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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，已知 a1=1a_{1} = 1，a2=32a_{2} = \frac{3}{2}，a3=54a_{3} = \frac{5}{4}，且当 n⩾2n \geqslant 2 时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn−14S_{n+2} + 5S_{n} = 8S_{n+1} + S_{n-1}.
(1) 求 a4a_{4} 的值. (2) 证明： {an+1−12an}\left\{a_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n}\right\} 为等比数列； (3) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式.

2015 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 SnS_{n} 满足 Sn2−(n2+n−3)Sn−3(n2+n)=0S_{n}^{2} - (n^{2} + n - 3)S_{n} - 3(n^{2} + n) = 0，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 a1a_{1} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+⋯+1an(an+1)<13\frac{1}{a_1(a_1 + 1)} + \frac{1}{a_2(a_2 + 1)} + \cdots + \frac{1}{a_n(a_n + 1)} < \frac{1}{3}.

2014 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，已知 a1=1a_{1} = 1，2Snn=an+1−13n2−n−23\frac{2S_{n}}{n} = a_{n+1} - \frac{1}{3} n^{2} - n - \frac{2}{3}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 a2a_{2} 的值. (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1+1a2+⋯+1an<74\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{7}{4}.

2013 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，满足 4Sn=an+12−4n−14S_{n} = a_{n+1}^{2} - 4n - 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，且 a2a_{2}，a5a_{5}，a14a_{14} 构成等比数列.
(1) 证明： a2=4a1+5a_{2} = \sqrt{4a_{1} + 5}； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1<12\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n a_{n+1}} < \frac{1}{2}.

2013 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，满足 2Sn=an+1−2n+1+12S_{n} = a_{n + 1} - 2^{n + 1} + 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，且 a1a_{1}，a2+5a_{2} + 5，a3a_{3} 成等差数列.
(1) 求 a1a_{1} 的值； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数 nn，有 1a1+1a2+1a3+⋯+1an<32\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \cdots + \frac{1}{a_n} < \frac{3}{2}.

2012 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设 b>0b > 0，数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=ba_{1} = b，an=nban−1an−1+n−1a_{n} = \frac{nba_{n - 1}}{a_{n - 1} + n - 1}（n⩾2n \geqslant 2）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：对于一切正整数 nn，2an⩽bn+1+12a_{n} \leqslant b^{n+1} + 1.

2011 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知点 (1,13)\left(1, \frac{1}{3}\right) 是函数 f(x)=axf(x) = a^x（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象上一点. 等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 f(n)−cf(n) - c. 数列 {bn}\{b_n\}（bn>0b_n > 0）的首项为 cc，且前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn−Sn−1=Sn+Sn−1S_n - S_{n-1} = \sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}}（n≥2n \ge 2）.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 若数列 {1bnbn+1}\left\{\frac{1}{b_n b_{n+1}}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_n，问满足 Tn>10002009T_n > \frac{1000}{2009} 的最小正整数 nn 是多少？

2009 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知函数 f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1，α\alpha，β\beta 是方程 f(x)=0f(x) = 0 的两个根（α>β\alpha > \beta），f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导数，设 a1=1a_{1} = 1，an+1=an−f(an)f′(an)a_{n + 1} = a_{n} - \frac{f(a_{n})}{f'(a_{n})}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 求 α\alpha，β\beta 的值； (2) 已知对任意的正整数 nn，都有 an>αa_{n} > \alpha，记 bn=ln⁡an−βan−αb_{n} = \ln \frac{a_{n} - \beta}{a_{n} - \alpha}（n=1n = 1，22，⋯\cdots），求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2007 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知公比为 qq（0<q<10 < q < 1）的无穷等比数列 {an}\{a_{n}\} 各项的和为 99，无穷等比数列 {an2}\{a_{n}^{2}\} 各项的和为 815\frac{81}{5}.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1a_{1} 和公比 qq； (2) 对给定的 kk（k=1k = 1，22，33，⋯\cdots，nn），设 T(k)T^{(k)} 是首项为 aka_k，公差为 2ak−12a_k - 1 的等差数列，求 T(2)T^{(2)} 的前 1010 项之和； (3) 设 bib_{i} 为数列 T(i)T^{(i)} 的第 ii 项，Sn=b1+b2+⋯+bnS_{n} = b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{n}，求 SnS_{n}，并求正整数 mm（m>1m > 1），使得 lim⁡n→∞Snnm\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{n^{m}} 存在且不等于零.

2006 · 广东 · 第 19 题 · 解答题

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