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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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19数列★★★★☆
已知 {xn}\{x_n\} 是各项均为正数的等比数列，且 x1+x2=3x_1+x_2=3，x3−x2=2x_3-x_2=2.
(1) 求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式； (2) 如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，依次连接点 P1(x1,1)P_1(x_1,1)，P2(x2,2)P_2(x_2,2)，…\ldots，Pn+1(xn+1,n+1)P_{n+1}(x_{n+1},n+1) 得到折线 P1P2⋯Pn+1P_1P_2\cdots P_{n+1}，求由该折线与直线 y=0y=0，x=x1x=x_1，x=xn+1x=x_{n+1} 所围成的区域的面积 TnT_n.

2017 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 S4=4S2S_{4} = 4S_{2}，a2n=2an+1a_{2n} = 2a_{n} + 1.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 TnT_{n}，且 Tn+an+12n=λT_{n} + \frac{a_{n} + 1}{2^n} = \lambda（λ\lambda 为常数），令 cn=b2nc_{n} = b_{2n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 求数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 nn 项和 RnR_{n}.

2013 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 已知对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，点 (n,Sn)(n, S_{n}) 均在函数 y=bx+ry = b^{x} + r（b>0b > 0 且 b≠1b \neq 1，bb，rr 均为常数）的图象上.
(1) 求 rr 的值； (2) 当 b=2b = 2 时，记 bn=2(log⁡2an+1)b_{n} = 2(\log_{2} a_{n} + 1)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 证明：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，不等式 b1+1b1⋅b2+1b2⋯bn+1bn>n+1\frac{b_{1} + 1}{b_{1}} \cdot \frac{b_{2} + 1}{b_{2}} \cdots \frac{b_{n} + 1}{b_{n}} > \sqrt{n + 1} 成立.

2009 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
将数列 {an}\{a_n\} 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1a_1
a2a_2a3a_3
a4a_4a5a_5a6a_6
a7a_7a8a_8a9a_9a10⋯a_{10} \cdots
记表中的第一列数 a1a_1，a2a_2，a4a_4，a7a_7，⋯\cdots 构成的数列为 {bn}\{b_n\}，b1=a1=1b_1 = a_1 = 1. SnS_n 为数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，且满足 2bnbnSn−Sn2=1\frac{2b_n}{b_nS_n - S_n^2} = 1（n⩾2n \geqslant 2）.
(1) 证明数列 {1Sn}\left\{\frac{1}{S_n}\right\} 成等差数列，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数. 当 a81=−491a_{81} = -\frac{4}{91} 时，求上表中第 kk 行（k⩾3k \geqslant 3）所有项和的和.

2008 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
将数列 {an}\{a_{n}\} 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1a_1
a2a_2a3a_3
a4a_4a5a_5a6a_6
a7a_7a8a_8a9a_9a10a_{10}
记表中的第一列数 a1a_1，a2a_2，a4a_4，a7a_7，⋯\cdots 构成的数列为 {bn}\{b_n\}，b1=a1=1b_1 = a_1 = 1. SnS_n 为数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，且满足 2bnbnSn−Sn2=1\frac{2b_n}{b_n S_n - S_n^{2}} = 1（n⩾2n \geqslant 2）.
(1) 证明数列 {1Sn}\left\{\frac{1}{S_n}\right\} 成等差数列，并求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数. 当 a81=−491a_{81} = -\frac{4}{91} 时，求上表中第 kk（k⩾3k \geqslant 3）行所有项和的和.

2008 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知a1=2a_1=2，点(an,an+1)(a_n,a_{n+1})在函数f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x的图象上，其中n=1n=1，22，33，⋯\cdots.
(1) 证明数列{lg⁡(1+an)}\{\lg(1+a_n)\}是等比数列； (2) 设Tn=(1+a1)(1+a2)⋯(1+an)T_n=(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)，求TnT_n及数列{an}\{a_n\}的通项； (3) 记bn=1an+1an+2b_n=\dfrac1{a_n}+\dfrac1{a_n+2}，求数列{bn}\{b_n\}的前nn项和SnS_n，并证明Sn+23Tn−1=1S_n+\dfrac{2}{3T_n-1}=1.

2006 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=12a_{1} = \frac{1}{2}，点 (n,2an+1−an)(n, 2a_{n+1} - a_{n}) 在直线 y=xy = x 上，其中 n=1n=1，22，33，…\dots.
(1) 令 bn=an+1−an−1b_{n} = a_{n+1} - a_{n} - 1，求证数列 {bn}\{b_{n}\} 是等比数列； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项； (3) 设 SnS_{n}，TnT_{n} 分别为数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和. 是否存在实数 λ\lambda，使得数列 {Sn+λTnn}\left\{\frac{S_{n} + \lambda T_{n}}{n}\right\} 为等差数列？若存在，试求出 λ\lambda；若不存在，则说明理由.

2006 · 山东 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=5a_1=5，前 nn 项和为 SnS_n，且 Sn+1=2Sn+n+5S_{n+1}=2S_n+n+5（n∈N∗n\in\mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明数列 {an+1}\{a_n+1\} 是等比数列； (2) 令 f(x)=a1x+a2x2+⋯+anxnf(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n，求函数 f(x)f(x) 在点 x=1x=1 处的导数 f′(1)f'(1) 并比较 2f′(1)2f'(1) 与 23n2−13n23n^2-13n 的大小.

2005 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=5a_1 = 5，前 nn 项和为 SnS_{n}，且 Sn+1=2Sn+n+5S_{n+1} = 2S_{n} + n + 5（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明数列 {an+1}\{a_{n} + 1\} 是等比数列； (2) 令 f(x)=a1x+a2x2+⋯+anxnf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n，求函数 f(x)f(x) 在点 x=1x = 1 处的导数 f′(1)f'(1).

2005 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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