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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★★☆
设 a>0a>0，b>0b>0，已知函数 f(x)=ax+bx+1f(x)=\frac{ax+b}{x+1}.
(1) 当 a≠ba\neq b 时，讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x>0x>0 时，称 f(x)f(x) 为 aa，bb 关于 xx 的加权平均数.
(i) 判断 f(1)f(1)，f(ba)f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)，f(ba)f\left(\frac{b}{a}\right) 是否成等比数列，并证明 f(ba)⩽f(ba)f\left(\frac{b}{a}\right)\leqslant f\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)； (ii) aa，bb 的几何平均数记为 GG，称 2aba+b\frac{2ab}{a+b} 为 aa，bb 的调和平均数，记为 HH，若 H⩽f(x)⩽GH\leqslant f(x)\leqslant G，求 xx 的取值范围.

2013 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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17数列★★★★☆
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数 1, 3, 6, 10, …\dots 记为数列 {an}\{a_{n}\}，记可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 {bn}\{b_{n}\}，可以推测：
(1) b2012b_{2012} 是数列 {an}\{a_{n}\} 中的第______ 项； (2) b2k−1=‾b_{2k-1} =\underline{\hspace{2em}}（用 kk 表示）

2012 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，且满足 a1=aa_1=a，a≠0a\neq0，an+1=rSna_{n+1}=rS_n，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，r∈Rr\in\mathbf{R}，r≠−1r\neq-1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若存在 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*，使得 Sk+1S_{k+1}，SkS_k，Sk+2S_{k+2} 成等差数列，试判断：对于任意的 m∈N∗m\in\mathbf{N}^*，且 m⩾2m\geqslant2，am+1a_{m+1}，ama_m，am+2a_{m+2} 是否成等差数列，并证明你的结论.

2011 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足： a1=12a_1 = \frac{1}{2}，3(1+an+1)1−an=2(1+an)1−an+1\frac{3(1 + a_{n + 1})}{1 - a_n} = \frac{2(1 + a_n)}{1 - a_{n + 1}}，anan+1<0a_n a_{n + 1} < 0 （n⩾1n \geqslant 1）；数列 {bn}\{b_n\} 满足： bn=an+12−an2b_n = a_{n+1}^2 - a_n^2 （n⩾1n \geqslant 1）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\}， {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：数列 {bn}\{b_n\} 中的任意三项不可能成等差数列.

2010 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=−an−(12)n−1+2S_{n} = -a_{n} - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2（nn 为正整数）.
(1) 令 bn=2nanb_{n} = 2^{n}a_{n}，求证数列 {bn}\{b_{n}\} 是等差数列，并求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 令 cn=n+1nanc_{n} = \frac{n + 1}{n} a_{n}，Tn=c1+c2+⋯+cnT_{n} = c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{n}，试比较 TnT_{n} 与 5n2n+1\frac{5n}{2n + 1} 的大小，并予以证明.

2009 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 满足： a1=λa_1 = \lambda，an+1=23an+n−4a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_n + n - 4，bn=(−1)n(an−3n+21)b_n = (-1)^n (a_n - 3n + 21)，其中 λ\lambda 为实数，nn 为正整数.
(1) 证明：对任意实数 λ\lambda，数列 {an}\{a_{n}\} 不是等比数列； (2) 证明：当 λ≠−18\lambda \neq -18 时，数列 {bn}\{b_n\} 是等比数列； (3) 设 SnS_{n} 为数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和，是否存在实数 λ\lambda，使得对任意正整数 nn，都有 Sn>−12S_{n} > -12？ 若存在，求 λ\lambda 的取值范围；若不存在，说明理由.

2008 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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08数列★★★★☆
已知两个等差数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项分别为 AnA_{n} 和 BnB_{n}，且 AnBn=7n+45n+3\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{7n + 45}{n + 3}，则使得 anbn\frac{a_{n}}{b_{n}} 为整数的正整数 nn 的个数是（\quad）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2007 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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