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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=−1a_1=-1，公差 d>1d>1. 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.
(1) 若 S4−2a2a3+6=0S_4-2a_2a_3+6=0，求 SnS_n； (2) 若对于每个 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，存在实数 cnc_n，使 an+cna_n+c_n，an+1+4cna_{n+1}+4c_n，an+2+15cna_{n+2}+15c_n 成等比数列，求 dd 的取值范围.

2022 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和为 SnS_n，a1=−94a_1=-\frac{9}{4}，且 4Sn+1=3Sn−94S_{n+1}=3S_n-9.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项； (2) 设 {bn}\{b_n\} 满足 3bn+(n−4)an=03b_n+(n-4)a_n=0（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），记其前 nn 项和为 TnT_n. 若 Tn≤λbnT_n\le\lambda b_n 对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 恒成立，求 λ\lambda 的取值范围.

2021 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\}，{cn}\{c_n\} 中，a1=b1=c1=1a_1=b_1=c_1=1，cn+1=an+1−anc_{n+1}=a_{n+1}-a_n，cn+1=bnbn+2 cnc_{n+1}=\dfrac{b_n}{b_{n+2}}\,c_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.
(1) 若数列 {bn}\{b_n\} 为等比数列，且公比 q>0q>0，且 b1+b2=6b3b_1+b_2=6b_3，求 qq 与 ana_n 的通项公式； (2) 若数列 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且公差 d>0d>0，证明：c1+c2+⋯+cn<1+1dc_1+c_2+\cdots+c_n<1+\dfrac1d，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.

2020 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，a3=4a_3=4，a4=S3a_4=S_3，数列 {bn}\{b_n\} 满足：对每个 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，Sn+bnS_n+b_n，Sn+1+bnS_{n+1}+b_n，Sn+2+bnS_{n+2}+b_n 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 Cn=an2bnC_n=\sqrt{\dfrac{a_n}{2b_n}}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），证明：C1+C2+⋯+Cn<2nC_1+C_2+\cdots+C_n<2\sqrt n，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.

2019 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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10数列★★★★☆
已知 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4 成等比数列，且 a1+a2+a3+a4=ln⁡(a1+a2+a3)a_1+a_2+a_3+a_4=\ln(a_1+a_2+a_3). 若 a1>1a_1>1，则（ ）
A.
a1<a3a_1<a_3，a2<a4a_2<a_4
B.
a1>a3a_1>a_3，a2<a4a_2<a_4
C.
a1<a3a_1<a_3，a2>a4a_2>a_4
D.
a1>a3a_1>a_3，a2>a4a_2>a_4

2018 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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20数列★★★★☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的公比 q>1q>1，且 a3+a4+a5=28a_3+a_4+a_5=28，a4+2a_4+2 是 a3a_3，a5a_5 的等差中项. 数列 {bn}\{b_n\} 满足 b1=1b_1=1，数列 {(bn+1−bn)an}\{(b_{n+1}-b_n)a_n\} 的前 nn 项和为 2n2+n2n^2+n.
(1) 求 qq 的值； (2) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2018 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题

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08数列★★★★☆
如图，点列 {An}\{A_n\}，{Bn}\{B_n\} 分别在某锐角的两边上，且 ∣AnAn+1∣=∣An+1An+2∣|A_nA_{n+1}|=|A_{n+1}A_{n+2}|，An≠An+2A_n\ne A_{n+2}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，∣BnBn+1∣=∣Bn+1Bn+2∣|B_nB_{n+1}|=|B_{n+1}B_{n+2}|，Bn≠Bn+2B_n\ne B_{n+2}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*（P≠QP\ne Q 表示点 PP 与点 QQ 不重合）. 若 dn=∣AnBn∣d_n=|A_nB_n|，SnS_n 为 △AnBnBn+1\triangle A_nB_nB_{n+1} 的面积，则（ ）
A.
{Sn}\{S_n\} 是等差数列
B.
{Sn2}\{S_n^2\} 是等差数列
C.
{dn}\{d_n\} 是等差数列
D.
{dn2}\{d_n^2\} 是等差数列

2016 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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17数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，已知 S2=4S_2=4，an+1=2Sn+1a_{n+1}=2S_n+1，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.
(1) 求通项公式 ana_n； (2) 求数列 {∣an−n−2∣}\{|a_n-n-2|\} 的前 nn 项和.

2016 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足 a1a2a3⋯an=(2)bna_1a_2a_3\cdots a_n = (\sqrt{2})^{b_n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 若 {an}\{a_n\} 为等比数列，且 a1=2a_1 = 2，b3=6+b2b_3 = 6 + b_2.
(1) 求 ana_{n} 与 bnb_{n}； (2) 设 cn=1an−1bnc_{n} = \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{b_{n}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 记数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}.
(i) 求 SnS_{n}； (ii) 求正整数 kk，使得对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，均有 Sk⩾SnS_k \geqslant S_n.

2014 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 sin⁡A+sin⁡C=psin⁡B\sin A + \sin C = p \sin B （p∈Rp \in \mathbf{R}），且 ac=14b2ac = \frac{1}{4} b^2.
(1) 当 p=54p = \frac{5}{4}，b=1b = 1 时，求 aa，cc 的值； (2) 若角 BB 为锐角，求 pp 的取值范围.

2011 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知公差不为 00 的等差数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1a_{1} 为 aa （a∈Ra\in\mathbf{R}）. 设数列的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 1a1\frac{1}{a_{1}}，1a2\frac{1}{a_{2}}，1a4\frac{1}{a_{4}} 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式及 SnS_{n}； (2) 记 An=1S1+1S2+1S3+⋯+1SnA_{n} = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \cdots + \frac{1}{S_{n}}，Bn=1a1+1a2+1a22+⋯+1a2n−1B_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{2^{2}}} + \cdots + \frac{1}{a_{2^{n-1}}} 当 n⩾2n \geqslant 2 时，试比较 AnA_{n} 与 BnB_{n} 的大小.

2011 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 中的相邻两项 a2k−1a_{2k-1}，a2ka_{2k} 是关于 xx 的方程 x2−(3k+2k)x+3k⋅2k=0x^2 - (3k + 2^k)x + 3k \cdot 2^k = 0 的两个根，且 a2k−1⩽a2ka_{2k-1} \leqslant a_{2k}（k=1k=1，22，33，⋯\cdots）.
(1) 求 a1a_{1}，a3a_{3}，a5a_{5}，a7a_{7} 及 a2na_{2n}（n⩾4n \geqslant 4）（不必证明）； (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的前 2n2n 项和 S2nS_{2n}.

2007 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
如图，△OBC\triangle OBC 的三个顶点坐标分别为 (0,0)(0,0)，(1,0)(1,0)，(0,2)(0,2). 设 P1P_{1} 为线段 BCBC 的中点，P2P_{2} 为线段 COCO 的中点，P3P_{3} 为线段 OP1OP_{1} 的中点. 对于每一个正整数 nn，Pn+3P_{n+3} 为线段 PnPn+1P_{n}P_{n+1} 的中点，令 PnP_{n} 的坐标为 (xn,yn)(x_{n}, y_{n})，an=12yn+yn+1+yn+2a_{n} = \frac{1}{2}y_{n} + y_{n+1} + y_{n+2}.
(1) 求 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3} 及 ana_{n}； (2) 证明 yn+4=1−yn4y_{n+4} = 1 - \frac{y_n}{4}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*； (3) 若记 bn=y4n+4−y4nb_{n} = y_{4n+4} - y_{4n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，证明 {bn}\{b_n\} 是等比数列.

2004 · 浙江 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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