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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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14数列★★★★☆
在正项等比数列 {an}\{a_n\} 中，a5=12a_5=\frac{1}{2}，a6+a7=3a_6+a_7=3，则满足 a1+a2+⋯+an>a1a2⋯ana_1+a_2+\cdots+a_n>a_1a_2\cdots a_n 的最大正整数 nn 的值为______.

2013 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是首项为 aa，公差为 dd 的等差数列（d≠0d\ne 0），SnS_n 是其前 nn 项和. 记 bn=nSnn2+cb_n=\frac{nS_n}{n^2+c}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，其中 cc 为实数.
(1) 若 c=0c=0，且 b1b_1，b2b_2，b4b_4 成等比数列，证明：Snk=n2SkS_{nk}=n^2S_k（kk，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）； (2) 若 {bn}\{b_n\} 是等差数列，证明：c=0c=0.

2013 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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13数列★★★★☆
设 1=a1⩽a2⩽⋯⩽a71=a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant \cdots \leqslant a_{7}，其中 a1a_{1}，a3a_{3}，a5a_{5}，a7a_{7} 成公比为 qq 的等比数列，a2a_{2}，a4a_{4}，a6a_{6} 成公差为 11 的等差数列，则 qq 的最小值是______.

2011 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
设整数 n⩾4n\geqslant 4，P(a,b)P(a,b) 是平面直角坐标系 xOyxOy 中的点，其中 aa，b∈{1,2,3,…,n}b\in\{1,2,3,\dots,n\}，a>ba>b.
(1) 记 AnA_{n} 为满足 a−b=3a-b=3 的点 PP 的个数，求 AnA_{n}； (2) 记 BnB_{n} 为满足 13(a−b)\frac{1}{3}(a-b) 是整数的点 PP 的个数，求 BnB_{n}.

2011 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设各项均为正数的数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n. 已知 2a2=a1+a32a_2=a_1+a_3，数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是公差为 dd 的等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式（用 nn，dd 表示）； (2) 设 cc 为实数，对满足 m+n=3km+n=3k 且 m≠nm\neq n 的任意正整数 mm，nn，kk，不等式 Sm+Sn>cSkS_m+S_n>cS_k 都成立. 求证：cc 的最大值为 92\frac{9}{2}.

2010 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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14数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是公比为 qq 的等比数列，∣q∣>1|q|>1. 令 bn=an+1b_n=a_n+1（n=1n=1，22，⋯\cdots），若数列 {bn}\{b_n\} 有连续四项在集合 {−53,−23,19,37,82}\{-53,-23,19,37,82\} 中，则 6q=‾6q=\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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20数列★★★★☆
设无穷等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若首项 a1=32a_1 = \frac{3}{2}，公差 d=1d = 1，求满足 Sk2=(Sk)2S_{k^2} = (S_k)^2 的正整数 kk； (2) 求所有的无穷等差数列 {an}\{a_{n}\}，使得对于一切正整数 kk 都有 Sk2=(Sk)2S_{k^2} = (S_k)^2 成立.

2004 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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