾2n \geqslant 2）的递推关系式. (2) 求证：Tn=An+BnT_{n} = A_{n} + B_{n}，其中 {An}\{A_{n}\} 是一个等比数列，{Bn}\{B_{n}\} 是一个等差数列.

2007 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
某国采用养老储备金制度. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1a_1；以后每年交纳的数目均比上一年增加 dd（d>0d > 0）. 因此，历年所交纳的储备金数目 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots 是一个公差为 dd 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为 rr（r>0r > 0），那么，在第 nn 年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1(1+r)n−1a_1(1 + r)^{n-1}；第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r)n−2a_2(1 + r)^{n-2}，⋯\cdots. 以 TnT_n 表示到第 nn 年末所累计的储备金总额.
(1) 写出 TnT_{n} 与 Tn−1T_{n-1} （ n⩾2n \geqslant 2 ）的递推关系式； (2) 求证：Tn=An+BnT_{n} = A_{n} + B_{n}. 其中 {An}\{A_{n}\} 是一个等比数列，{Bn}\{B_{n}\} 是一个等差数列.

2007 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 已知 a1=12a_{1} = \frac{1}{2}，Sn=n2an−n(n−1)S_{n} = n^{2}a_{n} - n(n - 1)，n=1n = 1，22，…\dots.
(1) 写出 SnS_{n} 与 Sn−1S_{n-1} 的递推关系式（n⩾2n \geqslant 2）. 并求 SnS_{n} 关于 nn 的表达式； (2) 设 fn(x)=Snnxn+1f_n(x) = \frac{S_n}{n} x^{n+1}，bn=fn′(p)b_n = f_n'(p)（p∈Rp \in \mathbf{R}），求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 TnT_n.

2006 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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